2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級期末必刷?？碱}

之軸對稱及其性質(zhì)

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?淮安區(qū)校級一模）下列生肖圖案中，是軸對稱圖形的為（）

蹙

星W聾

,蹴

2.（2025春?丹陽市期中）如圖，△ABC與.B'1C關(guān)于直線/對稱,

3.（2025?臺灣）如圖方格紙網(wǎng)格線上的八條等長線段形成一個線對稱圖形.圖中有四條線段標(biāo)示上號碼,

判斷擦去下列哪個選項(xiàng)中的兩條線段后，剩下的圖形不是線對稱圖形？（）

A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④

4.（2024秋?豐潤區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。為△A8C的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線C。的對稱點(diǎn)E恰好在線

段8C上，連接。E,若AB=9,AC=4,AB=9,AC=4,BC=10,則△BOE的周長是（）

A.13B.15C.17D.18

5.（2024秋?潁州區(qū)期末）如圖,AB=AC,點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)E恰好落在CD上，ZSAC=124°,

AF為△ACE中CE邊上的中線，則/AD8的度數(shù)為（）

?

8

A.24°B.28°C.30°D.38°

6.（2025?鹿城區(qū)二模）如圖,在△ABC中，ZA=60°，點(diǎn)、D,E,尸分別在邊8C,AB,AC上，點(diǎn)、B,

。關(guān)于EG對稱，點(diǎn)C,。關(guān)于尸”對稱.若要求出△DEF的周長，只需知道（）

A

—

DGDH1

A.AE和AP的長B.BE和CP的長

C.EG和FH的長D.BG和CH的長

7.（2025春?新吳區(qū)期中）如圖，在△ABC中,ZB=ZC,ZC=75°,△ABC與△ABC關(guān)于直線EF對

稱，ZCAF=10°,則/CAB，的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

二.填空題（共5小題）

8.（2025春?深圳校級期中）折紙是我國一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何

中可以得到新的解讀，如圖5將紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A,處，DA交AB于點(diǎn)P,若4

￡)〃BC且N8-/A=20°,則/AED的度數(shù)為

9.（2025春?鹽城期中）如圖，直線I是四邊形ABCD的對稱軸，AD//BC.若ND=120°,則

10.（2024秋?平泉市期末）如圖，在2X2的正方形網(wǎng)格中，有一個格點(diǎn)△（陰影部分），則網(wǎng)格中所有與

成軸對稱的格點(diǎn)三角形有個.

A

BC

11.（2025?長安區(qū)一模）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”.如圖所示，是兩位同學(xué)的部分對弈圖，輪到

白方落子，觀察棋盤，當(dāng)白方落子在A、8、C、。中的處，則所得的對弈圖是軸對稱圖

形（填寫序號）.

I--------1—?--------1—r-n—?--------1

?

JL□_」

--|_-j

—

—

I也

c:_?

6

-?

nI-n-

1

ILI，

J-

I--

—I

-

r

n--?-

l

-

ILI

J—

l--9-,-

—

-—B

lA

廠

r

_-n-

il

I1

L

J1

12.（2025春?羅湖區(qū)期中）折紙是我國一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中

可以得到新的解讀.如圖，將△ABC紙片沿。E折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，交A8于點(diǎn)人若A'。

//BC,且/8-/4=20°,則NA即的度數(shù)為

c

三.解答題(共3小題)

13.(2025?武漢模擬)如圖是由小正方形組成的7義7網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)A,B,C都是格點(diǎn)，僅用無刻

度的直尺在給定網(wǎng)格中完成下列畫圖.

圖1圖2

(1)在圖1中，先畫△ABC的高CP,再在AC上畫一點(diǎn)°,使得

(2)在圖2中，。是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，先畫線段AD關(guān)于AC對稱的線段AE,再在AC上畫點(diǎn)F,

使得EF=AE.

14.(2024秋?埔橋區(qū)期末)如圖，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(1,1),C(3,2).

(1)請作出△ABC關(guān)于無軸對稱的△AiBiCi；

(2)寫出4的坐標(biāo)；

15.(2024秋?城關(guān)區(qū)校級期末)在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線

的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研

究過程如下:

(1)【問題再現(xiàn)】

如圖1,在△ABC中，ZABC./ACB的角平分線交于點(diǎn)P,若/A=50°.則/尸=；

(2)【問題推廣】

如圖2,在△ABC中，NBAC的角平分線與△ABC的外角NC2M的角平分線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作

_LAP于點(diǎn)"，若/AC8=80°,求NP8H的度數(shù).

(3)如圖3,在△ABC中，/ABC、ZACB的角平分線交于點(diǎn)P,將AABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)

P重合，若/1+/2=100°,貝！JNBPC=；

(4)【拓展提升】

在四邊形BCL比中，匹〃C。，點(diǎn)廠在直線M上運(yùn)動(點(diǎn)F不與E,。兩點(diǎn)重合)，連接8凡CF,Z

EBF、/OCF的角平分線交于點(diǎn)。若NEBF=a,ZDCF=f3,直接寫出/。和a,0之間的數(shù)量關(guān)系.

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級期末必刷?？碱}

之軸對稱及其性質(zhì)

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號1234567

答案AACBBBB

選擇題（共7小題）

1.（2025?淮安區(qū)校級一模）下列生肖圖案中，是軸對稱圖形的為（）

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【答案】A

【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)

此進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷如下：

A.它是軸對稱圖形，符合題意；

B.它不是軸對稱圖形，不符合題意；

C.它不是軸對稱圖形，不符合題意；

D.它不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸，這時,我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，

熟練掌握此知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.（2025春?丹陽市期中）如圖，△ABC與B'C關(guān)于直線/對稱，則NC的度數(shù)為（）

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)成軸對稱的兩條圖形的對應(yīng)角相等，進(jìn)行求解即可.

【解答】解：由題意，得：NC=/C'=30.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查成軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段

被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等.

3.（2025?臺灣）如圖方格紙網(wǎng)格線上的八條等長線段形成一個線對稱圖形.圖中有四條線段標(biāo)示上號碼，

判斷擦去下列哪個選項(xiàng)中的兩條線段后，剩下的圖形不是線對稱圖形？（）

A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【答案】c

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個

圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，進(jìn)行分析即可.

【解答】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的圖形是線對稱圖形；

擦去②和③，剩下的圖形不是線對稱圖形；

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形,

被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是

多條甚至無數(shù)條.

4.（2024秋?豐潤區(qū)期末）如圖，點(diǎn)。為△ABC的邊A3上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E恰好在線

段2C上，連接。E,若A8=9,AC=4,AB=9,AC=4,BC^IQ,則△BOE的周長是（）

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).

【專題】運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出AD=DE,CE=AC=4,進(jìn)而得到得出BE=6的長，然后根據(jù)三角

形的周長公式及線段的和差即可解答.

【解答】解：：點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E恰好在線段BC上，連接DE,AC=4,

：.AD=DE,CE=AC=4,

VBC=10,

:.BE=BC-CE=6,

"：AB=9,

：.ABDE的周長=8。+。￡+3￡=&2+8￡=9+6=15.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，熟知軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2024秋?潁州區(qū)期末）如圖，A8=AC,點(diǎn)8關(guān)于4。的對稱點(diǎn)E恰好落在C。上，ZBAC=124°,

AF為AACE中CE邊上的中線，則NAD8的度數(shù)為（)

B

A.24°B.28°C.30°D.38°

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】B

【分析】證明AC=AE,利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明NAFD=90°,求出ND4F,即可解決

問題.

【解答】解：如圖，：AAED與LABD關(guān)于對稱，

：.AB=AE,ZADB^ZADE,ZBAD=ZDAE,

"：AC=AB,

：.AC=AE,

尸是△ACE的中線，

：.ZCAF^ZEAF,AFLCE,

1

ZDAF=^ZBAC=62°,

VZAFD=90°,

ZAZ）F=90°-62°=28°,

ZADB=ZADF=2S°,

故選：B.

B

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明

AC=AE,利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決問題.

6.（2025?鹿城區(qū)二模）如圖，在△ABC中，ZA=60°，點(diǎn)。，E,尸分別在邊8C,AB,AC上，點(diǎn)5,

。關(guān)于EG對稱，點(diǎn)C,。關(guān)于尸”對稱.若要求出AOE廠的周長，只需知道（）

A

F

DGDHi

A.AE和AF的長B.BE和CF的長

C.EG和切的長D.BG和CH的長

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱性可得DE=BE,DF=CF,ZB=ZBDE,ZC=ZCDF,從而得到N8OE+NCZ)尸

=/B+/C,再由三角形內(nèi)角和定理可得/BDE+NC。尸=120°,從而得到/即尸=60°,設(shè)DE=BE

=2a,DF=CF=b,過點(diǎn)E作尸于點(diǎn)P,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DP=a,PE=

V3a,PF=b-a,EF=4(r-2ab+b2,即可求解.

【解答】解：：點(diǎn)8,。關(guān)于EG對稱，點(diǎn)C,。關(guān)于FH對稱，

：.DE=BE,DF=CF,NB=/BDE,ZC=ZCDF,

：.ZBDE+ZCDF=ZB+ZC,

VZA=60°,

AZBDE+ZCDF=ZB+ZC=180°-ZA=120°,

：.ZEDF=ISQ°-(/BDE+NCDF)=60°,

ADEF的周長DE+DF+EF^BE+DF+CF,

設(shè)DE=BE=2a,DF=CF=b,

如圖，過點(diǎn)E作EP，。產(chǎn)于點(diǎn)P,

1

:.DP=2DE=a,

：.PE=y/DE2-DP2=V3a,PF=b-a,

：.EF=y/PE2+PF2=4a2-2ab+b2,

:.ADEF的周長DE+DF+EF=4a2-2ab+b2+2a+b,

跖的周長只與BE,C尸的長有關(guān).

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對稱性，根據(jù)題意得到/即尸=60。

是解題的關(guān)鍵.

7.（2025春?新吳區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ZB=ZC,NC=75°,△A8C與△ABC關(guān)于直線所對

稱，ZCAF=10°,則/C4B'的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】B

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理可求出N2AC,再軸對稱的性質(zhì)可得/C'AB'以及NC4C,,在利用

角的和差關(guān)系計(jì)算即可求出結(jié)果.

【解答】解：NC=75°,

AZBAC=180°-ZB-ZC=180°-75°-75°=30°,

:△A9C與△ABC關(guān)于直線EF對稱，

：.ZCAB'=/BAC=30°,ZCAC'=2ZCAF=20°,

：.ZCAB'=ZCAC'+ZCAB'=20°+30°=50°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

二.填空題（共5小題）

8.（2025春?深圳校級期中）折紙是我國一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何

中可以得到新的解讀，如圖5將AABC紙片沿OE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A,處，D4交于點(diǎn)P,若4

D〃BC且NA=20°,則/A即的度數(shù)為100°.

c

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】100°.

【分析】由折疊的性質(zhì)可得=再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得力/=/C,根據(jù)二角形的

內(nèi)角和定理用含有/A的代數(shù)式表示出/C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得/QEF的度數(shù)，進(jìn)而

得出/4即的度數(shù).

【解答】解：由圖形折疊的性質(zhì)可知，ZADE=^ADP,

VA,D//BC,

：.ZADP=ZC,

,：ZB-ZA=20°,

.\ZB=ZA+20°,

VZA+ZB+ZC=180°,

AZC=180°-ZB-ZA=180°-(ZA+2O0)-ZA=160°-2ZA,

11

ZADE=^ADP==80。一乙4

AZDEP=ZA+ZADE=ZA+80°-ZA=80°,

ZAEZ)=180°-80°=100°.

故答案為：100°.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確求出N。/的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

9.(2025春?鹽城期中)如圖,直線/是四邊形45。。的對稱軸,4。〃3。.若/。=120°,則/5=60°

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】60.

【分析】先由平行線的性質(zhì)求出/C的度數(shù)，再由軸對稱圖形的性質(zhì)即可得到答案.

【解答】\'AD//BC,

.1.ZD+ZC=180°,

VZZ）=120o,

AZC=180°-ZD=180°-120°=60°,

???直線/是四邊形ABCD的對稱軸，

.?.ZB=ZC=60°,

故答案為：60.

【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱

軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵.

10.（2024秋?平泉市期末）如圖，在2X2的正方形網(wǎng)格中，有一個格點(diǎn)△（陰影部分），則網(wǎng)格中所有與

成軸對稱的格點(diǎn)三角形有5個.

A

BC

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【答案】5.

【分析】因?yàn)閷ΨQ圖形是全等的，所以面積相等，據(jù)此連接矩形的對角線，觀察得到的三角形即可解答.

【解答】解：如圖，與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形有△ACGAACD,ADBC,△HEG,共

故答案為：5.

【點(diǎn)評】此題考查軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.

n.（2025?長安區(qū)一模）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”.如圖所示，是兩位同學(xué)的部分對弈圖，輪到

白方落子，觀察棋盤，當(dāng)白方落子在A、B、C、。中的4或C處，則所得的對弈圖是軸對稱圖形

（填寫序號）.

I

C::Lm)

—---qT-

I-

6

__L-

_

_，,

r-

--

I:

L-

_-

_AB

_

【考點(diǎn)】軸對稱圖形.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀.

【答案】A或C.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念解答即可.

【解答】解：當(dāng)白方落子在A、B、C、。中的A處或C處時，所得的對弈圖是軸對稱圖形，

故答案為：A或C

【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這

個圖形叫做軸對稱圖形.

12.（2025春?羅湖區(qū)期中）折紙是我國一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中

可以得到新的解讀.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，DA交AB于點(diǎn)、尸,若A'D

//BC,且NB-/A=20°,則/A即的度數(shù)為100°.

C

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】100°.

【分析】由折疊的性質(zhì)可得/4?！?號乙4DF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理用含有/A的代數(shù)式表示出/C的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得/OE尸的度數(shù)，進(jìn)而得

出NAE。的度數(shù).

1

【解答】解：將△ABC紙片沿OE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，D4交于點(diǎn)凡貝I/AOE=

：A'D//BC,

：.ZADF^ZC,

,：ZB-ZA=20°,

：.ZB=ZA+20°,

VZA+ZB+ZC=180°,

AZC=180°-ZB-ZA=180°-（ZA+20°）-ZA=160°-2ZA,

=JZC=80°-ZA,

ZDEF^ZA+ZADE^ZA+80°-ZA=80°,

：.ZAED=180°-80°=100°.

故答案為：100°.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確求出/QEF的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

13.（2025?武漢模擬）如圖是由小正方形組成的7X7網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)A,B,C都是格點(diǎn)，僅用無刻

度的直尺在給定網(wǎng)格中完成下列畫圖.

圖1圖2

（1）在圖1中，先畫△ABC的高CP,再在AC上畫一點(diǎn)°,使得NAQB=/A8C；

（2）在圖2中，。是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，先畫線段AD關(guān)于AC對稱的線段AE,再在AC上畫點(diǎn)E

使得EF=AE.

【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換.

【專題】幾何直觀；推理能力.

【答案】（1）圖見解析；

⑵圖見解析.

【分析】（1）取格點(diǎn)。、E,延長交CE于尸，連接瓦）交AC于。，則點(diǎn)尸和點(diǎn)。即為所求；

（2）如圖所示，取格點(diǎn)L、M,連接AM,8乙分別交格線于E,R,連接ER交AC于尸，則線段AE和

點(diǎn)P即為所求.

【解答】解：(1)如圖，取格點(diǎn)。、E,延長A8交CE于尸，連接3D交AC于。，則點(diǎn)尸和點(diǎn)。即為

所求；

可證明CE_LAB,BPCPLAB,則CP即為△ABC的高;

可證明△AB。是等腰直角三角形，則NABD=45

根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可證明NACB=45

由/QAB=/8AC,ZQBA=ZBCA,可得/AQB=N48C；

(2)如圖，取格點(diǎn)心、M,連接AM,8L分別交格線于E,R,連接ER交AC于R則線段AE和點(diǎn)尸

即為所求;

【點(diǎn)評】本題考查作圖一軸對稱變換,掌握軸對稱變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(2024秋?埔橋區(qū)期末)如圖，△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(1,1),C(3,2).

(1)請作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△481。；

(2)寫出4的坐標(biāo)；

(3)計(jì)算△AiBiCi的面積.

【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【答案】(1)見解答.

(2)(2,-4).

5

(3)一.

2

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可.

(2)由圖可得答案.

(3)利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可.

11195

(3)AAiBiCi的面積為-x(l+2)x3-—x2xl——xlx2=--l-l=-.

22222

【點(diǎn)評】本題考查作圖-軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

15.(2024秋?城關(guān)區(qū)校級期末)在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線

的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研

究過程如下：

(1)【問題再現(xiàn)】

如圖1,在△ABC中，ZABC,NACB的角平分線交于點(diǎn)P,若/A=50°.則/尸=115°；

(2)【問題推廣】

如圖2,在△ABC中，/BAC的角平分線與AABC的外角的角平分線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)8作

_L4P于點(diǎn)“，若/ACB=80°,求NPBH的度數(shù).

(3)如圖3,在△A8C中，/ABC、NACB的角平分線交于點(diǎn)P,將△ABC沿。E折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)

尸重合，若Nl+N2=100°,則NBPC=115°；

(4)【拓展提升】

在四邊形BCDE中，EB〃CD,點(diǎn)尸在直線即上運(yùn)動(點(diǎn)F不與E,。兩點(diǎn)重合)，連接8RCF,Z

EBF、/OCF的角平分線交于點(diǎn)Q,若NEBF=a,ZDCF=p,直接寫出/。和a,0之間的數(shù)量關(guān)系.

【考點(diǎn)】軸對稱的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】⑴115°；

(2)/尸瓦/的度數(shù)為50°；

(3)115°；

(4)尸在E左側(cè)/Q=殍；尸在ED中間ZQ=喈；尸在。右側(cè)NQ=等.

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；

(2)先由角平分線的定義得到N3AC=2/3AP,ZCBM=2ZCBP,再由三角形外角的性質(zhì)得到/CBP

=ZBAP+40°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出/尸=180°-ZBAP-ZABP=40°,再由垂線的定義得

到N8//P=90°,則/P8H=180°-ZP-ZBHP=50°；

(3)先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得到NAE0+NAOE=13O。，進(jìn)而求出NA=50°,同(1)即可得

到答案；

(4)分點(diǎn)方在點(diǎn)E左側(cè)，點(diǎn)/在。、E之間，點(diǎn)尸在點(diǎn)。右側(cè)三種情況討論求解即可.

【解答】解：???44=50°,

ZABC+ZACB=180°-ZA=130°,

,.?5尸平分NA5C,C尸平分NAC5,

ZABC=2ZPBCfZACB=2ZPCB,

：.2ZPBC+2ZPCB=130°,ZPBC+ZPCB=65°,

.?.ZP=180°-ZPBC-ZPCB=115°,

故答案為：115°；

(2)TA尸平分NA4C,BP平分/CBM,

：.ZBAC=2ZBAPfZCBM=2ZCBPf

?IZCBM=ZBAC+ZACB.

：.ZCBP=ZBAP+40°,

ZABC=180°-ZACB-ABAC,

：.ZABC=100°-2ZBAP,

.'.ZP=180°-ZBAP-ZABP=40°,

VBHXAP,即NBH尸=90°,

ZPBH=180°-NP-NBHP=50°；

(3)由折疊的性質(zhì)可得NAE7)=NP￡；。，ZADE=ZPDE,

VZl+ZAEP=180°,N2+NA。尸=180°,Zl+Z2=100°,

2ZAED-^-2ZADE=260°,

ZAED+ZADE=130°,

AZA=180°-ZAED-ZADE=50°,

???同(1)原理可得NP=可5°,

故答案為：115°；

(4)當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)片左側(cè)時，如圖4-1所示，

9：BE//CD,

：.ZCBE+ZBCD=1SO°,

?；BQ平分/EBF,CQ平分NDCR

/EBQ=1/.EBF=1,乙QCF=|乙DC