2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷

（拔尖卷）【滬科版】

參考答案與試題解析

第I卷

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（24-25八年級?江蘇泰州?期末）已知m、n是正整數(shù)，若日+￡是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)

對（m,n）為（）

A.（2,5）B.（8,20）C.（2,5）,（8,20）D.以上都不是

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)分析即可得出答案.

【詳解】解：「R+9是整數(shù)，m、n是正整數(shù)，

7m7n

???m=2,n=5或m=8,n=20,

當(dāng)m=2,n=5時,原式=2是整數(shù)；

當(dāng)m=8,n=20時，原式=1是整數(shù)；

即滿足條件的有序數(shù)對（m,n）為（2,5）或（8,20）,

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的運算，估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，題目比較好，有一定

的難度.

2.（3分）（24-25八年級?安徽安慶?單元測試）對于兩個實數(shù)a,b,用max（a,b）表示其中較大的數(shù)，則方

程式xmax（%,—%）=2%+1的解是（）

A.1,1+V2B.1,1—C.—1,1+D.-1,1—V2-

【答案】C

【分析】根據(jù)題意貝IJ有x2=2x+l和?X2=2X+1,然后解一元一次方程即可.

【詳解】vmax（a,b）表示其中較大的數(shù)，

???當(dāng)x>0時，max（x,-x）=x,

方程為x2=2x+l,

x2-2x+l=2,

(x-l)2=2,

??.x-l=iV2,

?,-x=l±V2,

.?-x=l+V2；

當(dāng)xVO時，max(x,-x)=-x.

方程為?x2=2x+l

x2+2x+l=0,

(X+1)2=0,

故方程xxmax(x,-x)=2x+l的解是-1,1+V2

故選C.

【點睛】本題考查了配方法解一元一次方程，根據(jù)題意得出x2=2x+l和-x2=2x+l是本題的關(guān)鍵.

3.（3分）（24-25八年級?廣東深圳?期中）某校八（1）班在2024年秋季運動會中，參加跳繩比賽的10

名學(xué)生的參賽成績?nèi)鐖D所示，對于這10名學(xué)生的參賽成績，下列說法正確的是（）

人數(shù)A

A.平均數(shù)是95分B.眾數(shù)是90分C.中位數(shù)是95分D.方差是15

【答案】B

【分析】本題主要考查了平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)和方差的定義，熟練掌握這些知識點是解決問題的關(guān)鍵,

根據(jù)相關(guān)知識點一一判斷即可;

【詳解】解：A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為《X（2x85+5x90+2x95+100）=91,此選項錯誤，不符合題

思；

B.這組數(shù)據(jù)中90分出現(xiàn)5次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90分，此選項正確，符合題意；

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為史言=90,此選項錯誤，不符合題意；

D.這組數(shù)據(jù)的方差為焉x[2x(85-91)2+5x(90-91)2+2x(95-91)2+(100-91)2]=19,此選項

錯誤，不符合題意;

故選：B

4.（3分）（24-25八年級?山東淄博?期中）如圖，學(xué)校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地力BCD,測得

AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,S.AABC=90°,則這塊菜地的面積是（）

A.48m2B.114m2C.12m2D.158m2

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的實際應(yīng)用，連接4C,利用勾股定理得到力C=15

m,進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明乙4CD=90°,最后根據(jù)四邊形力BCD的面積=△4BC的面積+△力CD的

面積進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，連接4C,

?■?ZABC=90°,AB=9m,BC=12m,

???AC=VAB2+BC2=V92+122=15(m).

???CD=8m,AD=17m,

.-.AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289,

.-.AC2+CD2=AD2,

.?.△ACD是直角三角形，

.-.ZACD=90°,

???四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=1AB-BC+|AC-CD=|X9X12+1

x15x8=54+60=114(m2)

故選：B.

5.(3分)(24-25八年級?浙江?期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點4B分別在x軸、y軸正半軸上運動,

以48為對角線作平行四邊形2EBF,使得邊4E在x軸上，點E在4的右側(cè)，且2E=4,連接EF交48于點M,

當(dāng)。MlEF時，若凡4—。4=8,則點力的坐標(biāo)為(

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

連接0F，設(shè)=證得△OFM三△OEM,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得0E=x+4、BE=8+x,BF=4、

。尸=x+4,通過勾股定理，構(gòu)建方程(x+4)2—42=(8+x)2—(x+4)2,解方程，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。乩

設(shè)。4=x,則E4=0A+8=x+8,0E=0A+AE=x+4,

???四邊形力EBF是平行四邊形，

AE—BF—4,FA—BE=8+x,FM—EM,

OM1EF,

???AFMO=乙EMO=90°,

在△OFM和△OEM中，

(OM=OM

]Z.FMO=乙EMO,

IFM=EM

OFM三△OEM(SAS),

?1?OF=OE=x+4,

?.?在Rt△OFB中，OB2+BF2=OF2,

OB2=OF2-BF2=(x+4)2—42,

?.?在RtZkOBE中，OB2+0E2=BE2,

：.OB2=BE2-OE2=(8+x)2-(x+4)2,

?1.(%+4)2—42=(8+%)2—(x+4)2,

整理，得：%2=48,

解得：%=4V3(負(fù)值舍去)，

0A=4舊，

點4的坐標(biāo)為(4板,0).

故選：D.

6.(3分)(24-25八年級?福建廈門?期中)在菱形4BCD中，zB=60°,48=8,點E在BC上，CE=4V3,

若點P是菱形4BCD四條邊上異于點E的一點，CE=CP,則以下長度中，不可能是DP的長度的是()

【答案】C

【分析】分點P位于邊上、位于邊4。上、位于邊48上三種情況討論，利用含30度角的直角三角形的性

質(zhì)以及勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)點P位于邊上時，如圖所示:

?.?菱形ABC。中，AB=8,CE=

???CD=8,CP=4V3,

???DP=CD-CP=8-4V3；

.??A4C。是等邊三角形，

過點C作CHI力。于點H,

■■.AH=HD=4,

由勾股定理得CH=4百,

vCE=4V3,

點P與點H重合，

???DP=4；

Z.BPC=90°

4BCP=30。，

；.乙PCD=4BCD-Z.BCP=90°,

由勾股定理得DP=VPC2+CD2=4a.

綜上，DP的長為8-4仃或4或4V7.

故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運用所

學(xué)知識解決問題.

7.（3分）（24-25八年級?陜西渭南?期末）如圖，在△48C中，N&C8=90。，以△2BC的各邊為邊分別

作正方形B4”/,正方形BCFG與正方形C4DE,延長BG,FG分別交AD,DE于點K,],連接DH,I],H,D,

E在一條直線上，圖中兩塊陰影部分的面積分別記為Si，S2,若Si：S2=1：4,四邊形的面積為27,

則四邊形MBN/的面積為（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】先證明△BAC三△HAD,ABAC=AABK,貝=S4/M。=再證明四邊形D/GK是正

方形，四邊形4以尸和四邊形EDKB是面積相等的矩形，貝US四邊形AKGF=S四邊形E/GB，再證明

△AFN^△BEM,貝US四邊AKGN=S四邊形BG/M，可推導(dǎo)出S四邊形BAHE=S正方形CADE=AC?=27,則4C=3

V3,再由言=；,求得色則BC=|4C=2V^,再推導(dǎo)出S四邊形MBN/=S^ABK=S4B4c=[X3，^x2舊

=9,于是得到問題的答案.

【詳解】解：?.,四邊形和四邊形CADE都是正方形，

：.AB=AH,AC=AD,A.BAH=/.CAD=90°,

???Z.BAC=/.HAD=90°-/.BAD,

■■■ABAC^AHAD（SAS）,

???四邊形BCFG是正方形，

:.乙CBK=ZC=^DAD=90°,

四邊形2KBC是矩形，

BC=AK,AC=BK,NC="KB=90°,

??.△BHC三△ABK（SAS）,

SABAC=S△凡4。=S/XABK'

Z-E=zC=Z-CF]=90°,

???四邊形ECF/是矩形，

???乙EJF=Z-AKB=90°,

??.Z.DKG=乙DJG=Z.KDJ=90°,

設(shè)正方形BCFG和正方形C4DE的邊長分別為Q、b,

???AD=ED=b,AK=BC=CF=EJ=a,

???AF=DK=DJ=BE=b—a,

???四邊形D/GK是正方形，四邊形ZD廳和四邊形EDKB是面積相等的矩形，

???S四邊形ZKGF=S四邊形

-FJWCE,BKWDE,

???乙ANF=乙ABC=90°-4ACK=乙KBI=乙BME,

???乙AFN=ZE=90°,AF=BE,

??.△AFN=△BEM（AAS）,

???S^AFN=S^BEM，

???S四邊/KGN=S四邊形BG/M，

2

???S四邊形BZHE=SAHAD+SAABK,+S矩形EOKB=SABAC+S^ABK+S矩形EOKB=S正方形OWE=b=27,

AC=b=3V3,

設(shè)/F=DK=m,貝愕=^=

,AF_m_1

'''CF~a~29

...a=BC=CF=1AC=2V3,

???S四邊形MBN/=S^BGN+S四邊形BG/M=S^BGN+S四邊/KGN=^AABK=S^BAC=5X3V3x2V3=9，

故選：A.

【點睛】此題重點考查正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)轉(zhuǎn)化思

想求圖形的面積等知識與方法，證明S四邊形=S正方形c/oE并且求得4C=是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）（24?25八年級?廣西貴港?期末）如圖，點E是正方形Z8CD的邊延長線一點，連接/E交CD于

F,作乙4EG=/AEB,EG交CD的延長線于G,連接4G,當(dāng)CE=BC=2時，作FU1AG于“，連接?！?，則

DH的長為（）

A.2-V2B.V2-1C.YD.I

【答案】C

【分析】作AP1EG于點P,作HMLAD,HN1CG,易證NGAF弓NGCE=45。，進(jìn)而得：AH=HF,由余角

的性質(zhì)，得ZGAD=NGFH,得到AAMHWAFNH(AAS),進(jìn)而得：四邊形HMDN是正方形，設(shè)HM=x,則

FN=l+x,AM=2-x,列出方程，即可得到答案.

【詳解】作APJ_EG于點P,作HMJ_AD,HN1CG,

,：Z-AEG=Z-AEB,

??.AB=AP,

???四邊形48CD是正方形，

???AD=AP,

.-.AG平分4CGP,

???ZPGC-ZGEC=ZGCE,zPGA-zGEA=zGAF,

.-.zGAF=|zGCE=45°,

-FH1AG,

???AH=HF,

vzGAD+zAGF=90°,zGFH+zAGF=90°,

.*.ZGAD=ZGFH,

在AAMH和AFNH中，

(/-GAD=AGFH

???{/LAMH=乙FNH=90°,

IAH=HF

.-.AAMH=AFNH(AAS),

.-.HM=HN,AM=FN,

???四邊形HMDN是正方形,

?：CE=BC=2,

FCCEFC2

?.?布=俞即Rn：下="

.-.FC=1,

.?.DF=2-1=1,

設(shè)HM=x,則FN=l+x,AM=2-x,

■,-l+x=2-x,解得：x=1,

???DH=p/2.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形和正方形

是解題的關(guān)鍵.

9.（3分）（24-25八年級?浙江溫州?期中）對于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法.以

方程穴%+6）=72為例加以說明.數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個

長為x+6,寬為光的長方形紙片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是x+6+久，面積是四個矩形的面積

與中間小正方形的面積之和，即4X72+62,據(jù)此易得工=竽=6.小明用此方法解關(guān)于x的方程x（3x—m

=24,其中3支一n>久構(gòu)造出同樣的圖形，已知小正方形的面積為4,貝M的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，仿照題干，正確理解一元二次方程的幾何解法是解題關(guān)鍵.參

照已知方法，將四個長為3x-心寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，求出大正方形的邊長為10,得到

n=4x-10,再根據(jù)小正方形的邊長為10—2x,小正方形的邊長的面積是4,求出％=4,即可得到n的值.

【詳解】解：由題意可知，將四個長為3x-小寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長

是3x—?i+x,面積是四個矩形的面積與中間小正方形的面積之和，

「x(3x—n)=24,小正方形的面積為4,

二大正方形的面積為4x24+4=100,

???大正方形的邊長為10,

.-.3x—n+x—4x—n—10,

：.n=4x—10,

,?■小正方形的邊長為3x—n—x,即10—2x,

???3x—n>x,

即10—2x〉0,

故(10-2x)2=%

.,.10—2x=±2,

,?,10—2x>0,

?■X=4,

.-.n=4x4—10=6,

故選：C.

10.(3分)(24-25八年級?浙江寧波?期末)如圖，已知△ABC和E,GF四點在同一條直線上，

AB=AC=DE=DF.AC1DE,且BC=6,EF=8,現(xiàn)將△DEF沿直線CB方向左右平移，則平移過程中

4E+DA的最小值為()

A.4V2B.V34C.6D.V41

【答案】D

【分析】如圖所示，過點4作4GLBC于點G,過點。作DH1EF于點H,設(shè)交于點P,證明

△4CG三△EDH(AAS),得出力G=EH=4,CG==3,以直線BC為久軸，G4為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

勾股定理求得4E+D4的長，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為(科0)到(0,4)和(一4,1)的距離的和，作M(—4,1)關(guān)于x軸的對稱點

M1(-4,-1),求得4M的長，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點/作于點G,過點。作0H1EF于點”，設(shè)ZCQE交于點P,則

乙AGC=乙EHD=90°,

:.BG=CG=^BC=gX6=3,EH=FH=-|EF=1x8=4,

'.'AC1DE,

"HED+乙HDE=乙HED+AACG=90°,

.?/EDH=/-ACG,

在△4CG和中，

(^ACG=乙EDH

]2LAGC=乙EHD,

IAC=ED

△ACG=△EOH(AAS),

：.AG=EH=4,CG=DH=3,

依題意，BC=6,則B(—3,0),C(3,0)

4。=4,貝必(0,4),

設(shè)

■-EH=4,DH=3

■-D(m+4,3)

??AE+DA=Vm2+42+y/(m+4)2+1

=7(m-0)2+(0-4)2+7(m+4)2+(0-1)2

即(m,0)到(0,4)和(-4,1)的距離的和

如圖所示，作M(—4,1)關(guān)于光軸的對稱點M'(—4,—1)

AM的長為力E+。力的最小值，最小值為J（一4一0）2+（一1一4-="6+25=V41.

故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)求線段和的最

值問題，坐標(biāo)與圖形，轉(zhuǎn)化線段的長為AM，的長是解題的關(guān)鍵.

填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（24-25八年級?上海?階段練習(xí)）求值：11+±+±+11+±+±+11+±+1+...+

Y1222y223273242

11H——.

\2023220242----

【答案】2。23募

【分析】本題考查了二次根式的運算，完全平方公式的應(yīng)用，先推導(dǎo)公式然

7n2nn+i

后利用公式計算即可.

n2(n+I)2+n2+(n+l)2

n2(n+l)2

[n(n+I)]*12*+2n(n+1)+1

Jn2(n+l)2

(n2+ri+l)2

Jn2(n+l)2

n2+n+1

n(n+1)

n(n+1)+(n+1)—n

n(n+1)

=l+'一言，

...原式=i+H+i+泊+i+H+…+i+壺一募

1

=2023x1+1.市

2023

=2。23謝

故答案為：2023需.

12.(3分)(24-25八年級?浙江寧波?期末)如果TH,71是正實數(shù),方程式2+/H%+4幾=0和方程/+4幾X+m=0

都有實數(shù)解，那么血+幾的最小值是.

【答案】5

【分析】本題主要考查了根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式可得出關(guān)于血和打的不等式，再對所得

不等式進(jìn)行分析即可解決問題，熟知一次二次方程根的判別式及對所得不等式進(jìn)行正確的討論是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】?.?方程爐+mx+4n=0和方程式24-4nx+m=0都有實數(shù)解，

.-.m2—4x4n>0,(4n)2—4m>0,

.,.m2>16n,n2>

vm,?!是正實數(shù)，

.,.m4>256n2>64m,

.-.m4—64m>0,即7n(m3—64)>0,

.,.m>4,

故血的最小值為4,

又,?,濃>-m,

4

則當(dāng)zn=4時，n2>1,

的最小值為1,

.,.m+71的最小值為5,

故答案為：5.

13.（3分）（24-25八年級?福建泉州?期末）某單位設(shè)有6個部門，共153人，如下表:

部門部門1部門2部門3部門4部門5部門6

人數(shù)261622324314

參與了“學(xué)黨史，名師德、促提升”建黨100周年，“黨史百題周周答活動”，一共10道題，每小題10分，滿

分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一個部門還沒有參與答題，其余五個部門全部完成了答

題，完成情況如下表：

分?jǐn)?shù)1009080706050及以下

比例521110

綜上所述，未能及時參與答題的部門可能是.

【答案】5

【分析】各分?jǐn)?shù)人數(shù)比為5：2：1：1：1,可以求出100分占總?cè)藬?shù)590分占總?cè)藬?shù)之，80、70、60分占

總?cè)藬?shù)的白，即各分?jǐn)?shù)人數(shù)為整數(shù)，總參與人數(shù)應(yīng)該為10的倍數(shù)，6個部門總共有153人，即未參加部分

人數(shù)個位數(shù)有3,即可求得結(jié)果.

【詳解】解：各分?jǐn)?shù)人數(shù)比為5：2：1：1：1,

即100分占總參與人數(shù)的5+2+：+1+11

2

90分占總參與人數(shù)的高m

1

OU、/U、OU刀口多氣X口」5+2+]+1+]—

各分?jǐn)?shù)人數(shù)為整數(shù)，即2X總參與人數(shù)=整數(shù)，

總參與人數(shù)是10的倍數(shù)，

6個部門有153人，

即26+16+22+32+43+14=153人，

則未參與部門人數(shù)個位一定為3,

...未參與答題的部門可能是5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查統(tǒng)計與概率，解本題的關(guān)鍵首先考慮人數(shù)為正整數(shù)，還要掌握統(tǒng)計的基本知識.

14.（3分）（24-25八年級?遼寧鐵嶺?期末）如圖，在矩形。ABC中，點/的坐標(biāo)為（0,1）,。為4B邊上一

點，將△OAD沿。。所在的直線折疊，A的對應(yīng)點4恰好落在x軸上，￡為8c邊上一點，將四邊形。DBE沿。E

所在的直線折疊，。的對應(yīng)點恰好與點C重合，8的對應(yīng)點為方，則點K坐標(biāo)為.

【答案】（五,2-際/（&,-&+2）

【分析】證明四邊形4。40是矩形，則=。4=1,得四邊形是正方形，則。4=。4=4。=AD=1,

OD=，4。2+幻。2=V2,由折疊的性質(zhì)得到。O=力。=五,BE=B'E"，==90°,BD=B'C,證明四邊

形4C8D是矩形，則BD=4C=OC—O4=?—1,由折疊的性質(zhì)得到=BD=魚一1,設(shè)CE=a,則

B'E=BEBC-CE=1-a,在RtzXB￡E中，勾股定理得（1一a）2+（迎-1）=a2,求出CE=2—VL

即可得到答案.

【詳解】解：在矩形。力BC中，點N的坐標(biāo)為（0,1）,

：.OA=BC=1,^OAB=乙AOC=NB=乙OCB=90°,

。4￡）沿。D所在的直線折疊，A的對應(yīng)點4恰好落在x軸上，

：.OA=OA'=1,4。=A'D,/.OAD=Z.OA'D=90°,

■■.Z-AOA'=Z.OAD=/.OA'D=90°,

二四邊形404。是矩形，

.,.OA=OA'—1,

???四邊形4。4￡）是正方形，

：.OA=OA'=AD=A'D=1,OD=y/AO2+AD2=V2,

???四邊形。QBE沿OE所在的直線折疊，。的對應(yīng)點恰好與點C重合，5的對應(yīng)點為所，

：.0D=AC=四,BE=B'E"'=cB=90。,80=B'C,

■,■ADA'C=Z_B=乙OCB=90°,

.??四邊形4CBD是矩形，

：.BD=A'C=OC-OA'=^-1,

:.B'C=BD=V2—1,

設(shè)CE=a,則夕E=BE=BC-CE=1-a,

在Rt△夕CE中，B'E2+B'C2=CE2,

2

.,.(1—a)2+(V2—1)—a2,

解得a=2—VL

即CE=2-V2,

.??點E的坐標(biāo)是(Vl2-V2),

故答案為：(魚,2—魚)

【點睛】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)等知識，熟練掌握

折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.(3分)(24-25八年級?云南昭通?階段練習(xí))如圖，在aABC中，點。為BC的中點，AB=5,AC=3,

AD=2,則△4BC邊BC上的高為.

［答案］察/《桁

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理及其逆定理等知識，綜合性強.延長力。到區(qū)使

得OE=2D=2,連接BE,作于點尸，先證明△ADC三△EDB,得到BE=C4=3,根據(jù)勾股定理

逆定理得到NE=90。，進(jìn)而得至！JS^BDE=3,BD=尺,即可得至US^oc=3,CD=月,利用三角形面積

公式即可求解.

【詳解】解:如圖，延長4。到E,使得OE=4D=2,連接BE,作于點尸，

則4E=2AD=4.

???點。為的中點，

：.CD=BD,

在△ZOC和△EDB中，

（AD=ED

\z-ADC=/-EDB,

ICD=BD

??.△ZDCw△EDB,

.,.BE=CA=3,

.-.BE2+AE2=32+42=25,

■■AB2=52=25,

.-.BE2+AE2=AB2,

:/E=90°,

???SABDE=：BD-DE—3,BD-y/BE2+DE2=V32+22=V13,

AADC=SABDE=3，CD=BD=V13,

■：AF1BC,

-AF=SAADC,

即囁4F=3,

.?3源

13

故答案為：喑

16.（3分）（24-25八年級?廣東佛山?期末）如圖，口力BCD中，AD=2^2,AB=6,NBCD=135。，對

角線AC,BD相交于點0,過點。的線段EF14C交CD于點￡交AB于點F,以下說法中：@AE-AF,②

N￡ME=2NC4E；@EF=V5；④△DOE的面積與△4。。的面積比為7:12.其中，正確的序號有,

AFB

【答案】①③④

【分析】過點a作4G1CO于點G,連接CF,易通過AAS證明△COE=AAOF,得到。E=OF,再證四邊形4ECF

為菱形，進(jìn)而判斷①；根據(jù)平行四邊形及菱形的性質(zhì)，易證△力GD為等腰直角三角形，得到4G=DG=2,

則CG=4,設(shè)4E=CE=a,則GE=4—q,在RtZXAGE中，利用勾股定理建立方程，解得。=萬，進(jìn)而求

得DE=(,由平行線的性質(zhì)得NDE2=NEAF=2/C4E,由DE羊40可得ZD4E力NDE2=2NC4E,以此判

斷②；在RtUCG中，利用勾股定理求得"=2后在RSC0E中，利用勾股定理求得0后=亭以此判

177

1

X-X--

斷③；易得。到CD的距離為1,。到4B的距離為1,貝US^DOE2-24=^AABD~^AAOB=

x6x2—|x6xl=3,再進(jìn)一步計算即可判斷④.

【詳解】解：如圖，過點4作4G1CD于點G,連接CF,

?.?四邊形力BCD為平行四邊形，AB=6,

.-.AB||CD,AD||BC,AB=CD=6,OA=OC,

:/CEO=Z.AFO,Z.OCE=Z-OAF,

(乙CEO=Z.AFO

在△COE和△/OF中，\^OCE=AOAF,

IOC=OA

???ZkCOE三△ZOF(AAS),

；.0E=OF,

又???。。=。4EF1AC,

???四邊形ZECF為菱形，

'?AE=AF,故①正確；

???四邊形ZECF為菱形，

：.AE=CE,AEAF=2^CAEf

MBCD=135°,AD||BC,

：.Z.ADC=45°,

'.'AG1CD,

.'.Z.AGD=90°,

???△/GD為等腰直角三角形,

AD2V2

.,.AGr=DnGr=-f==—=r=2Q,

V2V2

；.CG=CD—DG=6—2=4,

設(shè)4E=CE=a,貝！]GE=CG-CE=4-a,

在RtaHGE中，GE2+AG2=AE2,則(4—a)2+22=

解得：a=j,

53

：.AE="=]=”，GE=4-a=I，

37

，-.DE=DG+GE=2+-=-,

-AB||CD,

.t.Z.DEA=Z-EAF=2/.CAE,

■：DE=4豐AD=2V2,

：./-DAEHZ-DEA=2/-CAE,故②錯誤；

在RtaACG中，/C='AG?+CG2=722+42=2后

：.0C=OA=近,

在Rt△COE中，OE=VC￡2-OC2=l(|)2-(V5)2=孚

??.EF=20E=V5,故③正確；

,：AG=2,

??.0到CD的距離為1,。到SB的距離為1,

177

XX1-

2-2-4-

S^AOD=^AABD-S^AOB=-X6X2--x6xl=3,

S^DOE故④正確.

S^AOD

綜上，正確的結(jié)論有①③④.

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定

與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，靈活運用所學(xué)知識解決問題是解題關(guān)

鍵.

第n卷

三.解答題（共8小題，滿分72分）

17.(6分)(24-25八年級?北京海淀?階段練習(xí))嘉琪根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的

方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：

(1)具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

特例4：(填寫一個符合上述運算特征的式子).

(2)觀察、歸納，得出猜想：

如果〃為正整數(shù)，用含〃的式子表示上述的運算規(guī)律為：

⑶證明你的猜想；

(4)應(yīng)用運算規(guī)律：

(3)見解析

(4)①2024也@18

【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)材料提示計算即可；

(2)由材料提示，歸納總結(jié)即可；

(3)運用二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運算法則計算即可;

(4)根據(jù)材料提示的方法代入運算即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)材料提示可得，特例4為:4+”5

故答案為:4+”51.

(2)解：由上述計算可得，如果"為正整數(shù)，上述的運算規(guī)律為:=(…忌，

故答案為：后;

⑶解:…忌,

=（H+1）

=2024也

②；a+g=9

???n+1=9,

???n=a=8fb=(n+2)=10,

???a+b=18.

18.(6分)(24-25八年級?江蘇揚州?階段練習(xí))如果關(guān)于x的一元二次方程a%2+bx+c=0(a力0)有兩

個實數(shù)根，且其中一個根是另一個根的〃倍("為正整數(shù))，則稱這樣的方程為“"倍根方程”.例如：方程

N—6x+8=0的兩個根分別是2和4,則這個方程就是“二倍根方程”；方程N—?+3=。的兩個根分別是

1和3,則這個方程就是“三倍根方程”.

(1)根據(jù)上述定義，2/-5x+2=0是"倍根方程”；

(2)若關(guān)于x的方程爐+6%+爪=。是“三倍根方程”，求m的值；

(3)若關(guān)于x的方程/—法+c=0是""倍根方程”，請?zhí)骄縝與c之間的數(shù)量關(guān)系(用含〃的代數(shù)式表示)；

(4)由(3)中發(fā)現(xiàn)的爪c之間的數(shù)量關(guān)系，不難得到"的最小值是.(參考公式：%+y>2^y,x,

y均為正數(shù))

【答案】(1)四

店

⑶j+2+?

(4)1

【分析】本題考查一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確

理解“〃倍根方程”的定義.

(1)先解方程，再根據(jù)“"倍根方程”的定義即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)三倍根方程的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系列方程組解答即可；

(3)設(shè)x=p與比=np是方程bx+c=O的解，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案；

(4)根據(jù)(3)中發(fā)現(xiàn)的6、c之間的數(shù)量關(guān)系，借助參考公式即可求出答案；

【詳解】(1)解：2%2-5%+2=0,

(2%—1)(%—2)=0,

解得％1=g和％2=2,

■.'Ix4=2,

???一元二次方程2/-5%+2=。是“四倍根方程”；

故答案為：四；

(2)解：由題意可設(shè)：%=幾與％=3幾是方程/+6%+?n=0的解，

Cn+3n=—6

*,(3n-n=m'

3

72————

解得：2九

m=——4

???m的值為條

(3)解：??,關(guān)于％的方程%2-bx+c=0是)倍根方程”，

???可設(shè)％=P與X=Tip是方程%2—bx+C=0的解，

(p+np=b

"Inp-p=c'

--?消去p得：f=n+2+，

(4)解：由參考公式：%+y>2V^y(%、y均為正數(shù))可得9=九+；+222]1+2=4,

孝N1，

故答案為：1.

19.(8分)(24-25八年級?山西太原?階段練習(xí))臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺風(fēng)中心為圓心，一定長

度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力.如圖，監(jiān)測中心監(jiān)測到一臺風(fēng)中心沿監(jiān)測點B與

監(jiān)測點A所在的直線由東向西移動，已知點C為一海港，且點C與A,B兩點的距離分別為300km、

400km,且NACB=90。，過點C作CELAB于點E,以臺風(fēng)中心為圓心，半徑為260km的圓形區(qū)域內(nèi)為受影

響區(qū)域.

北

(1)求監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離；

(2)請判斷海港C是否會受此次臺風(fēng)的影響，并說明理由；

(3)若臺風(fēng)的速度為25km/h,則臺風(fēng)影響該海港多長時間？

【答案】(1)監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離是500km；(2)海港C會受到此次臺風(fēng)的影響，見解析;

(3)臺風(fēng)影響該海港8小時

【分析】(1)利用勾股定理直接求解；

(2)利用等面積法得出CE的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；

(3)利用勾股定理得出受影響的界點P與Q離點E的距離，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間.

【詳解】解：在Rt2MBe中，ZXCF=90°,

由勾股定理得4B=7AC2+BC2=V3002+4002=500(fcm)

答：監(jiān)測點A與監(jiān)測點B之間的距離是500km.

(2)海港C會受到此次臺風(fēng)的影響，理由如下：

11

■■SAABC^-AB-CE^-AC-BC,

.-.1x500xCE=1x300x400

解得：CE=240.

?,-240<260

???海港C會受到此次臺風(fēng)的影響.

(3)如圖，海港C在臺風(fēng)中心從Q點移動到P點這段時間內(nèi)受影響.

，:CP=CQ=260km

.?.在RMCEP中，CE2+PE2=CP2,BP2402+PE2=2602

解得:PE=100

同理得：QE=100km

,?,臺風(fēng)的速度為25km/h

???臺風(fēng)影響該海港的時長為：（100+100）+25=8（%）

答：臺風(fēng)影響該海港8小時.

【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是將實際問題中的各個條件轉(zhuǎn)

化為幾何語言.

20.（8分）（2025?山東聊城?一模）為落實全國教育大會上提出的“要樹立健康第一”的教育理念，某市啟

動中考體育改革，將體育成績納入中考總分，包括4運動參與、B.運動技能測試、C.體質(zhì)健康測試、

D.統(tǒng)一體能測試四部分共70分（其中4運動參與滿分6分，主要有平時體育課、課間體育活動等；B運動技

能滿分4分，主要是自主選擇一項田徑、球類等項目進(jìn)行測試掌握基本技能即為滿分；C體質(zhì)健康測試滿分30

分，包括體重指數(shù)、肺活量、跑步、立定跳遠(yuǎn)等項目；。統(tǒng)一體能測試滿分30分，包括跑步，引體向上（男）

仰臥起坐（女）等項目）.

某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對本校八年級學(xué)生的體育測試情況進(jìn)行統(tǒng)計調(diào)查，從該校所有八年級學(xué)生中隨機(jī)抽出

部分學(xué)生的體育測試成績，將所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述.

下面給出了部分信息：

信息一：每名學(xué)生的四項得分之和作為總分，總分用”表示Q230）,將總分?jǐn)?shù)據(jù)分成如下四組：第1組:

30<x<40,第2組：40<x<50,第3組：50<%<60,第4組：60<x<70,以下是總分的頻數(shù)直方

結(jié)合信息一解決下列問題：

（1）將頻數(shù)分布直方圖補全，a=,第4組所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是

(2)所抽取的這些學(xué)生的中位數(shù)位于第組；

(3)該校八年級共有1500名學(xué)生，請估計體育總分不低于50分的學(xué)生有多少名？

信息二：

抽取的學(xué)生在4運動參與、B.運動技能測試、C.體質(zhì)健康測試、D.統(tǒng)一體能測試四部分的平均數(shù)和方

差如下表：

4運動參與B運動技能測試C體質(zhì)健康測試D統(tǒng)一體能測試

平均分5.83.725.423.6

方差1.62.28.59.4

(4)請結(jié)合以上信息分析，影響一個學(xué)生體育總分的主要是哪些部分的成績？并就如何提升學(xué)生體育成績，

提出至少兩條合理化建議.

【答案】(1)36；72°；

(2)3；

(3)780人；

(4)見解析.

【分析】(1)從條形統(tǒng)計圖可知：第1組、2組、4組人數(shù)之和為6+18+10=34,從扇形統(tǒng)計圖中可知：第

1組、2組、4組人數(shù)之和占總?cè)藬?shù)的百分比為1—32%=68%,利用人數(shù)除以對應(yīng)的分率可以求出抽查的總

人數(shù)，用總?cè)藬?shù)乘以扇形統(tǒng)計圖中第3組人數(shù)所占的百分比求出第3組的人數(shù)，根據(jù)第3組的人數(shù)補全統(tǒng)計圖

即可；a是第2組人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，根據(jù)第2組的人數(shù)和總?cè)藬?shù)計算即可；根據(jù)第4的人數(shù)和總?cè)藬?shù)求

出第4組的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，利用百分比求出扇形統(tǒng)計圖中第4組的圓心角即可；

(2)共抽查了50學(xué)生，根據(jù)中位數(shù)的定義可知：中位數(shù)是第25、26名成績的平均數(shù)，從條形統(tǒng)計圖中可知:

第25、26名位于第3組，所以抽取的這些學(xué)生的中位數(shù)位于第3組；

(3)利用樣本估計總體，根據(jù)抽查的50名學(xué)生中體育成績不低于50分的人數(shù)所占的百分比代表全校所有學(xué)生

成績不低于50分人數(shù)的百分比，計算即可；

(4)從表格中可知C、D兩項所占的權(quán)重較大，所以為了提高學(xué)生的體育成績，應(yīng)重點從C、D兩項中提高成

績.

【詳解】(1)解：從條形統(tǒng)計圖可知：第1組、2組、4組人數(shù)之和為6+18+10=34,

從扇形統(tǒng)計圖中可知：第1組、2組、4組人數(shù)之和占總?cè)藬?shù)的1—32%=68%,

抽取的總?cè)藬?shù)為：(6+18+10)4-(1-32%)=50(人)

二第3組的人數(shù)為：50x32%=16（人），

.,.a=36,

???第4組有10人，

?1?第4組占抽查總?cè)藬?shù)的10+50x100%=20%,

1（1

?1?扇形統(tǒng)計圖中第4組對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：-X100%x360°=72°,

故答案為36,72°；

（2）,?,總共抽查了50人，

???中位數(shù)是第25、26名成績的平均數(shù)，

第1組和第2組總?cè)藬?shù)是24人，

從條形統(tǒng)計圖中可知：第25、26名位于第3組，

???抽取的這些學(xué)生的中位數(shù)位于第3組；

（3）從條形統(tǒng)計圖中可知：抽查的學(xué)生中體育總分不低于50分的學(xué)生，

利用樣本估計總體可得：全校體育成績不低于50分的學(xué)生總?cè)藬?shù)為1500X誓=780人；

（4）;C、。兩項權(quán)重較大，是影響體育總分的主要因素.

建議：①保持合理飲食習(xí)慣，保證體重指表在健康范圍內(nèi)；

②加強鍛煉增強肺活量；

③加強跑步上定跳遠(yuǎn)、引體向上、仰臥起坐等項目的訓(xùn)練.（合理即可）

【點睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖的綜合運用、用樣本代替總體、求扇形統(tǒng)計圖的圓心角

度數(shù)、中位數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用扇形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖，根據(jù)已知的信息求出未知的信息.

21.（10分）（2025?河南平頂山?一模）定義：在凸四邊形中，若有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為直

角，我們把這類四邊形叫做“奮進(jìn)四邊形”.若“奮進(jìn)四邊形”的另一組鄰邊也相等，我們把這類四邊形叫做“和

諧奮進(jìn)四邊形

圖I圖2

(1)請在你學(xué)習(xí)過的四邊形中，寫出一個符合“奮進(jìn)四邊形”性質(zhì)的特殊四邊形；

(2)如圖1,“奮進(jìn)四邊形“BCD中，AB=BC,AABC=90°.

①當(dāng)4B=CD=2,且4BIICD時，求BD的長；

②當(dāng)AC18。時，求證：“奮進(jìn)四邊形是“和諧奮進(jìn)四邊形”；

(3)如圖2,矩形2BCD中，CD=4,4。=10,點M,N分別為邊力D,BC上一個動點，且CN=2AM,當(dāng)四

邊形力BNM為“奮進(jìn)四邊形”時，直接寫出MN的長.

【答案】(1)正方形

(2)@2V2；②詳見解析

⑶MN為2遍或g

【分析】(1)根據(jù)“奮進(jìn)四邊形”定義即可得解；

(2)①先證明四邊形力BCD為正方形，得出NBCD=90°,BC=CD=2,再根據(jù)勾股定理求出BD=

7BC2+CD2=2魚即可；

②連接AC、BD,根據(jù)48=BC,BDLAC,得出4。=C。，證明BD垂直平分AC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得

出4。=CD,再根據(jù)“和諧奮進(jìn)四邊形”的定義即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可知，分兩種情況討論：當(dāng)=或2B=BN時，四邊形48NM是“奮進(jìn)四邊形”，先證明

四邊形力BNG為矩形，再由勾股定理求出MN即可.

【詳解】(1)解：正方形有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為直角，

所以正方形是“奮進(jìn)四邊形”；

(2)①解："AB=CD=2,ABWCD,

四邊形2BCD為平行四邊形，

???AB=BC,

四邊形力BCD為菱形,

vzXBC=90°,

四邊形4BCD為正方形，

??"CD=90°,BC=CD=2,

BD=7BC2+CD2=722+22=2V2；

②證明：連接力C、BD,如圖：

AO=CO,

■■BD垂直平分ac,

.■.AD=CD；

■■“奮進(jìn)四邊形"BCD是"和諧奮進(jìn)四邊形”；

(3)解：???AD=BC=10,CD=AB=4,

根據(jù)題意可知，分兩種情況討論：當(dāng)48=4"或4B=BN時，四邊形4BNM是“奮進(jìn)四邊形”;

CN=2x4=8,

■■.BN=10—8=2,

乙4=NB=乙AGN=90°,

???四邊形4BNG為矩形，

???AG=BN=2,GN=AB=4,

GM=4—2=2,

...MN=7GN2+GM2=5/42+22=2V5；

當(dāng)28=BN=4時，連接MN,過點M作MH_LBC于點H,如圖:

則CN=BC-BN=10-4=6,

■■.AM=3,

???zX=zF=Z.BHM=90°,

四邊形矩形，

???BH=AM=3,MH=AB=4,

；.HN=BN—BH=4—3=1,

...MN=7MH2+HN2=V42+12=V17;

綜上分析