2022北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

尺規(guī)作圖及軸對稱

一、單選題

1.（2022.北京門頭溝.八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=ACfZA=36°,分別以A,C為圓心，大于

（AC的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點M,N,作直線MN,分別交AB,AC于點。，E,連接

CD.有以下四個結(jié)論：①/BCO=/ACD=36。；②AZ）=CD=C8；③/CZ）的周長等于AC+BC；④點。

是線段A8的中點.其中正確的結(jié)論是（）

2.（2022?北京豐臺.八年級期末）鋼架雪車是2022年北京冬奧會的比賽項目之一.下面這些鋼架雪車運動

標(biāo)志是軸對稱圖形的是（）

3.（2022?北京朝陽?八年級期末）點尸在NA08的平分線上（不與點。重合），PC_LOA于點C,D是OB

邊上任意一點，連接PD若尸C=3,則下列關(guān)于線段尸。的說法一定正確的是（）

A.PD=POB.PD<3C.存在無數(shù)個點。使得PD=PCD.PD>3

4.（2022?北京平谷?八年級期末）下列命題是假命題的是（）

A.直角三角形兩銳角互余B.有三組對應(yīng)角相等的兩個三角形全等

C.兩直線平行，同位角相等D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

5.（2022?北京朝陽?八年級期末）下面四個圖形中，是軸對稱圖形的是（）

6.（2022?北京順義?八年級期末）如圖，AABC中，直線/是邊的垂直平分線，若直線/上存在點P,

使得△B4C,△出臺均為等腰三角形，則滿足條件的點尸的個數(shù)共有（）

c

A

B

A.1B.3C.5D.7

7.（2022?北京東城?八年級期末）在第32屆夏季奧林匹克運動會（即2020年東京奧運會）上，中國健兒

勇于挑戰(zhàn)，超越自我，生動詮釋了奧林匹克精神和中華體育精神，共獲得38金32銀18銅的驕人戰(zhàn)

8.（2022?北京石景山?八年級期末）如圖1,北京2022年冬季奧林匹克運動會會徽（冬夢）主要由會徽圖

形、文字標(biāo)志、奧林匹克五環(huán)標(biāo)志三個部分組成，圖形主體形似漢字“冬”的書法形態(tài)；如圖2,冬殘奧會

會徽（飛躍）主要由會徽圖形、文字標(biāo)志、國際殘奧委會標(biāo)志三部分組成，圖形主體形似漢字“飛”的書法

字體.

會徽圖形j一生

■褪回諫-j

BEIJING202^BEIJINGW22-

———jOQ9

圖1圖2

以下圖案是會徽中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（）.

AB°Q9"Q

9.（2022?北京房山?八年級期末）甲骨文是中國的一種古代文字，是漢字的早期形式，有時候也被認(rèn)為是

漢字的書體之一，也是現(xiàn)存中國王朝時期最古老的一種成熟文字。下圖為甲骨文對照表中的部分文字，若

把它們抽象為幾何圖形，其中最接近軸對稱圖形的甲骨文對應(yīng)的漢字是（）

1I彳

康元卜

A.時B.康C.黃D.奚

10.（2022?北京懷柔.八年級期末）已知：如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分NCAB交BC于點

于點E.若/CA8=30。，AB=6,則。E+O8的值為（）

11.（2022?北京海淀?八年級期末）下列冰雪運動項目的圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）

12.（2022?北京昌平?八年級期末）下列垃圾分類的標(biāo)識中，是軸對稱圖形的是（）

△01X

①可回收垃圾②其他垃圾③廚余垃圾④有害垃圾

A.①②B.③④C.①③D.②④

第H卷（非選擇題）

請點擊修改第II卷的文字說明

二、填空題

13.（2022?北京大興?八年級期末）如圖，在Rt/XABC中，ZA=90°,ZC=30°,AB=2,是AC的垂

直平分線，尸是直線E尸上的任意一點，則以+PB的最小值是.

14.（2022?北京海淀?八年級期末）如圖，在AABC中，為8C邊上的中線，于點E,AD與CE

交于點R連接8反若8尸平分NABC,EF=2,BC=8,貝。/的面積為.

A

E

F

三、解答題

15.（2022?北京順義?八年級期末）已知：如圖，放△ABC中，ZC=90°,CA=CB,。是邊CB上一點,

Z）E_LAB于點E,且CD=BE.求證：AO平分NBAC.

c

16.（2022?北京石景山.八年級期末）下面是小明設(shè)計的“過直線上一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過

程.

已知：如圖，直線/及直線/上一點尸.

求作：直線尸。，使得PQ，/.

作法：如圖，

圖1圖2

①以點尸為圓心，任意長為半徑作弧，交直線/于點A,B；

②分別以點A,8為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧在直線/的同側(cè)交于點。;

③作直線PQ.

直線就是所求作的直線.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖的過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接QB.

*/QA=,PA=PB,

：■PQA-l（）（填推理的依據(jù)）.

17.（2022?北京懷柔.八年級期末）老師布置了如下尺規(guī)作圖的作業(yè)：

已知：如圖△ABC.

求作：AABC邊8C上的高AM.

下面是小紅設(shè)計的尺規(guī)作圖過程：

作法：

①延長線段BC；

②以點A為圓心，AC長為半徑作弧交BC的延長線于點

③分別以點C,。為圓心，大于gCD的長為半徑作弧，兩弧在CD下方交于點E；

④連接AE,交CD于點M.

所以線段AM就是所求作的高線.

根據(jù)小紅設(shè)計的尺規(guī)作圖過程和圖形，完成（1）（2）兩小題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）將該作圖證明過程補充完整：

由②可得：AC=.

由③可得：=.

（）.（填推理的依據(jù)）

即AM是△ABC邊上的高線.

18.（2022?北京房山?八年級期末）如圖，AABC中，CD平分ZACB,且E為AB的中點,

90，3。于知，DNLAC^N,請你判斷線段與3的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

19.（2022?北京東城?八年級期末）如圖，在AABC中，NACB=90。，AC<BC.分別以點A,8為圓心,

大于‘A3的長為半徑畫弧，兩弧交于。，E兩點，直線。E交BC于點E連接AF.以點A為圓心，AF

為半徑畫弧，交BC延長線于點H,連接AH.

（1）使用直尺和圓規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）；

（2）通過作圖過程，可以發(fā)現(xiàn)直線。E是線段A8的,AAFH是______三角形;

(3)若BC=4,則AA切的周長為.

20.(2022.北京大興.八年級期末)下面是小明同學(xué)設(shè)計的“已知底邊及底邊上的中線作等腰三角形”的尺規(guī)

作圖過程.

已知：如圖1,線段。和線段瓦

a

,b,

圖1

求作：AABC,使得AB=AC,BC=a,8C邊上的中線為上

作法：如圖2,

Bc1~M~

圖2

①作射線BM,并在射線BM上截取BC=a；

②作線段8c的垂直平分線P。，PQ交于點。；

③以點。為圓心，b為半徑作弧，交PQ于點A；

④連接AB和AC.

則△ABC為所求作的等腰三角形.

(1)用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖2中的圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明：

證明：由作圖可知3C=a,AD=b.

：尸。為線段8C的垂直平分線，點A在尸。上，

：.AB^AC()(填推理的依據(jù)).

又線段BC的垂直平分線P。交BC于點D,

：.BD=CD.

為8C邊上的中線.

21.(2022.北京豐臺?八年級期末)在平面直角坐標(biāo)系xOv中，作直線/垂直x軸于點尸(?,0),已知點

A(1,1),點8(1,5),以為斜邊作等腰直角三角形ABC,點C在第一象限.AABC關(guān)于直線/的

對稱圖形是VABC.給出如下定義：如果點M在VAE。上或內(nèi)部，那么稱點"是△ABC關(guān)于直線/的“稱

心點

九

6-

5-

4-

3-

2-

1-

23456X

3

⑴當(dāng)。=0時，在點D3),E(-2,2),F(-3,4)中，△ABC關(guān)于直線/的“稱心點”

是;

(2)當(dāng)△ABC上只有1個點是dBC關(guān)于直線/的“稱心點”時，直接寫出。的值；

⑶點”是關(guān)于直線/的“稱心點”，且總有△抽。的面積大于的面積，求，的取值范圍.

22.(2022?北京豐臺?八年級期末)下面是小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，在放△ABC中，ZABC=90°.

求作：點。，使得點。在5c邊上，且到A3和AC的距離相等.

作法：①如圖，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交A5,AC于點V,N；

②分別以點N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點P；

③畫射線AP,交2C于點。.

所以點。即為所求.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：過點。作DELAC于點E,連接MP,NP.

在AAMP和AAAP中，

'：AM=AN,MP=NP,AP=AP,

AAAMP^AANP(SSS).

AZ=Z.

'：ZABC=90°,

/.DBA.AB.

'：DEIAC,

DB=DE（）.

23.（2022?北京海淀.八年級期末）如圖，已知線段及線段AB外一點C,過點C作直線C。，使得

CDLAB.

小欣的作法如下：

AB

①以點B為圓心，8c長為半徑作??；

②以點A為圓心，AC長為半徑作弧，兩弧交于點D；

③作直線CD.

則直線。即為所求.

（1）根據(jù)小欣的作圖過程補全圖形；

（2）完成下面的證明.

證明：連接AC,AD,BC,BD.

BC=BD,

...點B在線段CO的垂直平分線上.（）（填推理的依據(jù)）

...點A在線段CD的垂直平分線上.

直線AB為線段CD的垂直平分線.

CDLAB.

24.（2022.北京朝陽?八年級期末）下面是小軍設(shè)計的“過線段端點作這條線段的垂線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：線段4艮

I_______________________I

AB

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點A.

作法：如圖，

______________________________________I________________________I

c]AB

①以點A為圓心，A8長為半徑作弧，交線段8A的延長線于點C；

②分別以點B和點C為圓心，大于38c的長為半徑作弧，兩弧相交于直線8c上方的點。；

③作直線AD.

所以直線就是所求作的垂線.

根據(jù)小軍設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：連接CD,BD.

?：BD=,AB=,

：.AD1AB()(填推理的依據(jù)).

25.(2022?北京延慶?八年級期末)尺規(guī)作圖：

已知：如圖1,直線和直線外一點P.

求作：直線產(chǎn)。，使直線產(chǎn)。〃MN.

P

MN

圖1

小智的作圖思路如下：

①如何得到兩條直線平行？

小智想到，自己學(xué)習(xí)線與角的時候，有4個定理可以證明兩條直線平行，其中有“內(nèi)錯角相等，兩條直線

平行”.

②如何得到兩個角相等？

小智先回顧了線與角的內(nèi)容，找到了幾個定理和1個概念，可以得到兩個角相等.小智又回顧了三角形的

知識，也發(fā)現(xiàn)了幾個可以證明兩個角相等的定理.最后，小智選擇了角平分線的概念和“等邊對等角”.

③畫出示意圖：

④根據(jù)示意圖，確定作圖順序.

（1）使用直尺和圓規(guī)，按照小智的作圖思路補全圖形1（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：平分NR1N,

:./PAB=/NAB.

"：PA=PQ,

：.ZPAB=ZPQA（①）.

ZNAB=ZPQA.

：.PQ//MN（②）.

（3）參考小智的作圖思路和流程，另外設(shè)計一種作法，利用直尺和圓規(guī)在圖2中完成.（溫馨提示：保留

作圖痕跡，不用寫作法和證明）

P

MN

圖2

26.（2022?北京海淀?八年級期末）在3x3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形

稱為格點三角形.圖中AABC是一個格點三角形.請在圖1和圖2中各畫出一個與AASC成軸對稱的格點三

角形，并畫出對稱軸.

圖1圖2

27.（2022.北京西城?八年級期末）己知：如圖1,線段a,b（a>b）.

b

圖1

（1）求作：等腰△ABC,使得它的底邊長為b,底邊上的高的長為跖

作法：①作線段AB=6.

②作線段48的垂直平分線MN,與AB相交于點D

③在上取一點C,使OC=a.

④連接AC,BC,則△ABC就是所求作的等腰三角形.

用直尺和圓規(guī)在圖2中補全圖形（要求：保留作圖痕跡）;

b

/,B

圖2

（2）求作：等腰APEF,使得它的腰長為線段a,b中一條線段的長，底邊上的高的長為線段a,b中另一

條線段的長.

作法：①作直線/,在直線/上取一點G.

②過點G作直線I的垂線GH.

③在GH上取一點P,使尸G=.

④以尸為圓心，以的長為半徑畫弧，與直線/分別相交于點E,F.

⑤連接PE,PF,則△尸跖就是所求作的等腰三角形.

請補全作法，并用直尺和圓規(guī)在圖3中補全圖形（要求：保留作圖痕跡）.

G

圖3

28.（2022?北京平谷?八年級期末）已知：如圖AA8C

求作：點尸，使得點P在AC上，且

作法：

①分別以3,C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于M,N-,

（1）利用直尺和圓規(guī)依做法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：,；BM=CM,BN=CN,

：.M,N在線段BC的垂直平分線上.（）（填推理的依據(jù)）

即MN是AB的垂直平分線.

點尸在直線MN上.

：.PC=PB.（）（填推理的依據(jù)）

29.（2022?北京門頭溝?八年級期末）下面是小麗同學(xué)設(shè)計的“作30。角”的尺規(guī)作圖過程.

己知：如圖1,射線。A.

求作：ZAOB,使NAOB=30。.

oA

圖1

作法：如圖2,

①在射線上任取一點C；

②分別以。，C為圓心，0C長為半徑作弧，兩弧在射線。4的上方交于點D,作射線0D并連接8；

③以。為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線。4,0D于點E,F-,

④分別以E,歹為圓心，以大于廠的同樣長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)部交于點B；

⑤作射線0B；

根據(jù)小麗設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖2（保留作圖痕跡）；

（2）補全下面證明過程：

證明：連接BE,BF.

"：OC=OD=CD,

AOC。是等邊三角形.

ZCOD=°.

又,:OE=OF,BE=BF,OB=OB,

AOEB^AOFB（）（填推理依據(jù)）.

NEOB=/FOB（）（填推理依據(jù)）.

ZAOB=-ZCG?￡>=30°.

2

/AOB就是所求的角.

30.（2022?北京通州.八年級期末）《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造性一體的不朽之

作，把人們公認(rèn)的一些事實列成定義、公理和公設(shè)，用它們來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套

從定義、公理和公設(shè)出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學(xué)論證方法.小牧在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生了一個猜想：

“如果三角形一邊上的中線的長度等于所在邊長度的一半，那么這個三角形是直角三角形.”

AB

(l)請你用尺規(guī)作圖，在圖中作出線段A3的中點。，并連接8.(保留作圖痕跡)

(2)請你結(jié)合圖形，將小牧猜想的命題寫成已知、求證.

已知：.

求證：AABC為直角三角形.

(3)補全上述猜想的證明過程.

證明：???點。是線段A5的中點，

AD=BD,

又：CD=-AB,

2

,AD=BD=CD,

在"CD中，VAD^CD,

：.ZDCA=ZA,()(填推理的依據(jù))，

同理，在△BCD中，ZDCB=NB.

在AABC中

ZDCA+ZA+ZDCB+NB=180°.

_______=90°,

.?.在AABC中，ZACB=90°,

.??△A5C為直角三角形.

參考答案

1.C

【分析】根據(jù)AB=AC,NA=36。，可得NACB=N3=72。,根據(jù)作圖可知跖V是AC的垂直平分線，進而

可得AD=DC,NDC4=/ZMC=36。，進而可得NOC8=NACB—/4CD=36。，即可判斷/89C=72。，進

而判斷CD=CB,即可判斷①②③正確，若④正確，則可得△DBC是等邊三角形，進而得出矛盾，判斷④

不正確

【詳解】解：；AB=AC,ZA=36°,

ZACB=ZB=1(180°-ZA)=72°,

根據(jù)作圖可知MN是AC的垂直平分線，

AD=DC,

ZDCA=ZDAC=36°,

.:.DA=DC,/BDC=/DAC+/DCA=72。

?.ZDCB=ZACB-ZACD=36°

.\ZCDB=ZB=12°

ZBCD=ZACD=36°,AD=CD=CB；；

故①②正確

的周長等于3O+CD+3C=3r>+AD+3C=AB+3C=AC+BC；

故③正確

若點D是線段4B的中點

:.AD=DB

-.-DC=DA=BC

：.DB=DC=BC

.?.△DBC是等邊三角形

而/3=72。/60°

二點。不是線段AB的中點

故④不正確

故正確的有①②③

故選C

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與作圖，掌

握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義(在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形)依次

判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義可得：只有D選項符合題意，其余選項的均不符合題意，

故選：D.

【點睛】題目主要考查軸對稱圖形的判定，深刻理解軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點尸到的距離為3,再根據(jù)垂線段最短解答即

可.

【詳解】解：：點尸在的平分線上，PCLOA于點C,PC=3,

點P到OB的距離為3,

?.?點。是邊上的任意一點，根據(jù)垂線段最短，

：.PD^3.

故選：D.

【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

4.B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)逐項分析.

【詳解】A.直角三角形兩銳角互余，正確，是真命題；

B.有三組對應(yīng)角相等的兩個三角形，因為它們的邊不一定相等，所以不一定全等，故錯誤，是假命題；

C.兩直線平行，同位角相等，正確，是真命題；

D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，正確，是真命題；

故選B.

【點睛】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的定義、性質(zhì)定理及判定定理.

5.D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可.

【詳解】V不是軸對稱圖形,

?".A不符合題意;

不是軸對稱圖形,

二8不符合題意;

不是軸對稱圖形,

二?C不符合題意;

VA''是軸對稱圖形，

符合題意；

故選D

【點睛】本題考查了軸對稱圖形即沿直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，熟記定義是解題的

關(guān)鍵.

6.A

【分析】AC的垂直平分線交/于P點即為所求.

【詳解】如圖，AC的垂直平分線交/于尸點，貝I|AP=CP=8P

此時△必C,均為等腰三角形，

共一點，

故選A.

【點睛】此題主要考查垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的定義與垂

直平分線的性質(zhì).

7.A

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

【詳解】解：選項B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，所以不是軸對稱圖形，

選項A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖

形，

故選：A.

【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對稱軸位置.

8.B

【分析】結(jié)合軸對稱圖形的概念求解即可.如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成

軸）對稱.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；

B.是軸對稱圖形，本選項符合題意；

C.不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，本選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

9.C

【分析】根據(jù)圖形的特點及軸對稱圖形的定義即可辨別求解.

【詳解】由圖可得最接近軸對稱圖形的甲骨文對應(yīng)的漢字是黃

故選C.

【點睛】此題主要考查軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是熟知根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

10.B

【分析】先由角平分線的性質(zhì)得到。E=C。，貝ijr>E+8O=CO+8O=BC,再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)

即可得到2C=LAB=3.

2

【詳解】解：：/C=90。，AD平分/CAB,DELAB,

：.DE=CD,

：.DE+BD=CD+BD=BC,

又：NCA8=30°,AB=6,

：.BC=-AB=3,

2

故選B.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知角平分線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

11.D

【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此

可得結(jié)論.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被

一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合.

12.B

【詳解】解：圖③和④是軸對稱圖形，

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，熟記軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部

分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形）是解題關(guān)鍵.

13.4

【分析】先根據(jù)NA=90。，NC=30。，AB=2,求出的長，再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AP=

FC,最后根據(jù)兩點之間線段最短即可求解.

【詳解】解：如圖，連接

是AC的垂直平分線，

AF=FC,

,/ZA=90°,ZC=30°,AB=2,

：.BC=4,

???根據(jù)兩點之間線段最短，

：.PA+PB=PB+PC=BC,最小，此時點尸與點尸重合，

.?.E4+PB的最小值是的長，即為4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了在直角三角形中，30。的角所對的邊是斜邊的一半和軸對稱一最短路線問題，解決本題

的關(guān)鍵是利用線段的垂直平分線的性質(zhì).

14.4

【分析】過產(chǎn)作FGLBC于G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得尸G=EE=2,再根據(jù)三角形一邊上的中線將三角

形面積平分求解即可.

【詳解】解：過尸作FGLBC于G,

平分ZA3C,FG±BC,CE1ABBPEF±AB,

；.FG=EF=2,

?.飛。為4ABC的BC邊上的中線，

為△8EC的8C邊上在中線，又8C=8,

：.SACDF=^SABFC=-X-BCFG=-X-X8x2=4,

22222

故答案為：4.

【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理、三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性

質(zhì)定理以及三角形一邊上的中線將三角形面積平分是解答的關(guān)鍵.

15.見解析

【分析】先證明△3DE為等腰直角三角形，得出DE=BE,再證明RtAACD/RjAED,得出

ZEAD^ZCAD,即可證明.

【詳解】解：.?.C4=Q5，NC=90°,

.〔HAABC為等腰直角三角形，

.-.ZDBE=45°,

又?.,￡>￡r!.回,

.?△BDE為等腰直角三角形，

DE=BE，

?：CD=BE,

CD-DE,

AD=AD,ZACD=ZAED=90°,

Rt^CD^RtAAED（HL）,

:.ZEAD^ZCAD,

二仞平分za4c.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形、三角形全等的判定及性質(zhì)、角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的

全等的證明.

16.（1）見解析；（2）QB,三線合一

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：（1）如圖，直線尸。即為所求作.

（2）理由：連接QA,QB.

'：QA=QB,PA=PB,

J.PQLl（三線合一）.

故答案為：Q8,三線合一.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，

屬于中考?？碱}型.

17.（1）見解析；（2）AD；CE；DE；AE是CD的垂直平分線；與線段兩個端點距離相等的點在這條線段

的垂直平分線上

【分析】（1）根據(jù)題中作法作圖即可；

（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可證明.

【詳解】解：（1）如圖，根據(jù)題中作法作圖即可得；

（2）由②可得：AC^AD,（均為圓的半徑）

由③可得：CE=DE,（相同圓的半徑）

...AE是C。的垂直平分線（到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）.

故答案為：AD；CE；DE；AE是。的垂直平分線；到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直

平分線上.

【點睛】題目主要考查垂直平分線的作法及證明，理解題意，熟練掌握作圖方法是解題關(guān)鍵.

18.BM=AN,證明見解析

【分析】連接ZM,DB,由角平分線的性質(zhì)可證加=狽，由垂直平分線的性質(zhì)可證。8=D4,然后根據(jù)

“HL”證明RtADBM^RtAZMA^即可.

【詳解】解：BM=AN,理由：

如圖，連接D4,DB,

A

ML

平分N4CB,于M,DNIAC^N,

：.DM=DN,

"：DE_LAB且E為AB的中點，

/.DB=DA,

[DB=DA

在RMDBM與RhDAN中,…

[DM=DN

/.RtADBM^RtAZW<(HL),

：.BM=AN.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角

形的判定方法有：SSS、SAS,ASA,AAS和HL；全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相

等、對應(yīng)邊上的中線相等、對應(yīng)邊上的高線相等、對應(yīng)角的角平分線相等.

19.⑴見解析

(2)垂直平分線；等腰

(3)8

【分析】(1)根據(jù)題意直接作圖即可；

(2)根據(jù)(1)的作圖過程可得。E垂直平分AB,由以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點

H,連接可得A/H4H,即可判定AAraf的形狀；

(3)利用等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)可得”+"=8/+”=4/+。8=2。,最后根據(jù)三

角形的周長公式解答即可.

(1)

解：作圖如下所示：

(2)

解：由(1)的作圖過程可知，Z5E垂直平分且即△是等腰三角形.

故答案為：垂直平分線，等腰.

(3)

解：由(1)基本作圖方法得出：垂直平分A8

/.AF=BF,

'：AF=AH,AC1FH,

；.FC=CH,

：.AF+FC^BF+FC^AH+CH^BC^4

.?.△AFH的周長為：AF+FC+CH+AH=2BC=8.

【點睛】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，運用等腰三角

形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)得到4尸+R:=8/+/^=4"+8=8(?是解答本題關(guān)鍵.

20.(1)見詳解；(2)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

【分析】(1)用直尺和圓規(guī)，補全圖2中的圖形即可；

(2)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】解：(1)△ABC即為所求作的圖形，如圖所示：

(2)證明：由作圖可知BC=mAD=b.

為線段8C的垂直平分線，點A在尸。上，

：.AB=AC(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等).

又：線段BC的垂直平分線PQ交BC于D,

：.BD=CD.(中點定義).

為8c邊上的中線，且AQ=6.

故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫圖.

21.(1)點T,點E

(2)a=3

(3)@a<-l；②aV-1或〃>5

【分析】⑴由題意確定C點坐標(biāo)，從而確定A(-Ll)，B'(-L5),。(-3,3),即可判斷AMC關(guān)于直線/的“稱心

點”；

(2)由圖形的軸對稱判定即可；

(3)過點A作直線機〃BC,延長AC至點使CM=AC,過點M作〃〃BC.分別計算當(dāng)點在直線機

上，時；當(dāng)點。在直線w上，SzCBC=S/A8C時。的值，在結(jié)合S/HBOSMBC得出。

的取值范圍；

⑴

解：(1)由題意可確定C(3,3),

當(dāng)4=0時，A'(-U),C(-3,3)

△ASC關(guān)于直線I的“稱心點”是點D,點、E；

故答案為：點。，點E

(2)

解：當(dāng)AABC上只有1個點是AABC關(guān)于直線/的“稱心點”時，

點C在直線/上，

所以<7=3

故答案為：a=3

(3)

解：過點A作直線相〃3C,延長AC至點使CM=AC,過點M作"〃BC.

①當(dāng)點B'在直線機上時，SABBC=SAABC.

如圖，止匕時89=A8=4,

???點8'的坐標(biāo)為(-3,5).

??Cl=-1.

?"△HBOSAABC,

??1V—1.

②當(dāng)點。在直線n上時，SACBC=SAABC.

??—5.

??0HBC>S^ABC.

d>5.

綜上所述，或〃>5.

【點睛】本題考查了圖形在平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱，掌握圖像軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.(1)補全圖形見解析

(2)ZPAM,ZPAN,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

【分析】(1)按照要求補全圖形即可；

(2)讀懂證明中的每一個步驟及推理的依據(jù)，即可完成.

(1)

補全的圖形如下：

C

過點。作OELAC于點E,連接MRNP.

在AA/WP和中，

'：AM^AN,MP=NP,AP=AP,

：.AAMP%AANP(SSS).

ZPAM=ZPAN.

：.ZABC=90°,

：.DB±AB.

DEIAC,

/.DB=DE(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等).

故答案為：ZPAM,APAN,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

【點睛】本題考查了用尺規(guī)作角平分線，三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，靈活運

用它們是關(guān)鍵.

23.(1)見解析；(2)到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上；AD；

【分析】(1)根據(jù)作圖的作法作出圖形即可求解；

(2)完連接AC,AD,BC,BD,根據(jù)到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上即可求解.

【詳解】解：（1）作圖如圖所示:

,?BC=BD,

...點8在線段CD的垂直平分線上.（到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上）（填推理的

依據(jù)）

AC=AD,

...點A在線段CD的垂直平分線上.

，直線AB為線段CD的垂直平分線.

，CDLAB.

故答案為：到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上；AD.

【點睛】本題考查作圖，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是理解到線段兩個端點的距離相等的點在線段的

垂直平分線上.

24.⑴見解析

（2）8,AC,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

【分析】（1）根據(jù)作法補全圖形即可；

（2）根據(jù)圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

（1）

證明：連接CD,BD.

：.AD±AB（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合）（填推理的依據(jù)）.

故答案為：CD,AC,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌

握等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

25.（1）圖見解析（2）等邊對等角；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（3）圖見解析

【分析】（1）根據(jù)題意即可尺規(guī)作圖進行求解；

（2）根據(jù)角平分線與等腰三角形的性質(zhì)得到內(nèi)錯角相等，故可求解；

（3）作于H點、,再作刊九LPQ即可.

（2）證明：平分NB4N,

：.ZPAB=ZNAB.

VE4=PQ,

：.ZPAB=ZPQA（等邊對等角）.

ZNAB=ZPQA.

J.PQ//MN（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：等邊對等角；內(nèi)錯角相等，兩直線平行;

（3）如圖2,PQ為所求.

-------——F

_____H______

M---N

圖2

【點睛】此題主要考查尺規(guī)作圖的運用，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、垂直平分

線的作法.

26.見解析

【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出成軸對稱的三角形即可得解；

【詳解】與AABC成軸對稱的格點三角形如圖所示：AABCKAAECZ即為所求.

【點睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵，本

題難點在于確定出不同的對稱軸.

27.（1）見解析；（2）a,b,見解析

【分析】（1）根據(jù)所給的作法和線段垂直平分線的作圖方法畫出對應(yīng)的圖形即可;

（2）根據(jù)所給的作法和作垂線的方法畫出對應(yīng)的圖形即可.

【詳解】解：（1）如圖