2024-2025學年上海市靜安區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：（本大題共6題，滿分18分）

1.（3分）一次函數(shù)y=3x-6+l的圖象在y軸上的截距是（）

A.1B.-b+1C.b+\D.|-6+1|

2.（3分）經(jīng)過點且平行于y=-2x的直線不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（3分）下列事件中，是隨機事件的是（）

A.13個人中至少有兩個人的生日是同一個月份

B.標準大氣壓下溫度低于-5攝氏度，純凈水結(jié)成了冰

C.袋中裝有8個黃球，3個綠球，2個白球，從中任取一球，然后放回袋中，混合均勻，再取一球.如

此反復4次，4次全部取到綠球

D.將長度分別為2c■、3cm、6c〃z的三根小木條作為三條邊，能圍成一個三角形

4.（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程"2=6無實數(shù)根，那么實數(shù)。、6可以滿足的條件是（）

A.4=6片0B.a<0<bC.a>b>0D.a<b<0

5.（3分）已知向量&、B滿足則（）

A.a=bB.a=-bC.allbD.以上都有可能

6.（3分）雙曲線y=!與直線卜=履（左>0且左wl）在一、三象限分別相交于/、C兩點，與直線y在

xk

一、三象限分別相交于3、。兩點，那么四邊形N8CD的形狀一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.非矩形和菱形的任意平行四邊形

二、填空題：（本大題共12題，滿分36分）

7.（3分）方程/=2的根是—.

8.（3分）方程匚'=0的根是—.

x—2

9.（3分）方程五=一％的根是.

10.（3分）已知方程4=4-3,如果設(shè)4=那么原方程變形為關(guān)于〉的整式方程是—.

X—1XX—1

11.（3分）計算：AB-AC+BC=

12.（3分）如圖，地板磚的一部分是由若干四邊形和各邊相等且各角也相等的六邊形鑲嵌而成的，那么四

邊形ABCD中ZBCD的度數(shù)是度.

13.（3分）某商品購買價100元，第一年使用后折舊20%,第二、三年折舊率相同.在第三年末它折舊

后的價值是20元，求該商品第二、三年折舊率為

14.（3分）如果/（再，%）、3（%，%）是函數(shù)〃x）=-x+l圖象上不同的兩點，那么（網(wǎng)-馬）（乂-%）的計

算結(jié)果—.（填”>0”、“<0"、“=0"或“不能確定”）

15.（3分）某博物館有4,B,C三個大門，其中/,3兩門可進可出，C門只進不出.上午小海隨機

選擇一個大門進館，參觀結(jié)束后，隨機選擇一個可出的大門出館，那么這次參觀他在同一個大門出入的概

率為?

16.（3分）如圖，已知正方形N2C。邊長為1,如果將邊沿著過點/的直線翻折后，邊N3恰巧落在

對角線NC上，折痕交邊于點E,那么8E的長是.

17.（3分）如圖，△4BC中，ZACE=ZECB,AELEC,9是邊的中點，AE=3,EC=4,BC=1,

那么FE的長是—.

18.（3分）如圖，△/BC中，ABAC=90°,ZABC=30°,將△48C繞點4旋轉(zhuǎn)到△NOE（點。與點8

對應），且使直線/D//3C,直線。E交直線8C于點G,那么NE/G的度數(shù)為度.

A

三、解答題：（本大題共8題，滿分66分）

19.（6分）解無理方程：x-y/x-2=4.

20.（6分）解方程組：-=0①.

[x-y=l?

21.（6分）在平面直角坐標系中，已知直線弘=-x+3分別交x軸、y軸于/、8兩點（如圖所示），直線

y2=ax+a{a>0）交x軸于點C.

（1）點/、3的坐標，并求出直線為位于x軸上方所有點的橫坐標的取值范圍；

（2）現(xiàn)將直線為平移，使其經(jīng)過點3,交x軸于點。，如果BD=B4,求a的值.

22.（8分）小王送外賣比送快遞每單多賺2元錢.某段時間內(nèi)，他送快遞賺了1200元，送外賣賺了1500

元.已知快遞比外賣多送了100單，求送快遞每單賺多少錢？

23.（8分）操作

現(xiàn)有兩張完全相同的長方形紙條，它們的長為25厘米，寬為5厘米，將其交疊擺放（如圖所示），使它們

對角線的交點重合.現(xiàn)固定其中一張紙片，將另一張紙片繞對角線交點旋轉(zhuǎn)一定角度，使它們的重疊部分

始終形成四邊形.

（1）重疊部分四邊形是什么形狀的四邊形？請說明理由.

（2）重疊部分圖形的最小面積和最大面積分別是多少？

請直接填寫：最小面積。加，最大面積cmL

24.（10分）從火車站至人民廣場，地鐵列車在非高峰時段（10?16時），相鄰班次之間的間隔時間均為6

分鐘；高峰時段（7?10時和16?19時），相鄰班次間隔時間分鐘）隨時刻x（時）變化而變化，分別可

以近似看成是，關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系，已知每天9時和17時的地鐵相鄰班次間隔時間都是5分鐘（圖象

如圖所示）.

（1）請分別將每天7?19時三個時段，相鄰班次的間隔時間;（分鐘）關(guān)于某一時刻x（時）的函數(shù)解析

式填入表內(nèi).

（2）游客從火車站赴人民廣場附近某商場，可選擇先乘地鐵7分鐘至人民廣場站，假設(shè)地鐵平均候車時

間為相鄰班次間隔時間的一半（即；），然后再步行10分鐘到達商場；游客也可選擇乘出租車直接到達商

場，高峰時段用時19分鐘，非高峰時段用時14分鐘.如果游客在上午7?12時之間到達火車站（火車站

到地鐵站或出租點時間忽略不計），為了盡快抵達商場，請為游客選擇出行方案，并分析說明理由.

25.（10分）平行四邊形48c。中，E、尸分別在3c上，聯(lián)結(jié)/尸、BE交于點G,聯(lián)結(jié)CE、DF

交于點H,四邊形EGbH是矩形.

（1）如圖1,聯(lián)結(jié)GH,如果GH///O,求證：①AE=ED；?AD=2AB；

（2）如圖2,若AE=CF=a,BF=DE=b,S.a<b,又EF=AB,用含0、6的代數(shù)式表示的長.請

直接寫出結(jié)果：AB=—.

圖1圖2

26.(12分)如圖1,四邊形48c。中，AD//BC,AD<BC,且48=40,ZB=2ZACB.

(1)求證：四邊形4SCD是等腰梯形；

(2)如圖2,設(shè)/C、3。相交于點K,點E在上，班=/。，聯(lián)結(jié)KE,求證：NCDK+NCEK=180°；

參考答案

一、選擇題（共6題，滿分18分）

1.（3分）一次函數(shù)y=3x-6+l的圖象在y軸上的截距是（）

A.1B.-6+1C.b+1D.|-/>+11

解：由題意，次函數(shù)為y=3x-6+l,

.,.令x=0,貝！Jy=-6+1.

一次函數(shù)y=3x-6+l的圖象在/軸上的截距是-6+1.

故選：B.

2.（3分）經(jīng)過點且平行于y=-2x的直線不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：由題意，???所求直線平行于y=-2x,

.?.可設(shè)所求直線為y=-2x+6.

又???所求直線過（-1,-1）,

2+Z?——1.

b=-3.

所求直線為y=-2x-3.

,該直線經(jīng)過第二、三、四象限.

經(jīng)過點（-1,-1）且平行于y=-2x的直線不經(jīng)過第一象限.

故選：A.

3.（3分）下列事件中，是隨機事件的是（）

A.13個人中至少有兩個人的生日是同一個月份

B.標準大氣壓下溫度低于-5攝氏度，純凈水結(jié)成了冰

C.袋中裝有8個黃球，3個綠球，2個白球，從中任取一球，然后放回袋中，混合均勻，再取一球.如

此反復4次，4次全部取到綠球

D.將長度分別為2cw、3cm、6czM的三根小木條作為三條邊，能圍成一個三角形

解：A.選項事件是必然事件，不符合題意；

B.選項事件是必然事件，不符合題意；

C.選項事件是隨機事件，符合題意；

D.選項事件是不可能事件，不符合題意.

故選：c.

4.（3分）如果關(guān)于x的一元二次方程ax?=b無實數(shù)根，那么實數(shù)。、6可以滿足的條件是（）

A.a=b^0B.a<0<bC.a>b>0D.a<b<0

22

解：ax=b,方程為ax-b=0f

△=02-4<2x（-/?）=4ab,

?.?一元二次方程=b無實數(shù)根，

4ab<0,

在選項4、8、。中，僅5選項符合上述條件.

故選：B.

5.（3分）已知向量2、B滿足|小=出|,貝！1（）

A.a=bB.a=-bC.a//bD.以上都有可能

解：若向量值、B滿足|之|二|3],

可得：a=b,或d=—B,或G/區(qū)，

故選：D.

6.（3分）雙曲線y=」與直線丁=履（左>0且左。1）在一、三象限分別相交于4、C兩點，與直線>=▲%在

xk

一、三象限分別相交于3、。兩點，那么四邊形N8CD的形狀一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.非矩形和菱形的任意平行四邊形

解：,雙曲線>=,與直線>（后>0且左片1）在一、三象限分別相交于/、C兩點，與直線y在一、

xk

三象限分別相交于8、。兩點，

OA=OC,OB=OD,

二.四邊形ABCD是平行四邊形，

由「，解得「=一7，

y=kxy=

:.AU，4k）,C（上,-巧,

kk

同理3（4，—）,D（-4k,--）,

kk

OA=OB=k+—J

k

OA=OC=OB=OD,

二.四邊形45C。是矩形，

???/C和過一、三象限，

「.4。與不會垂直，

四邊形45CQ不會是菱形和正方形，

故選：A.

二、填空題：（本大題共12題，滿分36分）

7.（3分）方程/=2的根是—正—.

解：=V=2,

/.X=次，

故答案為：蚯.

2

8.（3分）方程Y二-4^=0的根是x=-2

x-2——

方程兩邊同時乘（％-2）,得％2_4=0,

解得：x=±2,

經(jīng)檢驗，x=2是分式方程的增根，x=-2是分式方程的解.

故答案為：x=-2.

9.（3分）方程?=的根是—x=0—.

解：兩邊平方得：

解得n=0或%=1,

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的增根，x=0是原方程的解，

二.原方程的解為x=0;

故答案為：x=0.

10.（3分）已知方程4=4-3，如果設(shè)4=?，那么原方程變形為關(guān)于y的整式方程是

X—1XX—1

3y2=4了一1一.

解：已知方程3%二=4-Y2--1，

X-1X

設(shè)—=y,

x2-l

則原方程化為“=4-工，

y

整理得：3y2=4y-1,

故答案為：3y2=4y-l.

11.（3分）計算：AB-AC+BC=_Q

解：AB-AC+BC=（AB+BC）-AC=AC-AC=O.

故答案為0.

12.（3分）如圖，地板磚的一部分是由若干四邊形和各邊相等且各角也相等的六邊形鑲嵌而成的，那么四

邊形ABCD中NBCD的度數(shù)是60度.

解：根據(jù)正六邊形內(nèi)角和定理可知（6-2）x180。=720。，

720°+6=120°，

故答案為：60.

13.（3分）某商品購買價100元，第一年使用后折舊20%,第二、三年折舊率相同.在第三年末它折舊

后的價值是20元，求該商品第二、三年折舊率為_50%_.

解：設(shè)該商品第二、三年折舊率為X,

由題意得：100(1-20%)(1-=20,

整理得：（1-X）2=0.25,

解得：X[=0.5=50%,x2=1.5（不合題意，舍去）.

即該商品第二、三年折舊率為50%.

故答案為：50%.

14.（3分）如果/（再，%）、5（%,%）是函數(shù)〃x）=r+l圖象上不同的兩點，那么（%-%）（%-%）的計

算結(jié)果_<0_.（填“>0”、“<0"、"=0”或“不能確定”）

解：由題知，

因為一次函數(shù)解析式為y=-x+1,

則y隨x的增大而減小.

當國>%時，M<%,

?|（x1-x2）（y1-j2）<0；

當尤1<%時，%>%，

則（西-苫2）（%-%）<0；

綜上所述，則（X[-%）（％-%）<0?

故答案為：<0.

15.（3分）某博物館有4,B,C三個大門，其中/,3兩門可進可出，C門只進不出.上午小海隨機

選擇一個大門進館，參觀結(jié)束后，隨機選擇一個可出的大門出館，那么這次參觀他在同一個大門出入的概

率為_:

解：列表如下:

AB

AQ,4)

B(瓦/)(B,B)

C(C,A)(C,B)

共有6種等可能的結(jié)果，其中這次參觀他在同一個大門出入的結(jié)果有2種,

71

這次參觀他在同一個大門出入的概率為-=

63

故答案為：I.

16.（3分）如圖，已知正方形N2CO邊長為1,如果將邊沿著過點N的直線翻折后，邊N3恰巧落在

對角線/C上，折痕交邊3c于點E,那么3E的長是—及-1

解：已知正方形邊長為1,將邊N3沿著過點/的直線翻折后，邊恰巧落在對角線NC上，設(shè)點

8的對應點為點歹，連接如圖,

在直角三角形N8C中，由勾股定理得：AC=^l2+i2=42,

由折疊的性質(zhì)得：BE=EF,

■：S,RC=-ABxBC=-ABxBE+-ACxEF,

“BC222

\xl=BE+41BE,

BE=4I-\,

故答案為：V2-1.

17.（3分）如圖，△4BC中，NACE=NECB,AELEC,9是邊的中點，AE=3,EC=4,BC=1,

那么FE的長是].

解：如圖，延長NE,交BC于H,

???AE±EC,

ZAEC=HEC=90°，

AE=3,EC=4,

AC=s]AE2+CE2="+42=5,

在△/EC和△HEC中,

ZAEC=NHEC

CE=CE

NACE=ZHCE

△AEC=△HEC(ASA),

AE=EH,HC=AC=5,

:.BH=BC-HC=1-5=2，

■：AF=FB,AE=EH,

.?.FE是△488的中位線,

:.FE=-BH=],

2

故答案為：1.

ZBAC=90°,ZABC=30°,將^ABC繞點/旋轉(zhuǎn)到△ADE（點。與點B

對應），且使直線40//3C,直線。E交直線BC于點G,那么NEAG的度數(shù)為15或105度.

（點。與點8對應）,當點。與點/的左側(cè)時，如圖1,

圖1

ZDAE=ABAC=90°,ZZ）=ZABC=30°,AD=AB,

???ADIIBC,

NDAB=/ABC=30°,ZD=/MGB=30°,

/.Z.DAM=/D=ZABC=ZMGB=30°,

:.MD=MA,MB=MG,

AD=AB=DG,

???ZD=30°,

NDAG=1（180°-ZD）=75°,

.?.NE4G=90°-75°=15°；

將繞點N旋轉(zhuǎn)到△/￡>￡（點。與點8對應），當點。與點/的右側(cè)時，如圖2,延長氏4交EG于

點〃,

圖2

:./DAE=NBAC=90。,ZADE=ZABC=30°,AD=AB,

???AD//BC,

ADAM=/ABC=30°,ZMDA=ZMGB=30°,

/.ADAM=AMDA=/ABC=ZMGB=30°,

:.MD=MA,MB=MG,

AD=AB=DG,

??,ZADE=30°,

ZDAG=-ZADE=15°,

2

Z^G=90°+15°=105°；

綜上所述，NE/G的度數(shù)為15。或105。.

故答案為：15或105.

三、解答題：（本大題共8題，滿分66分）

19.（6分）解無理方程：x-\Jx-2=4.

解：移項得：x—4=y/x—2，

兩邊平方得：x2—8x+16=x—2,

解得x=3或x=6,

經(jīng)檢驗，x=3是原方程的增根，x=6是原方程的解,

，原方程的解為x=6.

2x2-5xy-3y2=0@

20.（6分）解方程組:

x-y=1②

解：由①得：x=y+l③,

把③代入①得：2(y+1)2-5y(y+1)-3/=0,

???［23+1)+力［。+1)_3力=0,

二.3歹+2=0或-2y+1=0,

21

解得必=-—，y?=~

32

當必=-2時，x,=――+1=—

333

當y二工時，x2=—+1=—;

2222

13

X［二-

.?.原方程組的解為3或,

21

21.（6分）在平面直角坐標系中，已知直線必=-x+3分別交、軸、》軸于/、B兩點（如圖所示），直線

y2=ax+a{a〉0）交工軸于點C.

（1）點4、8的坐標，并求出直線％位于工軸上方所有點的橫坐標的取值范圍;

（2）現(xiàn)將直線外平移，使其經(jīng)過點5,交工軸于點。，如果5。=胡，求a的值.

y

0\Ax

解：(1)由題意，,直線必=-x+3分別交工軸、》軸于4、3兩點，

令必=0,則x=3,故4為(3,0)；令x=0,貝1」必=3,故8為。3).

又二?直線%=辦+。交工軸于點。,

.?.當、=一1時，％=0,則C(—1,0).

?二?！?,

直線%="+。的圖象從左到右逐漸上升.

.??直線％位于X軸上方所有點的橫坐標的取值范圍為X>-1.

(2)由題意，設(shè)平移后直線％=QX+6,

BD=BA,且。在％軸上，

.?.結(jié)合/為(3,0),則。為(—3,0).

??,平移后經(jīng)過B、D兩點,

[~3ci+6=0

,,16=3

...4=1.

22.(8分)小王送外賣比送快遞每單多賺2元錢.某段時間內(nèi)，他送快遞賺了1200元，送外賣賺了1500

元.已知快遞比外賣多送了100單，求送快遞每單賺多少錢？

解：設(shè)送快遞每單賺x元錢，則送外賣每單賺(x+2)元錢，

由題意得：幽-幽=1。。，

xx+2

解得：西=3,x2=—8,

經(jīng)檢驗，玉=3,%=-8都是原方程的解，但％2=-8不符合題意，舍去，

答：送快遞每單賺3元錢.

23.(8分)操作

現(xiàn)有兩張完全相同的長方形紙條，它們的長為25厘米，寬為5厘米，將其交疊擺放(如圖所示)，使它們

對角線的交點重合.現(xiàn)固定其中一張紙片，將另一張紙片繞對角線交點旋轉(zhuǎn)一定角度，使它們的重疊部分

始終形成四邊形N8CD.

(1)重疊部分四邊形/BCD是什么形狀的四邊形？請說明理由.

(2)重疊部分圖形的最小面積和最大面積分別是多少？

請直接填寫：最小面積25cm2,最大面積cm2.

解：(1)四邊形是菱形，

理由：過點/作4￡_L5C于￡,于產(chǎn)，

???兩條紙條寬度相同，

...AE=AF,

?/ABI/CD,AD/IBC,

二.四邊形是平行四邊形,

vS"=BC,AE=CDAF,

又：AE=AF,

BC=CD,

二.四邊形/BCD是菱形；

(2)v寬為5厘米,

NE=/b=5厘米，

設(shè)==x厘米，

菱形N8C。的面積=5x,

5>0,

菱形4BC。的面積隨x的增大而增大,

V長為25厘米，

5?尤,25,

.?.當x=5時，菱形48CD的面積最小為5x5=25（平方厘米）,

當x=25時，菱形/3CD的面積最大為5義25=125（平方厘米）,

24.（10分）從火車站至人民廣場，地鐵列車在非高峰時段（10?16時），相鄰班次之間的間隔時間均為6

分鐘；高峰時段（7?10時和16?19時），相鄰班次間隔時間t《分鐘）隨時刻x（時）變化而變化，分別可

以近似看成是，關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系，已知每天9時和17時的地鐵相鄰班次間隔時間都是5分鐘（圖象

如圖所示）.

（1）請分別將每天7?19時三個時段,相鄰班次的間隔時間I（分鐘）關(guān)于某一時刻x（時）的函數(shù)解析

式填入表內(nèi).

時段峰段/（分鐘）關(guān)于X（時）的函數(shù)解析式

7?10時高峰段

10?16時非高峰段

16?19時高峰段

（2）游客從火車站赴人民廣場附近某商場，可選擇先乘地鐵7分鐘至人民廣場站，假設(shè)地鐵平均候車時

間為相鄰班次間隔時間的一半（即；），然后再步行10分鐘到達商場；游客也可選擇乘出租車直接到達商

場，高峰時段用時19分鐘，非高峰時段用時14分鐘.如果游客在上午7?12時之間到達火車站（火車站

到地鐵站或出租點時間忽略不計），為了盡快抵達商場，請為游客選擇出行方案，并分析說明理由.

t（分鐘N

解：（1）7?10時，設(shè)r=Ax+6,

9左+6=5

10左+6=6

t=x—4；

10?16時，t=6；

16?19時設(shè)，=mx+n,

fl6m+?=6

[17m+〃=5

解得：『二1,

=22

t——x+22,

故答案為：t=x—49￡=6,t=—x+22；

(2)①游客在上午7?10時之間到達火車站.

乘地鐵到商場需要時間為：-+7+10,

2

I.-+7+10>19,

2

Z>4,

當1>4時，]>8,

時，選擇出租車能盡快抵達商場；

II.-+7+10=19,

2

Z=4,

當￡=4時，、=8,

%=8時，選擇地鐵和出租車抵達商場用時相同;

III.-+7+10<19，

2

Z<4,

當/<4時，x<8,

;.7<x<8時，選擇地鐵能盡快抵達商場；

②游客在上午10?12時之間到達火車站.

乘地鐵到商場需要時間為：1+7+10=3+7+10=20（分），

乘出租車直接到達商場用時14分，

20>14,

.?.選擇出租車能盡快抵達商場.

綜上：7<x<8時，選擇地鐵能盡快抵達商場；

x=8時，選擇地鐵和出租車抵達商場用時相同；

8<x<12時，選擇出租車能盡快抵達商場.

25.（10分）平行四邊形48c。中，E、尸分別在3c上，聯(lián)結(jié)/尸、BE交于點、G,聯(lián)結(jié)CE、DF

交于點H,四邊形EGbH是矩形.

（1）如圖1,聯(lián)結(jié)G/Z,如果G////4D,求證：①AE=ED；②4D=24B；

（2）如圖2,若4E=CF=a,BF=DE=b,S.a<b,又EF=AB,用含°、6的代數(shù)式表示的長.請

直接寫出結(jié)果：AB=”

圖1圖2

【解答】（1）證明：①連接跖，如圖1所示：

圖1

?.?四邊形EGFH是矩形，

:.FD//BE,AF/1EC,

BPGE//HD,AGI/EH,

又?：GHIIAD,

GH//AE,GH/1ED,

二.四邊形AGHE及EGHD都是平行四邊形,

AE=GH,ED=GH,

AE=ED；

②由①得，E為4D中點，

■.?四邊形/BCD是平行四邊形,

AD//BC,AD=BC,

???GHHAD,

GHIIBC,

同理可得尸為3C中點，

AE=BF,

■：AE/1BF,

四邊形N3PE為平行四邊形,

■.?四邊形EGFH是矩形，

ZEGF=90°,即/尸_