2024-2025學年山東省濟南市長清區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。）

1.（4分）第33屆夏季奧林匹克運動會上，中國體育健兒展現(xiàn)了強大的中國自信與中國力量，共獲得40

枚金牌.下列體育運動圖標中（）

A.自由式小輪車B.游泳C,乒乓球D,網(wǎng)球

2.（4分）已知實數(shù)機、〃在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）

_____I111A

m01n

A.m+3>〃+3B.-3m<-3nC.mn<0D.m-n>0

3.（4分）下列從左到右的變形屬于因式分解的是（）

A.6a2b2=3ab*2abB.x（x-2）=/-2x

C.X2+2X+1（X+2）+1D.x2-9=（x+3）（x-3）

22

4.（4分）若根-"=2,則代數(shù)式皿-工的值是（）

mm+n

A.-2B.2C.-4D.4

5.（4分）下列說法正確的是（）

A.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6.（4分）若關于尤的分式方程正有增根，則根的值是（）

x+1x+1

A.-1B.-2C.1D.2

7.（4分）如圖，在△ABC中，ZBAC=U0°,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△A3，C,若點

夕恰好落在邊上（)

c

B

A.10°B.15°C.20°D.25°

8.（4分）如圖，在AABC中，AB=10,點。、E分別是邊A3、AC的中點，點尸是線段。E上的一點,

若NA尸3=90°,則線段族的長為（）

A

--------------------，

A.2B.3C.4D.5

9.（4分）如圖，在邊長為2的菱形ABC。中,分別以點A,以大于行研的長為半徑作弧，作直線

交AD于點E,則CE的長為（）

DC

7^7

/6/

AB

<

A.VGB.VG_IC.V2+ID.2亞

10.（4分）在矩形A3C。中，AB=3,8C=4,CO上的動點，且AE=CF（）

Ai----------------------\D

:

A.10B.2V7C.N13D.V73

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。填空題請直接填寫答案）

11.（4分）若分式」一有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

x-2

12.（4分）分解因式：-4〃=.

13.（4分）正六邊形A8CDM和正方形ABG”如圖所示擺放，連接CG,則圖中/BCG的度數(shù)為

14.（4分）如圖，點A坐標為（1,5）,點。為坐標原點,連接A2,若四邊形0A8C的面積為15

15.（4分）如圖，在菱形ABC。中，ZABC=120°,沿MN將△AMN折疊，點A恰好落在邊BC的中點

E上.若AB=2.

三、解答題（本大題共10個小題，共90分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

16.（7分）（1）因式分解：j^y-2xy2+y3；

（2）解方程：，=/-.

x+2x-3

17.（7分）解不等式組[3（X[2）>￥^,并寫出它的所有正整數(shù)解.

[x-l>3x-7②

18.（7分）如圖，在口48。。中，點E,BC上，且A￡=CR3。相交于點O,求證：OE=OF.

19.（8分）先化簡，再求值：（冬-其中x=2.

X-1x+1X

20.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-2,2）,3（-1,4）,C（-4,5）

（1）若△ABC經(jīng)過平移后得到△AiBiCi,已知點Ci的坐標為（1,3）,請作出△4BC1；

（2）若△4B1C1和222c2關于原點。成中心對稱，畫出AA222c2；

(3)在x軸上找一點Z),使得△ACD的面積等于△A8C的面積，直接寫出點。的坐標.

尸分另I］是02,連接AE、CE、AF.CF.

(1)求證：四邊形AEC「是平行四邊形;

(2)若四邊形AECT是矩形，ZBAC=90°,AB=2?，求8c的長.

22.(10分)在2025年5月份舉辦的第九屆世界無人機大會上，眾多企業(yè)展示了新型無人機，其中A、B

兩款無人機備受關注.已知A款無人機比B兩款無人機每架多5萬元

(1)求A、B兩款無人機的單價各是多少？

(2)某企業(yè)打算購買A、8兩款無人機共12架，且A款無人機的購買數(shù)量不少于8款無人機購買數(shù)量

的2倍，求該企業(yè)購買多少架A款無人機時花費最少？最少費用是多少萬元?

23.(10分)【閱讀材料】當a>0,b>0時,

(五-瓜)2〉o，.'.a-2-/a?Vb+^^oVab

【獲得結論】

當a>0,6>0時，a+b>2^ab；

當且僅當。=b時，等號成立，即a+b=24;

這個結論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值問題中有著廣泛的應用.

【應用舉例】

例如：在x>0的條件下，l>J.l,當且僅當1即x=l時，」，最小值

x+2xX1>2>XX

XVX+XXX

為2.

【解決問題】

(1)函數(shù)y=x+9(x>o)，》的最小值為，此時，X=.

X

(2)當x>0時，3xB的最小值為，此時，彳=.

X

(3)如圖，學校打算用籬笆圍成一個面積為200Z的長方形的生物園，其中生物園的一面AD靠墻(墻

足夠長)，其它三面用籬笆圍成，當這個矩形花園的寬AB為機時，所用的籬笆的總長度最

短，最短為米.

墻

生物園

BC

24.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=fcc+4(ZWO)(3,0),與y軸交于點8,直線BC：

y=2x+4與x軸交于點C.

(1)求直線的解析式和線段AB,AC的長.

(2)在線段8C上有一動點尸(不與點3,C重合)，過點P作尸軸于點。，PELAB于點E,PE

為鄰邊作oPDFE.

①求口POPE的周長.

②當。尸DFE為菱形時，直接寫出點尸的坐標.

25.(12分)綜合與實踐課上，老師給出定義:對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形同學們以此

開展了以下的數(shù)學活動.

圖1

(1)如圖1構造一個四邊形ABC。，使得BC=DC“垂美四邊形”.(填“是”或“不

是")

(2)如圖2,分別以RtA4C8的直角邊AC和斜邊A8為邊向外作正方形ACFG和正方形連接

CE、BG、GE,并請說明理由.

(3)在(2)的條件下，正方形ACFG的邊長為2,求GE的長.

2024-2025學年山東省濟南市長清區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案ACDDDBCBAD

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。）

1.（4分）第33屆夏季奧林匹克運動會上，中國體育健兒展現(xiàn)了強大的中國自信與中國力量，共獲得40

枚金牌.下列體育運動圖標中（）

A,自由式小輪車B,海泳C,乒乓球D,網(wǎng)球

【解答】解：選項8、C、。均能找到一個點，所以是中心對稱圖形；

選項A不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合；

故選:A.

2.（4分）已知實數(shù)相、"在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）

I111A

m01n

A.m+3>n+3B.-3m<-3nC.mn<0D.m-n>0

【解答】解：觀察數(shù)軸可知：相

A.?>"<“，.?.此選項的判斷錯誤；

8.；相<〃，.?.此選項的判斷錯誤；

C.'：m<5,：.mn<0,故此選項符合題意；

D.\'m<0,.\m-n<4,故此選項不符合題意；

故選：C.

3.（4分）下列從左到右的變形屬于因式分解的是（）

A.6a2b2—3ab,2.abB.x（尤-2）—x2-lx

C.J?+2x+l=x（尤+2）+1D./-9=（尤+3）（尤-3）

【解答】解：6//；4=3必.2"中等號左邊是單項式，則A不符合題意，

x（X-7）=/-2x是乘法運算，則8不符合題意，

X5+2X+1=X（尤+3）+1中等號右邊不是積的形式，則C不符合題意，

7-7=（尤+3）（x-3）符合因式分解的定義，則。符合題意，

故選：D.

22

4.（4分）若根--=2,則代數(shù)式皿-工，型■的值是（）

mm+n

A.-2B.2C.-4D.4

【解答】解：原式=/"n）（m-n）.巫

mm+n

=2（m-n）.

當m-〃=3時.原式=2X2=4.

故選：D.

5.（4分）下列說法正確的是（）

A.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

【解答】解：（A）對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故A錯誤.

（8）對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故8錯誤.

（C）對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故C錯誤.

故選：D.

6.（4分）若關于x的分式方程」有增根，則機的值是（）

x+1x+1

A.-1B.-2C.1D.2

【解答】解：

x+1x+1

方程兩邊同時乘（x+1）,得加-x-4=2x,

解得：X=QL

7

???分式方程有增根，

.*.x+l=O,艮|3x=-3,

???色=-2,

3

解得：m=-2.

故選：B.

7.（4分）如圖，在△ABC中，N3AC=110°,將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB'C,若點

次恰好落在BC邊上（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【解答】解：在△A3C中，

VZBAC=110°,ZC=25°,

.\ZB=180°-110°-25°=45°,

???△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AVC,若點8'恰好落在8C邊上,

：.AB'=ABf

：.ZAB'B=ZB=45°,

：.ZBfAB=180°-45°-45°=90°,

：.ZBfAC=ZBAC-AB=U0°-90°=20°.

故選：C.

8.（4分）如圖，在△ABC中，A5=10,點。、E分別是邊A3、AC的中點，點尸是線段OE上的一點,

若NA尸B=90°,則線段■的長為（）

D.5

【解答】解：??,點。、后分別是邊A5

???￡）￡1是△ABC的中位線，

VBC=16,

：.DE=yBC=6.

2

VZAFB=9Q°,。是AB的中點,

尸=1_AB=4,

2

:.EF=DE-DF=8-5=5.

故選：B.

9.（4分）如圖，在邊長為2的菱形42CD中，分別以點A,以大于玄前的長為半徑作弧，作直線MN,

交AD于點E,則CE的長為（

c.V2+1D.2V2

：.AE=BE,

VZB=135°,

AZA=45°,

：.ZEBA=ZA=45°,

AZA￡B=90°,

:AB=2,

：.BE=AE=y/2>

:四邊形ABC。為菱形,

：.AD//BC,

：.ZEBC=ZAEB=90°,

???CE=在2+（如嚴述.

故選：A.

BC=4,CD上的動點，S.AE=CF(

c.2A/13D.V73

【解答】解：連接。E,

:四邊形ABC。是矩形,

：.AB=CD,

'：AE=CF,

：.BE=DF,

：.四邊形BEDF是平行四邊形，

:.DE=BF,

要求8F+CE的最小值，即求。E+CE的最小值，

作。點關于A2的對稱點，連接。'C交AB于E,

則DE+CE=。'E+CE=CD'的值最小，

：AB=3,BC=4,

：.CD=AB=1,DD'=2AD=8,

?'?CD=VDD?5<D2=V86+32=^73>

即BF+CE的最小值為依，

故選：D.

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。填空題請直接填寫答案）

11.（4分）若分式」一有意義，則實數(shù)X的取值范圍是XW2.

x-2

【解答】解：?."-2W0,

故答案為：xW2.

12.（4分）分解因式：/-4〃=a（。-4）.

【解答】解：〃2-4Q=Q（Q-2）.

故答案為：a（〃-4）.

13.（4分）正六邊形48。。即和正方形486”如圖所示擺放,連接。6,則圖中/8。6的度數(shù)為15°

【解答】解：?.?多邊形ABC。斯是正六邊形，

：.AB=BC,/ABC=」62）義180。

4

:多邊形A8G8是正方形，

：.AB^BG,NABG=90°,

:.BC=BG,ZCBG=360°-120°-90°=150°,

/BCG=NBGC=180°-150°=15°,

2

故答案為：15°.

14.（4分）如圖，點A坐標為（1,5）,點。為坐標原點，連接A2,若四邊形042c的面積為15（4,

OA//BC,OA=BC,

所以四邊形OABC是平行四邊形.

又因為點A坐標為（1,5）,

所以3AB=15,

則48=3,

所以點B坐標為（4,5）.

故答案為：（4,5）.

15.（4分）如圖，在菱形A8CO中，ZABC=120°,沿MN將△AWN折疊，點A恰好落在邊BC的中點

E上.若A8=21.4.

【解答】解：作交CB的延長線于點“，則/”=90°

VZABC=120°,

AZHBM=180°-ZABC=60°,

：.ZBMH=9Q°-NHBM=30°,

：.BM=2BH,

;.MH=FBH，

?.,四邊形ABC。是菱形，AB=5,

：.BC=AB=2,

:.BE=LBC=\,

4

由折疊得EM=AM=2-BM=5-2BH,

'：Mffi+EH1=EM2,且EH=1+BH,

24

：.（近BH）+Cl+BH）6=（2-2BH）,

解得出/=0.3,

：.AM=1-2X0.7=14,

：.ME=3A,

故答案為：13

三、解答題（本大題共10個小題，共90分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

16.（7分）（1）因式分解：/廠2盯2+,3；

（2）解方程：工=，-.

x+2x-3

【解答】解：（1）原式=y（/-2xy+/）

=y（x-y）2；

（2）原方程去分母得：％-3=5x+4,

解得：x=-7,

經(jīng)檢驗，％=-6是原方程的解.

17.（7分）解不等式組13（X[2）>2^+5?并寫出它的所有正整數(shù)解.

.x-l>3x-7②

【解答】解：解不等式①得X、-1,

解不等式②得尤<3,

...原不等式組的解集為-3Wx<3,

它的所有正整數(shù)解為1，7.

18.（7分）如圖，在nABCD中，點E,2C上，且AE=CEBD相交于點O,求證：OE=OF.

【解答】證明：：四邊形42。是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

：.ZODE=ZOBF,

'：AE=CF,

:.DE=BF,且/DOE=/BOF,

'△DOE義ABOF（44S）,

：.OE=OF

19.（8分）先化簡，再求值：（避工-^―）?-_—,其中x=2.

x-1x+1X

【解答】解：原式=(維-」_)?(x+l)(X-1)

X-1x+8X

—2x.(x+1)(x-7)_x.(x+1)(x-7)

X-1Xx+1X

=3(x+1)-(x-5)

=3x+3-x+3

=2x+4,

當x=8時，

原式=2X2+2=8.

20.(8分)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(-2,2),B(-1,4),C(-4,5)

(1)若AABC經(jīng)過平移后得到△A181Q,已知點G的坐標為(1,3),請作出△ALBCI；

(2)若△A18C1和232c2關于原點O成中心對稱，畫出△人2比。2；

(3)在工軸上找一點。，使得△AC。的面積等于△ABC的面積，直接寫出點。的坐標.

(3)延長交x軸于點Di,

此時△ACD1的面積等于△ABC的面積，

可得點。3的坐標為(-3,0)；

過點B作AC的平行線，與x軸相交于點。6,

此時△AC02的面積等于AABC的面積，

設點。2的坐標為(m,3),

?檔X8X6=：X6X[m-(-l)]+7-X4X8-

242

解得777=—,

3

...點。8的坐標為(&,7).

3

綜上所述，點D的坐標為(-3且，0).

7

21.(9分)如圖，在nABC。中，對角線AC,點E,尸分別是。2,連接AE、CE、AF,CF.

(1)求證：四邊形AECP是平行四邊形;

(2)若四邊形AEC尸是矩形，/BAC=90°,AB=2?，求BC的長.

【解答】(1)證明：..?四邊形A8CD是平行四邊形,

：.OA^OC,OB=OD,

:點E,F分別是。8,

OE=1OB-OF得OD，

：.OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形；

(2)解：：四邊形AEC「是矩形，

C.AC^EF,OA^OC,

：.OA=OE,

OE=yOB-OA^-OB-

.?.OB=2CM,

VZBAC=90°,AB=2?，

：.OAi+AB2=OB2,

?1?0A2+(2V3)3=(20A)2;

：.OA=2,

：.AC=2OA=4,

--BC=VAB6+AC2=V12+16=276.

22.(10分)在2025年5月份舉辦的第九屆世界無人機大會上，眾多企業(yè)展示了新型無人機，其中A、B

兩款無人機備受關注.已知A款無人機比B兩款無人機每架多5萬元

(1)求A、B兩款無人機的單價各是多少？

(2)某企業(yè)打算購買43兩款無人機共12架，且A款無人機的購買數(shù)量不少于B款無人機購買數(shù)量

的2倍，求該企業(yè)購買多少架A款無人機時花費最少？最少費用是多少萬元？

【解答】解：(1)設A款無人機的單價為。萬元，則8款無人機的單價為(a-5)萬元.

根據(jù)題意，得配=型_,

aa-5

解得a=20,

經(jīng)檢驗，。=20是所列分式方程的根，

20-7=15(萬元).

答：A款無人機的單價為20萬元，B款無人機的單價為15萬元.

(2)設該企業(yè)購買無架A款無人機，則購買(12-無)架2款無人機.

根據(jù)題意，得尤22(12-x),

解得尤N8,

設總花費W元，則W=20x+15(12-X)=3x+180,

V5>0,

W隨x的增大而增大，

.?.當x=8時W值最小，W最小=5X2+180=220.

答：該企業(yè)購買8架A款無人機時花費最少，最少費用是220萬元.

23.(10分)【閱讀材料】當a>0,b>0時，

(Va-Vb)二。-2??Vb+^^O-s/ab

【獲得結論】

當a>0,b>0時，a+b>2Vab；

當且僅當。=6時，等號成立，即a+b=2"/^；

這個結論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值問題中有著廣泛的應用.

【應用舉例】

例如：在x>0的條件下，xd》2\x，，：.xd)2,當且僅當x=—,即％=1時，x+工，最小值

XVXXXX

為2.

【解決問題】

(1)函數(shù)y=x+9(X>O)，丫的最小值為6,止匕時，X=3.

X

(2)當x>0時，3xB的最小值為—，此時，尤=_我—.

X

(3)如圖，學校打算用籬笆圍成一個面積為200m2的長方形的生物園,其中生物園的一面AZ)靠墻(墻

足夠長)，其它三面用籬笆圍成，當這個矩形花園的寬AB為10〃，時，所用的籬笆的總長度最短,

最短為40米.

墻

AD

生物園

BC____

【解答】解：(1)由題意，當％>0時豆，

xVx

；.x+旦24±即尤=3時S有最小值.

XXX

故答案為：6；3.

(2)由題意，當x>6時，；3x^Jx①,

.??3x』》2diW我,當且僅當2x=2&時，7xB有最小值五?

XXX

故答案為：3近；近.

(3)由題意，,.,&8=X米29&米，

???籬笆的總長度=4x+型&.

，2x+迎■240型即x=10時駟■有最小值.

XXX

答：當這個矩形花園的寬A8為10機時，所用的籬笆的總長度最短.

故答案為：10；40.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y=fcc+4(左=0)(3,