2025年秋季高二開學(xué)摸底考試模擬卷（廣東專用）

數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.若復(fù)數(shù)z=^（i為虛數(shù)單位）的共軌復(fù)數(shù)為彳，則|司=（）

1-1

A.垂）B.^6C.3D.V10

【答案】A

l+3i（l+3i）（l+i）-2+4i___廠

【詳解】因為2=不一=/—=-1+21,所以z=_l_2i，⑶=&7^=右.

1-1（1-1）（1+1）2

故選：A.

2.已知正四棱臺45cz）-4A的上下底面邊長分別為2和4,側(cè)棱長為2石，則此正四棱臺的體積為（）

【答案】A

【詳解】由題設(shè)，棱臺的高訪=j（2右）2一（逑Fg）2=J而）=仍，幾$2表示上下底面面積,

所以棱臺的體積;〃（，+府^+邑）=gx30*（4+仄記+16）=28后.

故選：B

3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,5,6,加，10,12,13.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，，則該

8

組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）

A.6B.7.5C.9D.9.5

【答案】C

【詳解】這組數(shù)據(jù)一共8個數(shù)，中位數(shù)是寸，極差為13-1=12,

所以26丁+W7=12、53解得機=9,

2o

1/15

又8x60%=4.8,則第60百分位數(shù)是第5個數(shù)據(jù)9.

故選：C.

4.為了了解我校報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，作出頻率分布直方圖（如圖），已

知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1:2:3,且第1小組的頻數(shù)為6,則報考飛行員的學(xué)生總?cè)藬?shù)是

（）

頻率

【答案】A

【詳解】設(shè)第一小組的頻率為。，則。+2a+3a+0.037x5+0.013x5=l,

解得。=：，

O

—=48

故總?cè)藬?shù)為1,

8

故選：A.

5.一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8,將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)

字依次為再,工2，事件/：再=3,事件2：%=6,事件C：xl+x2=9,則（）

A.A,B互斥B.A\JB=C

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.A,B,。兩兩獨立

【答案】D

【詳解】對于A：%=3,%=6,即事件48同時發(fā)生，所以/口8片0,故A錯誤；

對于B：事件C發(fā)生，NU8不一定發(fā)生，故B錯誤；

11

對于C：根據(jù)題意P（/）=P（2）=g,P（c）=—=-,

ooxo?

所以尸（/2C）=Q=1,P（^P（S）P（C）=|x|x^P（^C）,故C錯誤；

oxo"ooo

對于D：由尸（叫=*P⑷尸⑻，P（AC）=-^=P（A）P（C）,P（BC）=-^=P（B）P（C）,

所以/,B,C兩兩獨立，故D正確，

故選：D.

2/15

6.學(xué)生為測量青城山高度設(shè)計了如下方案：在山腳A測得山頂P的仰角為45。，沿傾斜角為15。的斜坡向上

走了600m到達(dá)B點（4昆尸，。在同一個平面內(nèi)），在B處測得山頂尸的仰角為60°,則青城山的山高尸。為

（）

A.300（V6+^）mB.300（w一回m

C.600（V3+l）mD.600（V3-l）m

【答案】A

【詳解】依題意，^PAQ=45°,ABAQ=15"ZPAB=30°,ZAPQ=45°,

又NPBC=60°,則/APC=30°,即有4尸/=15°,/尸以=135°,

APAB

在A/8尸中，AB=600,由正弦定理得

sinZABP~sinZAPB

一、6

且sinl50=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°=---------

4Bsin乙4BP_600sin135°__1200血

則4P=

sinZAPBsin15°V6-V2一岳-舊

4

在Rt，/。中，尸Q=/Psin45°=詈展'孝=300（&+收）,

所以山高加為300（&+0）米.

故選：A.

7.V/5C中，sin幺生=立，點。在線段/C上，且/。=3。。,助=3,則V43C面積最大值為（）

23

A.472B.672C.6A/3D.473

【答案】B

2]°

【詳解】由題意有cosN/3C=l-2sin2E^=1--=-,所以sinNABC=-cos?ZABC=工

333

一__.3—.

又AD=3DC,BD=3,所以AD--AC,

4

3/15

—(,—?—-3—-—?3/—>—*\—?1—?3—-1—?3—,,

所以==—+=——AB+-BC=-BA+-BC,

44、)4444

所以|前『=(前)2血+3於『=，或2+2就直.團

I?，(44J16168

$網(wǎng)+1時+抻闞毛閾+高明v悔同

卬。研V網(wǎng)+胸網(wǎng)=那網(wǎng)

|2

即網(wǎng)國42回（=]8,當(dāng)且僅當(dāng)2網(wǎng)2=Qq=麗|=3|就|=3述時,等號成立,

所以s=g網(wǎng)|5C|sin/ABC=事砌畫4.x18=6直，

故選：B.

8.正四棱錐外接球的表面積為H，內(nèi)切球（與四棱錐的底面和側(cè)面都相切的球）的表面積為邑，則5

的

?2

取值范圍為（）

A.[V2+l,6]

C.[4,+00)

【答案】D

【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐尸-48CD的底面邊長為。，高為〃，底面48co的中心為E,外接球的球心為O,

則有。1+￡4=OB?,

ha2ha

解得R=—H---=a\---1---

24/z2a4/z

正四棱錐的體積/和表面積S分別為

%=§/〃，S=a2+2a

37

r=——

則s1，

1+2+-

a4

4/15

a

則/二

等號當(dāng)且僅當(dāng)把，即'=,212四時成立.所以夜+1『=3+2夜,

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知?為虛數(shù)單位’在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=&'以下說法正確的是（）

4

A.復(fù)數(shù)z的虛部是1

B.|z|=l

C.復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)-數(shù)是z=-（2+14i

D.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第一象限

【答案】AD

……2i2i（2-i）2+4i24.

z====+1）

【詳解】ITT（2+i）（2-i）^?l

4

A.復(fù)數(shù)z的虛部是《，故A正確；

故B錯誤；

B.復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)是亍=（2-三4，故C錯誤；

D.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點是復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第一象限，故D正確.

故選：AD

10.在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件4B,C,。發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0,3,則下列說法

錯誤的是（）

A.N+8與C是互斥事件，也是對立事件B.8+C與。是互斥事件，也是對立事件

C./+C與8是互斥事件，但不是對立事件D./與B+C+D是互斥事件，也是對立事件

5/15

【答案】ABC

【詳解】因為事件/,B,C,。彼此互斥，所以N+8與C也互斥，但是

P(A+5)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.2+0.3=0.7^1,所以不是對立事件，故A錯誤；因為事件/,

8,C,。彼止匕互斥，所以8+C與。也互斥，但是尸(8+。)+尸(。)=尸(B)+P(C)+P(D)=0.2+0.3+0.3=0.8wl,

所以不是對立事件，故B錯誤；因為事件4,B,C,。彼此互斥，所以/+C與8也互斥，又因為

P(A+C)+P(B+￡>)=P(A)+P(C)+P(B)+P(D)=0.2+03+0.2+0.3=1,所以是對立事件，故C錯誤；因為

事件B,C,。彼此互斥，所以/與B+C+。也互斥，又因為

尸(/)+尸(3+C+D)=P(A)+P(B)+尸(C)+P(D)=0.2+0.2+0.3+0.3=1,所以也是對立事件，故D正確.

故選：ABC

11.在等腰梯形/BCD中，ABI/CD,DA=DC=2,NB=4,點尸是梯形/5CO內(nèi)部一點(不含邊界)，

且滿足萬=2萬+〃而(Z〃eR),則下列說法正確的是()

_kkk31

A.^PA+PB+PC+PD=()，則；l=g,〃=7

o2

B.當(dāng)〃=24時，|麗|的最小值為2

C.若2彳+〃=1,則△P3C的面積為定值6

D.若4萬+〃2+2"=1,貝”正|的最小值為2g-2

【答案】ACD

【詳解】如圖：取中點￡,連接/C,DE,CE.

因為梯形為等腰梯形，AB//CD,DA=DC=2,AB=4,所以△/￡〃，NBEC,AECD均為等邊

三角形.

對A：^PA+PB+PC+PD=0<所以-N?+礪-刀+/-方+通-方=0，

所以荏+%+而=4后=焉+0+g與+通=4(2A8+//AD),

八

33

3—?—?—?—?42=-:.故正確;

所以丁8+24。=42/5+4〃/。=><2n<A

4〃=2

對B：當(dāng)必=24時,AP=A-AB+fj,AD=2%=22人，所以點尸在直線北上.

在VZ8C中，N8=60。，ACAB=30°,所以8C_L/C,且8C=2.

6/15

所以若|麗卜2,則尸與C重合，這與點尸是梯形/BCD內(nèi)部一點(不含邊界)矛盾，故B錯誤；

對C：若22+〃=1,則N=+〃亞n方=2萬+(1—22)15,

所以9-25=24；方存-方]=赤=22瓦.所以點尸在線段上.

因為。E〃BC,且兩直線的距離為VL

所以△尸8C的面積為定值，為!x2xg=6,故c正確；

對D：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義可得：A8.2D=4X2XCOS60°=4.

因為4萬++27〃=1,

ffr^lAP2=(/LA8+//ADy=A2AB2+JU2AD2+2A/JAB-AD=16萬+4〃？+82〃=4,

即回=2.

所以尸點的軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓位于梯形/BCD內(nèi)部的圓弧(圓心角為60。的扇形弧)，又

AC=243,所以忸Ch>=2百-2.故D正確.

故選：ACD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.V/3C用斜二測畫法得到的水平直觀圖△44G是邊長為2的正三角形.則V/3C的面積是.

【答案】276

【詳解】已知直觀圖用G是邊長為2的正三角形，

所以“&G的面積直；xgx2=G.

所以AABC的面積為272x73=276.

故答案為：2卡

13.若4個數(shù)據(jù)的平均值為6,方差為5,現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10,則這6個數(shù)據(jù)的方差為.

172

【答案】y/51

【詳解】設(shè)原來4個數(shù)據(jù)依次為“，b,c,d,則a+6+c+d=24,

因為方差為5,所以;[("6)2+(6-6『+化-6)?+(4-6月=5,

即(°-6)2+3-6)2+匕-6)2+(〃-6)2=20,

所以(/+62+c2+d2)-i2(a+6+c+d)+36x4=20,

貝1。2+。2+，+陵=20+12x24-36x4=164.

7/15

現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10,則其平均數(shù)為g(a+6+c+d+8+10)=：x(24+18)=7,

則這6個數(shù)據(jù)的方差為:[(。-7)2+(6-7>+(c-7)2+(4-7)2+(8-7)2+。0-7)2]

=1[(a2+/72+c2+(/2+82+102)-14(a+Z?+c+<7+8+10)+49x6]

117

=-[(164+64+100)-14x(24+8+10)+49x6]=—

17

故答案為：—

14.在棱長為2的正方體4BCDAECR中，E為棱8c的中點，點?在正方體的表面上運動，且滿足旦P±RE,

則點P的運動軌跡的周長是.

【答案】3V2+2V5

【詳解】如圖，取CG的中點凡連接片廠并延長與尸，BC,

設(shè)片廠C8C=G,連接/G,設(shè)/GnCD=M,連接引心叫.

因為四邊形3CC圈為正方形，且￡為3C中點，下為CG中點，

所以與尸，又DG”F(26，平面8。64),

且C|Eu平面AGE,AGu平面AGE,￡>lC1nC1￡'=C1,

所以耳尸，平面AGE,故BFLRE,

又AB,1平面ARCB,進而有ABI1D.E,

由此可得平面/々G,則點P的運動軌跡周長為四邊形,

由相似得M為。。中點，貝UAM=BF=J2?+F=退,

ABX=2V2,MF=C.，所以四邊形/即物■周長為2出+3A/L

故答案為：2國3c.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)設(shè)4，z2均為復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，已知Z1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(切2一4機+3,爪-1),且z?對應(yīng)的

點在第一象限.

(1)若復(fù)數(shù)4為純虛數(shù)，求實數(shù)機的值；

8/15

(2)若上|=百，且Z2是關(guān)于x的方程％2-23+/+1=0(。?11)的一個復(fù)數(shù)根，求』.

【詳解】(1)：Z]對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(蘇—4加+3,加一1),

/.=m2-4m+3+(m-l)i,其中冽ER,

,??復(fù)數(shù)句為純虛數(shù),

m=3.

(2)?x?—+/+1=0,

(x-tz)2=-1,解得x-〃=±i,

即關(guān)于x的方程——2辦+〃2+i=o的兩根分另ij為Q+i,a-i,

Z2對應(yīng)的點在第一象限,

Az2=a+i,且。＞0,

22

|z2|=yja+1=,解得a=也或〃=—逝，由〃>0,貝必=近,10分

Az2=V2+i,即共軻復(fù)數(shù)]=應(yīng)—i,

.^+i_V2亞(0-。2-匹

13分

333

16.(15分)為了解中學(xué)生的體育鍛煉情況，調(diào)查小組在某中學(xué)隨機抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計了他們某一周

的綜合體育活動時間(單位:時)，并按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]將樣本數(shù)據(jù)分成6組,制成如

圖所示的頻率分布直方圖.

頻率/組距個

0.150--

0.125-T

0.100--i

0.075--

0.050—

0.025--

024681012時間/h

(1)補全頻率分布直方圖，并估計該校學(xué)生每周綜合體育活動時間的中位數(shù)與平均數(shù)；

(2)利用頻率估計概率，若從該校隨機抽取兩名學(xué)生，且兩名學(xué)生的體育活動情況互不影響，求這兩名學(xué)生

中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時的概率.

【詳解】(1)第五組的頻率為1-2x(0.05+0.075+0.10+0.125+0.05。=0.2,

9/15

所以該組對應(yīng)的小矩形高度為丁=0.100,....................................................................................................2分

2

故補全頻率分布直方圖如下:

頻率/組距個

0.150

0.125

0.100

0.0754分

0.050

0.025

0

設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為：

因為樣本數(shù)據(jù)在［0,6)的頻率為2x(0.05+0.075+0.1)=0.45<0.5,

樣本數(shù)據(jù)在［0,8)的頻率為2x(0.05+0.075+0.1+0.125)=0.7>0.5,

則xe(6,8),所以0.45+0.125x(x-6)=0.5,解得x=6.4,

故估計樣本中位數(shù)為6.4........................................................................................................................................7分

x=1x0.1+3x0.15+5x0.2+7x0.25+9x0.2+11x0.1

=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2

故估計樣本平均數(shù)為6.2.

由樣本估計總體，該校學(xué)生每周綜合體育活動時間的中位數(shù)與平均數(shù)分別為6.4和6.2........................9分

(2)由頻率分布直方圖可估計該校學(xué)生每周綜合體育活動時間不低于8小時的頻率為(0.1+005)x2=0.3.

記事件4="抽取的第1名學(xué)生每周綜合體育活動時間不低于8小時”，4="抽取的第2名學(xué)生每周綜合體

育活動時間不低于8小時”，由題意4,4相互獨立.

利用頻率估計概率，尸(4)=尸(4)=02+01=0.3......................................................................................12分

記事件"抽取的兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時”，

則P(M)=尸+44+4A)=1--P(44)=1-(1-0.3)x(i-0.3)=0.51.

所以抽取的兩名學(xué)生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時的概率為0.51.......................15分

17.(15分)如圖，在V/3C中，點。，￡分別是8C,N8的中點，點尸在線段AD上且是靠近5點的一

個三等分點，AF交ED于點、G,EC交/。于點O.

(1)用在和方表示套；

⑵若芮=4而，求實數(shù)2;

10/15

(3)過點。的直線與邊3C分別交于點S,T,設(shè)四邊形。ES7的面積為耳，梯形/E0C的面積為$2,

s

求苦的最小值.

【詳解】(1)由題意可得喬=(而，

_1____1____Q_______1_

所以善=與+而=運+§彷=萬+§聞一碉=-AB+-AD..............................................................2分

(2)設(shè)方=/前，由(1)^AF=^AB+^AD,

所以屆一方+；粉，荏+；而

即刀」近

3t3t

415

因為G,瓦。三點共線，所以看+已=1,解得，=],...........................................4分

所以就=2方+;而，

^AG=AE+EG=AE+AED=AE+A^AD-AE^=(1-A)AE+AAD.

1-A=-

所以「，解得力=：.................................................................7分

A=-5

[5

(3)^BS=xJA,BT=yBC(x>0,y>0),

因為D,E分別是的中點，所以。是V/3C的重心，

所以詼二加+1就=1麗+；的......................................................9分

333x3y

因為S,0,7三點共線，所以1+；=1,即工+工=3.

3x5yxy

3

ABC

所以S2=SAC-s△啊=r/\ABC，H=S^BST-，4BED=町-^，

1

盯一二

所以C*=T......................

......................................................................................................................................12分

d2_

4

因為+=3,所以=3,SPx+y=3xy>2yf^,

xyxy

42

所以孫當(dāng)且僅當(dāng)x=y=：時等號成立，

11/15

41

4

18.(17分)如圖，在四棱錐P-/BCD中，側(cè)面尸45,底面/3CZ),底面/5C。為矩形，PA=PB,。為

的中點，0D1PC.

(1)求證：OCtPD；

..PM

(2)若尸。上存在點使得0M〃平面尸8。，求百的值

⑶若PD與平面PBC所成角的正弦值為g,48=2,求四棱錐的尸-ABCD的體積.

【詳解】(1)連接。尸，

又,/側(cè)面PAB1底面ABCD,側(cè)面PABn底面ABCD=AB,P0u側(cè)面PAB,

.?.尸O_L平面/BCD,又ODu平面/BCD,PO1OD,..........................................................................2分

又,：ODLPC,PO^PC=P,PO,PCu平面尸OC,_L平面尸OC,

又。Cu平面P0C,OD1OC,

又尸O_L平面/BCD,OCu平面則尸O_LOC,

POC\OD=O,尸。，。。匚平面產(chǎn)。。，OC_L平面尸0D,

又尸Du平面POD,OC1PD.......................................................................................................................5分

(2)取CD中點為N,連CW,MN,

12/15

VON//BC,ONU平面PBC,8(7<=平面尸8(7,ON〃平面P8C,

又(W〃平面PBC,OMION=O,31,。￥(=平面0兒亞，

平面OW〃平面PBC,M/u平面OMV,；.MTV〃平面P8C,.........................................................8分

,?MN//PC,同￥.平面尸3。，PCu平面PBC,

MTV〃平面PBC,尸C,MVu平面PCD,平面尸CDPl平面PBC=PC,

PM1

MN//PC,又N為CD中點，則”為尸。中點，此時丁=三；...........................11分

PD2

(3)由(1)可知OOLOC,所以A。/。為等腰直角三角形，

又4B=2，;.OD=42-設(shè)PO=h，則尸。=J/+2，

記點D到面PBC的距離為飽JBC，

'：AD//BC,/。0平面尸8C,8Cu平面PBC,/D〃平面尸8C,

—=2,hD_PBC=hA_PBC=2ho_PBC=J,..........................................14分

OBV/?2+l

設(shè)PD與平面PBC所成角為e,

AD-PBC2磯詠2h_V6

/.sin。-

DPDP“2+2.J/+1v

整理得/_3/+2=0,則〃2=1或*=2,解得〃=1或/z=JL即尸0=1或后

14AB

所以修-ABCD=邑BCD/O=￡或士........................................................17分

333

19.(17分)在斜三角形/8C中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,記4=審(〃>1且〃。近)

—?—.1

(1)4=2時，若CA?CB=Qab,求sinZ+sinB的值；

(2)cos(5_4)+cosC="sin'm3,c為鈍角，求角C與M的最大值；

(3)若〃=4,V/8C的內(nèi)切圓半徑為，，外接圓半徑為R,求?的最大值.

R

【詳解】⑴在V/BC中，CACB=abcosC=^ab,得cosC=g,又Ce(0,?i),則C=g,

由題意有M=i=2,則a+b=2c,

c

13/15

在VABC中利用正弦定理得，sin4+sinj8=2sinC=2x'^二百

3分

2

(2)在V/5C中，cosC=—cos(/+5),

貝Ucos(B-^4)+cosC=cos(8—4)-cos(4+3)=2sin5sin%=Gsin；in'

因48e(O㈤，則sinB片O,sin/片0,可得sinC=乎,

5分

2兀

又因為c為鈍角，所以c=q.

在V45。中利用正弦定理，有