專題01集合與不等式

1.常見的數(shù)集

自然數(shù)集N,正整數(shù)集N*或N+，整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實數(shù)集R.

2.集合間的關(guān)系

(1)如果集合Z中的任意一個元素都是集合8的元素，那么集合Z叫做集合8

的子集，AQB.

(2)如果集合Z是集合3的子集，并且3中至少有一個元素不屬于4那么集合

Z叫做集合8的真子集，即ZuB.

3.集合的基本運算

(1)幺口8={小?2且

(2)ZU8={x|xGZ或

⑶(：3={小6。且X0}.

4.充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系

(1)若P是q的充分條件，貝UZG反

(2)若p是q的充分不必要條件，則A黑B.

(3)若p是q的必要不充分條件，則5曝/.

(4)若P是q的充要條件，則2=8.

5.全稱量詞命題和存在量詞命題

(1)全稱量詞命題：對河中任意一個x〃(x)成立，VxGM,p(x).

(2)存在量詞命題：存在M中的元素x,(x)成立，3x^M,p(x).

(3)全稱量詞命題的否定：「p(x).

(4)存在量詞命題的否定：PxRM,「p(x).

6.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：a>b<^>b<a.

⑵傳遞性：a>b,b>c=^a>c.

(3)可力口性：a>b<^>a+c>b+c；a>b,c>d=>a+c>b+d.

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O^>ac<bc；a>b>09c>d>O=>ac>bd.

7.幾個重要的不等式

(1)基本不等式而w小.

(3)-+y>2(aZ)>0).

ab

(4Z?O).

ab

8.一元二次不等式的解法

(1)不含參的一元二次不等式:可以用分解因式法或判別式法求解，“大于取兩邊,

小于取中間

(2)含參的一元二次不等式：需要對參數(shù)進行分類討論.

9.一元二次不等式恒成立問題

(1)不等式ax2-\-bx-\-c>O(a^O),x￡R恒成立0a>0且zKO.

(2)不等式ax2+bx-\-c<O(a^O),x￡R恒成立=a<0且/KO.

考息力目擊

考點01集合的概念與運算

1.由集合間的關(guān)系求參數(shù)

（1）利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合（含

參數(shù)），另一個為靜集合（具體的），解答時常借助數(shù)軸來建立變量間的關(guān)系，需

特別注意端點問題.

⑵空集是任何集合的子集，因此在解ZG5（8W0）的含參數(shù)的問題時，要注意討

論幺=0和2^0兩種情況.

2.交集、并集、補集的求解

（1）定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用定義求解.

（2）數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸

分析法求解，此時需注意端點問題.

【典例1】（2025?河北模擬）已知集合-8<0},則（）

A.1GZB.2dzC.OWND.{0,1,2}QA

【答案】/

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系依次判斷即可.

【解答】解：由題可知，集合/={x,3-8<0}={X|X<2},

所以O(shè)J,l&A,2。，

故/正確，B錯誤,C錯誤；

集合{0,1,2}不是集合/的子集，故。錯誤.

故選：A.

【典例2】（2025?四川模擬）已知集合A={%|久=當，neZ},B-{x\x-neZ},

則（）

A.A=BB.AQBC.A?BD.AHB=0

【答案】B

【分析】對于集合B={x|x=/,neZ},分〃=2左和〃=2左+1（左GZ）兩種情

況討論，結(jié)合集合間包含關(guān)系的定義判斷即可.

【解答】解：對于集合8={%|%=/,n&Z],

當n=2k(左?Z)時，B={x\x=^=^,左?Z},

當"=2k+1(左?Z)時，B={x\x=^^=^+^,左GZ},

所以ZG8,且幺用.

故選：B.

x

【典例3](2025?淄博模擬)已知集合/={x|x23},B={y\y=2,x>0},則幺

UB=()

A.RB.[0,+oo)C.(0,1)D.[0,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)集合的交集計算和二次不等式以及指數(shù)函數(shù)的不等式解法即可

求解.

22

【解答]解：A={x\x<x}={x\x-x<0}={x|x(x-1)<0}={x|0<x<l})

B={y\y=2\x>0}={y\y>1],

U5=[0,+oo).

故選：B.

【典例4】(2025春?上海校級期中)已知集合力={-方，0,J},8={x|x=k7r+￡

,k€N},則ACiB=.

【答案】g}.

【分析】根據(jù)集合交集的定義計算求解.

【解答】解：由4={—90,分B^{x\x^kn+^,k&N),

得4nB0,加{x|x=E+%左?N}=玲}.

故答案為：戲}.

考點02充分條件與此要條件

1.充分條件與必要條件的判斷

⑴定義法：根據(jù)夕夕進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

⑵集合法：根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.利用集合

中包含思想判定時，抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，簡記為“小

充分，大必要”，即可解決充分必要性的問題.

2.由充分條件與必要條件求參數(shù)

(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含、

相等關(guān)系，然后列出有關(guān)參數(shù)的不等式(組)求解，利用集合知識，結(jié)合數(shù)軸解

決問題.

(2)涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難時，可用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的

問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決.

(3)要注意區(qū)間端點值的檢驗，端點值取舍代進去驗證.

則是『的

【典例5】(2025春?寶山區(qū)校級期中)設(shè)21、z2ec,“Z1=±Z2""|Z1|=|Z2

()條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念檢驗充分必要性即可求解.

【解答】解：當Zl=±22時，匕1|=防|成立，即充分性成立；

當匕1|=匕2|時，例如Zl=l,Z2=i,此時Z*±22,即必要性不成立.

故選：A.

【典例6】(2025春?海淀區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=cos(x+0),?(x)為

奇函數(shù)”是“。=舒的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的奇偶性及充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.

【解答】解：若6=笠則/(x)=cos(x+￡)=-s譏x為奇函數(shù),必要性成立,

若/(x)為奇函數(shù)，則。=]+卜兀，kGZ,充分性不成立，

所以丁5)為奇函數(shù)”是*=表的必要不充分條件.

故選：B.

【典例7】(多選)(2025春?天心區(qū)校級期中)下列命題為假命題的是()

11

A.若a>b,貝卜<-

ab

———,cia+c

B.右a>6>0且c>0,則：>■;—

bb+c

C.不等式Ax?+京一ivo對一切實數(shù)%恒成立，則-4V左V0

D.AV5”是“一；>1”的一個必要不充分條件

x-1

【答案】AC

【分析】對于“選項，通過給b代入特殊值即可判斷；對于8選項，利用

不等式的可乘性，可加性證明即可判斷；對于。選項，要對二次項系數(shù)左要

分k=0.以0兩種情況討論，即可判斷，對于。選項，先解出不等式一7之1,

x—1

再按照必要不充分條件的定義即可判斷.

111

【解答】解：對于/,若a>b,則當。=1,6=-2時，一=1>一；=7故4

a2b

是假命題；

對于5,若Q>6>0且c>0,則ac>6c,

所以Qb+ac>ab+bc,即Q(b+c)>b(a+c),

不等式的兩邊同時除以aa+c),可得￡>黑，故5是真命題；

對于C,不等式丘2+丘-1<0對一切實數(shù)X恒成立，

①當時0時，須滿足,解得-4VX0,

[A=k2+4k<0

②當左=0時，原不等式可化為-1<0,恒成立，

綜上①②可知-4〈依0,故C是假命題；

對于。，解不等式之1可得iv啟％

x-1

由1〈店4nxV5,但是由x<5不一定能推出1<忘4,

所以％<5是1<忘4的一個必要不充分條件，

即是“一下>的一個必要不充分條件，

“x<5”x-11”

故D是真命題.

故選：AC.

【典例8](2024秋?赫章縣期末)若p：-2Vx<2,q；口<4,則p是q的條

件.

【答案】既非充分又非必要.

【分析】先求出命題q的范圍，即可求解.

【解答】解：：q；平<4,，q：0<x<16,

：-2Vx<2既不能推出gx<16,也不能被16推出，

故答案為：既非充分又非必要.

考點03全稱晝詞與存在置詞

解題六招八

1.命題的否定

(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞.

(2)否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

2.由命題求參數(shù)

(1)全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題.

(2)全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.

(3)準確計算：通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.

【典例9】(2025?四川模擬)命題“VxGR,2*+1>0”的否定是()

A.VxWR,2x+l>0B.VxER,2x+l<0

C.3xGR,2^+1>0D.3x￡R,2A+l<0

【答案】D

【分析】結(jié)合全稱量詞命題的否定即可求解.

【解答】解：命題VxCR,2*+1>0的否定為命題icGR,2l+l<0.

故選：D.

【典例10］（2025?遼寧模擬）命題2siiu+3cosxN4”的否定是（）

A.Vx@R,2sinx+3cosx>4B.Vx?R,2sinx+3cosx<4

C.icGR,2sinx+3cosx<4D.以上說法均錯誤

【答案】B

【分析】由特稱命題的否定為全稱命題即可求解.

【解答】解：由題意，命題的否定為：Vx@R,2siiu+3cosx<4.

故選：B.

【典例11】（多選）（2024秋?莆田校級期末）下列敘述正確的是（）

A.x2-2x-3>0

B.命題TxdR,1<產(chǎn)2”的否定是“心@11,閆或歹〉2"

C.設(shè)x,貝I?論2且這2”是“好+廿為”的必要不充分條件

D.命題“VxdR,/>0”的否定是真命題

【答案】ABD

【分析】利用特殊值判斷4根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷8,

根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷C,寫出命題的否定，即可判斷。.

【解答】解：對于Z：當x=10時，Z顯然正確；

對于8：命題叼xGR,1<正2”的否定是“心弓入方1或y>2"，故8正確；

對于C：由近2且這2,可以推得出爐+廿為,故“這2且這2”是“好+廿為”的充

分條件，故C錯誤；

2

對于。：命題“VxGR,/>（）”的否定為：3XER,x<0,顯然。2=0,所以命

題icCR,fgO為真命題，故。正確.

故選：ABD.

【典例12】（多選）（2024秋?重慶期末）下列說法中，正確的有（）

A.命題夕：n2>2n-5,則命題P的否定為V〃GN,n2>2n-5

B."x>y>0”是*2>產(chǎn)，的充要條件

C.命題“對任意實數(shù)a,y=-2x2+a的圖象關(guān)于了軸對稱”是真命題

D.命題“若a>6,則ac>bc”是假命題

【答案】CD

【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定判斷出/項的正誤；運用特殊值法判斷

出8、。兩項的正誤；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷出C項的正誤.

【解答】解：命題P：〃2>2〃-5,則命題P的否定為V〃GN,n2<2n

-5,故N項錯誤；

當x=-2、y=-1時，滿足》2>產(chǎn)，但不滿足x>y>0,所以“x>y>0"不是"好

>儼”的充要條件，故5項錯誤；

由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知不論。為何實數(shù)，函數(shù)y=-2/+。的圖象關(guān)于》=0

軸對稱，故。項正確；

當a>b,c=0時，可推出ac=Ac,所以命題“若a>b,則ac>bc”是假命題，

故。項正確.

故選：CD.

考點04不等式的性質(zhì)

1.不等式的性質(zhì)

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時

要特別注意前提條件.

(2)用特殊值法排除錯誤答案.

2.比較大小

⑴作差法：一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，

常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩

個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差.

⑵作商法：一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④結(jié)論.注意

兩式的符號.

【典例131(2025春?高新區(qū)月考)設(shè)尸=a(2a+5),Q=(2a+l)(a+2),則()

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.尸與。的大小與。有關(guān)

【答案】C

【分析】根據(jù)作差法比較大小即可.

【解答】解：因為尸-Q=a(2a+5)-(2a+l)(a+2)=2a~+5a~(2a2+5a+2)

=-2<0,

所以尸<0.

故選：C.

【典例14](2025?湖南模擬)下列命題為真命題的是()

A.若a>b,c>d,則a-c>b-d

B.若c>0,ac>bc

ii

C.若則一v：

ab

D.若a>b>c,則

【答案】B

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.

【解答】解：當a=2,b=l,c=l,d=0時，Z顯然錯誤；

因為c>0,由不等式性質(zhì)可得ac>bc,5正確；

當a=l,6=-1時，。顯然錯誤；

當c=0時，。顯然錯誤.

故選：B.

【典例15】(多選)(2025春?浙江期中)已知。>0,b>0,c<0,a,b,c?R,

則下列敘述中正確的是()

1

1<-

A.若貝!J。6<口2B.若a>b,貝卜b

a

b+cb

C.——>-D.若a>b,則

a+ca

【答案】AB

【分析】利用不等式的性質(zhì)可得正確；舉反例或者作差分析可得。錯誤；

舉例可得。錯誤.

【解答】解：對于/：因為。>0,b>0,

因為。>6,兩邊同乘以。，不等號的方向不變，得a2>ab,

所以ab<a2,故A正確；

…1

對于5：因為a>0,b>0,所以仍>0,所以=~>0,

ab

a>b,兩邊同乘以吃I并化簡得1搟〉1二

abba

ii

所以一〈工，故B正確；

ab

對于C若。=1,c=-1,此時分母無意義，不能比較，故C錯誤.

對于。：若a=3,b=2,c=~1,則3TM<2-1=與故。錯誤.

故選：AB.

【典例16]（2024秋?莆田校級期末）若l<a<4,-2<b<4,則2a-b的取值

范圍是.

【答案】（-2,10）.

【分析】先求出2a的范圍，然后由-2<6<4求得-4<-b<2,從而可得

-2<2a-b<lQ,求出所求.

【解答】解：若l<a<4,-2<b<4,則2V2a<8,-4<-b<2,

：.-2<2a-b<10,

故答案為（-2,10）.

考點051元二次不等式

(2)口訣“大于取兩邊，小于取中間”.

2.一元二次不等式恒成立問題

(1)不等式ax2-\-bx-\-c>O(a^O),x@R恒成立Qa>0且/<0.

(2)不等式ax2-\-bx~\-c<0(a^0),x@R恒成立Qa<0且/<0.

【典例17](2025?湖南模擬)不等式_12<0的解集是()

A.(-co,4)B.(-oo,2)

C.(-2,2)D.(-oo,-2)U(2,+oo)

【答案】C

【分析】直接解一元二次不等式即可求出結(jié)果.

【解答】解：由3爐-12<0,可得7-4<0,解得-2VX<2,

所以不等式3x2_12<0的解集是(-2,2).

故選：C.

【典例18](2024秋?黃浦區(qū)校級期末)若關(guān)于x的不等式好+2(m-1)x+m2-

1i

根<0的解集為(XI,X2),且一+—=2,則實數(shù)機的值為()

X1%2

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式f+2(m-1)x+m2-m<0的解集為(xi,X2),利用根與

系數(shù)的關(guān)系求解.

【解答】解：因為不等式爐+2(m-1)x+/-機<0的解集為(xi,X2),

所以xi,X2是方程/+2(m-1)x+/-機=0的兩個根，

2

所以比1+刀2=_2(m—1),xr-x2—m—m,

因為工+工=至±這=2,所以一21T)=2,解得機=7.

%2%i-%2

故選：B.

【典例19】(多選)(2024秋?西峰區(qū)校級期末)關(guān)于x的不等式/+◎+3a>0的

解集為R的充分不必要條件有()

A.lga=lB.0<a<12C.l<a<llD.-l<a<15

【答案】AC

【分析】先求充要條件，再利用充分不必要條件是充要條件的真子集，來作

判斷即可.

【解答】解：由關(guān)于x的不等式/+◎+3a>0的解集為R的充要條件為A=q2

-12a<0,解得0<aV12,由/ga=l,得a=10,a=10?（0,12）,

又由于{a|l<a<ll}G{a|0〈a<12},

所以lga=\,l<a<ll是關(guān)于x的不等式/+辦+3a>0的解集為R的充分不

必要條件，故NC正確；

而選項5是充要條件，故8錯誤；

又因為30<aV12}G{x|-所以選項。是必要不充分條件，故。

錯誤.

故選：AC.

【典例20】（多選）（2024秋?南昌縣校級期末）已知關(guān)于x的不等式辦2+隊+侖0

的解集為3-3%三4},則下列說法正確的是（）

A.?<0

B.不等式cf-樂+4<0的解集為{久［-"<xV,}

C.a+b+c<0

D.32+c3的最小值為-4

3b+42

【答案】AB

【分析】利用二次不等式解與系數(shù)的關(guān)系得到6,c關(guān)于。的表達式，結(jié)合基

本不等式，逐一分析判斷各選項即可得解.

【解答】解：因為關(guān)于x的不等式aN+bx+cK）的解集為{x|-30爛4},所以-3,

4是方程ax2+bx+c=0的兩根，且。<0,故幺正確；

_2=_3+4,,_

所以，解得―一累，所以ex?-bx+a<0,BP-12ax2+ax+a<0,

￡=—3x4（c=-12a

\a

則12x2-x-l<0,解得-*<x<^,所以不等式ex1-bx+a<Q的解集為{x|-；

<x<1},故8正確；

而a+b+c=a-。-12。=-12。>0,故C錯誤；

2c2

因為Q〈0,b--a,c=-12Q,所以-3。+4>4,貝！-4--=——--6a=

3b+42—3a+4

2/2

~~~+2(—3a+4)—8>2I―~~-2(—3a+4)—8=-4,當且僅當

-3cz+47-3a+4

2r2c

=2(-3a+4),即a=l或a=4時,等號成立,與。<0矛盾,所以17+：7

—3a+4J37b1+4I

取不到最小值-4,故。錯誤.

故選：AB.

考點06基本不等式

常數(shù)代換法求最值

（1）注意目標代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，看是否需要整體乘以“1”的替身.

（2）注意常數(shù)的獲得方式，要根據(jù)已知代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征靈活處理.

【典例21】（2025?五華區(qū)模擬）已知x>0,y>0,且x+y-町+8=0,則町的最

小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式的解法求解即可.

【解答】解：由題意可知尤y=K+y+822同+8,即尤y—2月一820.

令同=t。>0）,則/2-2/-8K）.解得侖4或區(qū)-2（舍）.

即‘戲24,xy>16.當且僅當x=y=4時，等號成立.

故選：C.

【典例22］（2025?遼寧二模）若要=x+yi（z,為虛數(shù)單位，a,x,vGR）,則

l+l

町的最大值是（）

A.-IB.-C.-ID.-

4422

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)可得X,y的表達式，進而可得町的表達式，再由

二次函數(shù)的性質(zhì)可得砂的最大值.

【解答】解：因為署51?為虛數(shù)單位），所以號詈Uf,

—a+1-1--a所以產(chǎn)吟,1—CL