2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬卷（山

西專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

4.測(cè)試范圍：人教版八年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)。

5.難度系數(shù)：0.7。

第I卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.下列各式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A..B.C.V24D.V30

1.D

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的判斷，把握兩個(gè)要點(diǎn)：被開(kāi)方數(shù)中不含有開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；被

開(kāi)方數(shù)不含分母；根據(jù)這兩個(gè)要點(diǎn)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、后的被開(kāi)方數(shù)中含有開(kāi)得盡方的因式故不是最簡(jiǎn)二次根式；

B、的被開(kāi)方數(shù)中含有分母，故不是最簡(jiǎn)二次根式；

C、府的被開(kāi)方數(shù)中含有開(kāi)得盡方的因數(shù)4,故不是最簡(jiǎn)二次根式；

D、國(guó)中的被開(kāi)方數(shù)滿足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)要點(diǎn)，故是最簡(jiǎn)二次根式；

故選：D.

2.某果園實(shí)驗(yàn)基地種植了甲、乙兩個(gè)品種的楊梅樹(shù)，工作人員隨機(jī)從甲、乙兩品種的楊梅樹(shù)中采摘了20

棵，統(tǒng)計(jì)了每棵的產(chǎn)量.下列關(guān)于兩品種每棵產(chǎn)量的平均數(shù)和方差的描述中，能說(shuō)明甲品種的楊梅產(chǎn)量較

穩(wěn)定的是（）

?工甲〉%乙B.x甲<%乙c.s^>s[D.S^<S[

2.D

【分析】本題考查了方差的概念及性質(zhì)，理解方差的大小與穩(wěn)定性的關(guān)系是關(guān)鍵.

方差越小，越穩(wěn)定，由此即可求解.

【詳解】解：甲品種的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定，則甲的方差小于乙的方差，

2

5m<S乙2,

故選：D.

3.如圖，在RtA4SC中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形、面積分別記為5*2，S3.若

國(guó)+邑-4=14.則圖中陰影部分的面積為（）

79

A.-B.-C.6D.7

22

3.A

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和三角形面積的算法，解決此題的關(guān)鍵是合理的運(yùn)用勾股定理；先根

據(jù)勾股定理和已知的式子算出用=7,再根據(jù)同底等高的算法即可得到答案；

【詳解】解：在RtA45C中，這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外側(cè)作正方形，面積分別記為E，邑，S3,由勾

股定理得：BC2-AC2=AB2,

即S3-$|=邑，

?/S3+$2-=14,

S2=7,

???陰影部分的面積為9s2,

.??陰影部分的面積為1,

故選A.

4.在四邊形/BCD中，AB//CD,下列選項(xiàng)不能說(shuō)明四邊形/BCD是平行四邊形的是()

A.AB=CDB.ZB+ZA=180°C.AD=BCD.AD//BC

4.C

【分析】本題考查添加條件使四邊形為平行四邊形，利用平行四邊形的判定方法逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A>-CAB//CD,AB=CD,

四邊形/BCD是平行四邊形；故該選項(xiàng)不符合題意；

B、VZS+Z4=180°,

Z.AD//BC,

'：AB//CD,

四邊形是平行四邊形；故該選項(xiàng)不符合題意；

C、AB//CD,=不能說(shuō)明四邊形是平行四邊形；故該選項(xiàng)符合題意；

D、'：AD//BC,AB//CD,

四邊形/BCD是平行四邊形；故該選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

A.=aB.a64-a3=a2C.(-a)=a~D.2a3+3a2=5as

5.C

【分析】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、二次根式的化簡(jiǎn)、同底數(shù)基的除法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解決

本題的關(guān)鍵.

根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、二次根式的化簡(jiǎn)、同底數(shù)募的除法運(yùn)算法則判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A、當(dāng)a>0時(shí)，后=a，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、(-a)2=a2,正確，符合題意；

D、2/與3/不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意;

故選：C.

6.某公司要招聘一名職員，根據(jù)實(shí)際需要，從學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四個(gè)方面對(duì)甲、乙、丙三名應(yīng)聘者

進(jìn)行了測(cè)試，三名應(yīng)聘者測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤?/p>

應(yīng)聘者

項(xiàng)目

甲乙丙

學(xué)歷988

經(jīng)驗(yàn)869

能力788

態(tài)度575

如果將學(xué)歷、經(jīng)驗(yàn)、能力和態(tài)度四項(xiàng)得分按2:1:2:3的比例確定每人的最終得分，并以此為依據(jù)確定錄用者,

那么（）將被錄用

A.甲B.乙C.丙

6.B

【分析】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式，分別求出甲、乙、丙的最終得分，即可得

出答案.

9x2+8xl+7x2+5x3

【詳解】甲的最終得分為:=6.875,

2+1+2+3

8x2+6xl+8x2+7x3

乙的最終得分為:=7.375,

2+1+2+3

8x2+9xl+8x2+5x3

丙的最終得分為:=7,

2+1+2+3

乙的最終得分高，乙將被錄用.

故選：B

7.已知一次函數(shù)>=依-4+5的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且歹隨x的增大而減小，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（）

A.（-2,-1）B.（2,4）C.（-3,1）D.（3,6）

7.B

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由點(diǎn)/的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出左值，結(jié)合y隨x的增大而減小即可確定結(jié)論.

【詳解】解：A、當(dāng)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-2,-1）時(shí)，-2k-k+5=-l,

解得：k=2>0,

隨x的增大而增大，選項(xiàng)A不符合題意；

B、當(dāng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,4）時(shí),2左-4+5=4,

解得：上=—1<0,

隨x的增大而減小，選項(xiàng)B符合題意；

C、當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3,1）時(shí)，Tk-k+5=l,

解得：k=1>0,

隨x的增大而增大，選項(xiàng)C不符合題意；

D、當(dāng)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（3,6）時(shí),3"左+5=6,

解得：左=；>0，

???y隨x的增大而增大，選項(xiàng)D不符合題意.

故選：B.

8.如圖，沿/C方向開(kāi)山修建一條公路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊尋找點(diǎn)￡同時(shí)施工，從NC上

的一點(diǎn)2取//8。=150。，沿瓦3的方向前進(jìn)，取/AD￡=60。，測(cè)得5201n,8C=80m,并且NC、AD和

在同一平面內(nèi)，那么公路CE段的長(zhǎng)度為（）

A.180mB.260GmC.(26073-80)mD.(26072-80)m

8.C

【分析】由已知可求得/。2打=180。-//。0=30。，Z￡=90°,繼而根據(jù)可求出DE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理

可求出的長(zhǎng)，繼而可求出CE的長(zhǎng).

【詳解】解：是△8DE的外角，ZABD=150°,ZD=60°,

：.NDBE=18Q0-N4BD=3Q°,NE=150°-60°=90°,

：.DE=1BD=yx520=260,

BE=y]BD2-DE2=A/5202-2602=260V3(m),

公路CE段的長(zhǎng)度為(260百-80)(m),

故選：c.

9.利用一個(gè)平行四邊形畫(huà)菱形，對(duì)于以下兩種作法，根據(jù)畫(huà)圖痕跡可以判斷（）

作法①作法②

A.①②都正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①②都不正確

9.B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)及線段和垂直平分線的作

法，根據(jù)作圖方法結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)利用菱形的判定定理逐一判定即可.

【詳解】解：在作法①中，如圖：

?.?四邊形48CD是平行四邊形,

AF||CE,

；.ZFAC=ZECA,ZFEC=ZAFC,

由作圖可知所垂直平分/C,

則。4=OC,

A/0尸也ACOE(AAS),

：.FA=EC,

尸垂直平分/C,

：.FA=FC,EA=EC,

:.FA=FC=EA=EC,

.?.四邊形加C戶是菱形，①正確;

在作法①中，如圖：

作法②

?.?四邊形48CD是平行四邊形，

AD\\BD,AB\[CD,AD=BC,AB=CD,

：.ZA+ZABC=ZABC+ZC=180°,即4=NC,

由作圖可知DF=CD,BE=AB,

貝ljDF=BE,

...四邊形BEDF是平行四邊形，

BF=DE,

?.?8尸,45不一定相等，則8尸，。尸不一定相等，

二不能判定四邊形8即9是菱形，②不正確；

故選：B.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，口Q43C的邊OC落在x軸的正半軸上，且點(diǎn)C（3,0）,3（4,2）,直線y=2x+l

以每秒1個(gè)單位的速度向下平移，當(dāng)該直線將平行四邊形。仿C的面積平分時(shí)向下平移的時(shí)間為（）

10.B

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，連接交于點(diǎn)。，直線。E交了軸于點(diǎn)

E,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，該直線可將平行四邊形。4SC的面積平分，求出直線平移后的解析式為>=2X-3,

即可得出答案，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接ZC,03,交于點(diǎn)。，直線￡>￡交V軸于點(diǎn)E,

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，該直線可將平行四邊形。四C的面積平分,

?..四邊形。43c是行四邊形，

BD—OD,

?.?8(4,2),0(0,0),

二點(diǎn)。(2,1),

???直線由直線＞=2x+l平移得到，

設(shè)直線DE的解析式為y=2x+b,

把點(diǎn)。(2,1)代入得：1=4+8,

解得:b=-3,

直線DE的解析式為y=2x-3,

二直線y=2x+1要向下平移4個(gè)單位得到直線》=2x-3,

；?平移的時(shí)間為4s,

故選：B.

第n卷

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.V27--X2V2-6V2=.

2

11.672

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵;

先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后算加減；

【詳解】解:2V2-6V2=12V2-6V2=672

故答案為：672.

12.某班級(jí)計(jì)劃利用暑假去研學(xué)旅行，他們準(zhǔn)備訂做一批容量相同的雙肩包.活動(dòng)負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)了全班60名

同學(xué)的意向，得到如下數(shù)據(jù)：

容量/L232527293133

人數(shù)/人75112764

為了滿足大多數(shù)人的需求，此次訂做的雙肩包容量應(yīng)為L(zhǎng).

12.29

【分析】本題考查了眾數(shù).眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，眾數(shù)可能沒(méi)有，可能有1個(gè)，也可能有

多個(gè).根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：29L出現(xiàn)27次，出現(xiàn)次數(shù)最多，

，眾數(shù)是29L,

故答案為：29.

13.如圖，是一種光電轉(zhuǎn)換接收器的基本原理圖，光束發(fā)射器從點(diǎn)尸處始終以一定角度1向液面4發(fā)射一束

細(xì)光，光束在液面4的a處反射，其反射光被水平放置的平面光電轉(zhuǎn)換器接收，記為點(diǎn)E.當(dāng)液面上升至4

時(shí)，入射點(diǎn)就沿著入射光線的方向平移至c處，反射光線也跟著向左平移至。2星處，。百交4于點(diǎn)。，在a

處的法線交于4點(diǎn)處的法線為脛，若百邑=4.6cm,a=45。，則液面從4上升至4的高度為—cm.

13.2.3

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是等

腰三角形判定定理的應(yīng)用.先證明四邊形鳥(niǎo)邑02。是平行四邊形，求得/。2°?=90°,據(jù)此求解即可.

【詳解】由題意得。5〃。2s2，sts2//O2Q,

■■■四邊形凡邑020是平行四邊形，

/.O2Q=S}S2=4.6cm,

、a=45°,

=90°,

/ORQ=a=45°=ZOtQO2,

002=。。

--O.NLO.Q,

:.01N=^O2Q=2.3cm,

故答案為：2.3.

14.設(shè)直線了=丘+左-1和直線.y=（左+l）x+左（后是正整數(shù)）與x軸圍成的三角形面積為&,則

S]+S2+S3H---------F§2024=.

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題.先求出第左個(gè)三角形與X軸的交點(diǎn)橫

坐標(biāo)為1-1與上-1,可得第左個(gè)三角形在X軸上這條邊的長(zhǎng)為：-工，然后聯(lián)立，求出兩直線的交點(diǎn)

k左+1kk+1

坐標(biāo)為（T,T）,從而得到邑=:（：-工］,即可求解.

【詳解】解：分別令兩直線中y=o,

Ax+左一1=0,（左+l）x+左=0,

解得：X=--\,X=----1,

kk+1

即第左個(gè)三角形與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為；-1與，-1,

k左+1

...第左個(gè)三角形在X軸上這條邊的長(zhǎng)為:-1工，

k左+1

聯(lián)立得：|fy廣=k（％x++k1）-i\,

X=-1

解得:

N=T

二.兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

.?.S1+S2+53+-?.+S2024=-f---+---+.-.+—------11012

123202421122320242025J2025

1012

故答案為:

2025

15.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為點(diǎn)E,G分別為邊AD,3C的中點(diǎn)，連接BE,將沿BE翻折

至同一平面得到AEBE.邊CD上有一點(diǎn)連接G”，又將ACGH沿G”翻折至同一平面得到△尸GH,若

點(diǎn)尸恰好落在BF上，則此時(shí)折痕GH的長(zhǎng)為.

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)并掌握特殊化思想成為解題的關(guān)鍵.由正方形的性質(zhì)以及題意可得

NA=ND=90°,AB=CD=42,DE=AE=BG=CG=—;再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

2

AE=EF=DE=￡BF=AB=6,PG=CG=BG=旦、^BFE=AA=90°；如圖：延長(zhǎng)3尸交DC于

22

K,連接EK,則/跳K=90。，易證RMOKE咨RtAFKE(HL)可得.=OK,設(shè)KF=DK=x,則有

6=血一》,8長(zhǎng)=友+》，根據(jù)勾股定理列方程可得x=走，即CK=￡Z,BK=￡Z;連接PC,根據(jù)等

444

邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理可得NCP5=90。，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得尸〃是線段位的中點(diǎn)，

最后由勾股定理求解即可.

【詳解】解：；正方形N8CD的邊長(zhǎng)為四，點(diǎn)E,G分別為邊8C的中點(diǎn)，連接3E,

二ZA=/D=90°,AB=CD=6,DE=AE=BG=CG=—，

2

?.?將A4BE沿BE翻折至同一平面得到AFSE.邊CD上有一點(diǎn)77,連接G〃，又將ACS沿G〃翻折至同一

平面得到4PGH,

/.AE=EF=DE=^,BF=AB=叵PG=CG=BG=—,^BFE=AA=90°

22

如圖：延長(zhǎng)3尸交。。于K,連接EK,貝l|NEFK=90°,

ZEFK=ZD=90°,

-ED=EF,EK=EK,

RtADKEmRt&FKE(HL),

：.KF=DK,

設(shè)KF=DK=x,貝lj有CK=后一無(wú),2K=V^+x,

在R3BCK中，BK2=CK2+SC2,

?*.[y/2+x^=(0-x)+(0)>解得：x-

.“3及Ry5c

??CA=------,DJ\.=------,

44

如圖：連接尸C,

BG=GP,

：.ZGPB=/GBP,

同理：ZGPC=ZGCP,

???ZGPB+ZGBP+ZGPC+ZGCP=180°,

???ZCPB=ZGPB+ZGPC=90°,

將KGH沿GH翻折至同一平面得到△PG8,

???G8垂直平分尸C,CH=PH

：.PC^HG,ZHCP=ZHPC；

?：ZHCP+Z.CKP=ZHPC+ZHPK=90°,

???ZHKP=ZHPK,

：.HK=HP=CH,

即H是線段CK的中點(diǎn),

CH=

28

在RMCHG中,由勾股定理得GH=+CG?=迪.

8

故答案為：—.

8

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

16.(10分)計(jì)算：

(l)(V3)2-|l-V3|+(2025-V5)°Q

⑵后十百一.x加+&

16.(1)5+癡

(2)3+76

【分析】本題考查絕對(duì)值、二次根式的計(jì)算、零次累的計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵;

(1)先計(jì)算平方，絕對(duì)值，零次塞以及化簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行加減運(yùn)算；

(2)先計(jì)算二次根式的乘除法，對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行加減運(yùn)算.

【詳解】⑴解:(V3)2-|l-V3|+(2025-V5)°+-1

=3-[73-1)+1+273

=3-73+1+1+273

=5+V3

(2)解：V27-V3-^|xV18+V24

=373^73-—X3A/2+2V6

3

=3-76+276

=3-#+2指

=3+V6

17.(7分)如圖，已知△N5C,按要求完成下列問(wèn)題.

B

(1)分別作出△N3C的邊48、NC的中點(diǎn)。、E,連接。E并延長(zhǎng)DE到點(diǎn)尸，使EF=DE,連接CF,得四

邊形DBCF.(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)根據(jù)(1)中作圖，求證：四邊形D8CF是平行四邊形.

17.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題目要求，使用尺規(guī)作圖的方法找到三角形的中點(diǎn)，并且連接這些中點(diǎn)形成線段；

(2)由題意證明四邊形的一組對(duì)邊平行且相等即8。II。尸，BD=CF.

【詳解】(1)解：如圖，就是所要求作的

/.EA=EC,

'：ZAED=Z.CEF,DE=FE,

：.AAED知CEF(SAS),

：.ZA=ZECF,AD=CF,

：.ABHCF,

丁點(diǎn)。分別為48的中點(diǎn)，

AD=BD,

：.BD\\CF,BD=CF,

四邊形DBCF是平行四邊形.

18.(9分)近年來(lái)，網(wǎng)約車十分流行，給人們的出行帶來(lái)了便利，學(xué)生妙妙對(duì)“花小豬”和“滴滴”兩家網(wǎng)約

車公司司機(jī)月收入進(jìn)行了抽樣調(diào)查，收集了兩家公司各10名司機(jī)的月收入情況(單位：千元)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)

行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息：“花小豬”網(wǎng)約車公司10名司機(jī)月收入是：4,5,5,6,

6,6,6,7,7,8.

滴滴”網(wǎng)約車公司司機(jī)月收入條形統(tǒng)計(jì)圖

名稱平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

“花小豬”66a

“滴滴”bC4

根據(jù)所給信息，解答下列問(wèn)題:

(1)上述表格中：a=,c—；

⑵求8的值;

(3)若從兩家公司中選擇一家做網(wǎng)約車司機(jī)，你會(huì)選哪家公司？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(1)6；4.5

(2)6=6；

⑶選“花小豬”，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)、眾數(shù)平均數(shù)的定義等統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí).

(1)利用中位數(shù)、眾數(shù)的定義分別計(jì)算即可求解；

(2)利用平均數(shù)的定義計(jì)算即可；

(3)根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小進(jìn)行選擇即可.

【詳解】(1)解：從扇形統(tǒng)計(jì)圖知，“花小豬''網(wǎng)約車司機(jī)的收入人數(shù)最多的是6千元,

貝Ua=6；

從條形統(tǒng)計(jì)圖知，“滴滴”網(wǎng)約車司機(jī)的收入的中位是4一+5=4.5千元，

2

則c=4.5；

故答案為：6；4.5；

(2)解：“滴滴”網(wǎng)約車司機(jī)的收入的平均數(shù)為:

b=—(5x4+2x5+2x9+1x12)=6；

10v7

(3)解：選“花小豬”，因?yàn)槠骄鶖?shù)一樣，中位數(shù)、眾數(shù)“花小豬”大于“滴滴”.

19.(8分)綜合與實(shí)踐

為了測(cè)量如圖墻體是否與地面垂直，即是否垂直RV于點(diǎn)。，在沒(méi)有角尺、量角器、刻度尺，只有足夠

長(zhǎng)、足夠多的若干條無(wú)彈性的繩子的情況下，兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組分別設(shè)計(jì)了兩種不同解決方案，設(shè)計(jì)方案

如表所示:

問(wèn)題如何測(cè)量墻體是否與地面垂直？

工具若干條無(wú)彈性的繩子

小組第一小組第二小組

模仿古埃及人用結(jié)繩的方法，在一條繩子上

打13個(gè)結(jié)，得到12條線段，且用疊合法使

得這12條線段都相等，設(shè)每一條線段長(zhǎng)為

測(cè)量方案。.如圖1放置這條總長(zhǎng)是12。的繩子，使在

。河上的繩子CM=4a,在CW上的繩子

OB=3a,若AB=5a,則AO_LOB,即

MO工PN于點(diǎn)、0,否則不垂直.

,1.1.1.MM

1.1.1.11.1,1.1

illA

\,1.1.1.

測(cè)量示意圖

,l.l,l,

1.1,1.11.1,1.1

111

PC)BNPON

331圖2

(1)第一小組的方案可行嗎？如果可行，請(qǐng)給出證明；如果不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)請(qǐng)你代表第二小組，寫出一個(gè)應(yīng)用原理不同于第一小組的測(cè)量方案，并畫(huà)出測(cè)量示意圖，然后證明方案

的可行性.

19.(1)第一小組的方案可行，見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理逆定理，是解題的關(guān)鍵：

(1)利用勾股定理逆定理進(jìn)行說(shuō)明即可；

(2)如圖，在射線ON,ON上分別取點(diǎn)A,B,放置繩子對(duì)折得到相等的兩段/C,BC,放置

繩子。C,用疊合法比較。。與8c的長(zhǎng)度，若OC=BC,則墻體與地面垂直，即于點(diǎn)O,否則不

垂直，根據(jù)等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，得到當(dāng)OC=8C時(shí)，408=90。，即可.

【詳解】(1)解：第一小組的方案可行.

理由如下：

證明：因?yàn)?82+0/2=(3a『+(%)2=25/,

若/笈=(50y=25/,

貝10A2+OB2=AB1,

■■■ZAOB=90°,

OA1OB,

:.MO1PN；

(2)第二小組的測(cè)量方案是：如圖，在射線加，ON上分別取點(diǎn)A,B,放置繩子對(duì)折得到相

等的兩段/C,BC,放置繩子。C,用疊合法比較。。與8C的長(zhǎng)度，若OC=BC,則墻體與地面垂直，即

于點(diǎn)0,否則不垂直.

■：AC=BC,若OC=BC,

貝ljAC=OC=CB,

：.ZCAO=ZCOA,ZCOB=ZCBO,

又-.?ZCAO+ZCOA+ZCOB+ZCBO=180°,

:.^COA+^COB=90°,IPZAOB=90°,

:.AOLOB,

:.MO±PN.

20.(8分)【問(wèn)題背景】

2025年4月23日是第30個(gè)“世界讀書(shū)日”，為給師生提供更加良好的閱讀環(huán)境，某校決定擴(kuò)大圖書(shū)館面積,

增加藏書(shū)數(shù)量，該校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的書(shū)架共30個(gè)用于擺放書(shū)籍.

【素材呈現(xiàn)】

素材一：甲型號(hào)書(shū)架的單價(jià)比乙型號(hào)書(shū)架的單價(jià)低100元/個(gè)；

素材二：購(gòu)買2個(gè)甲型號(hào)書(shū)架和3個(gè)乙型號(hào)書(shū)架共需要1300元；

素材三：購(gòu)買甲型號(hào)書(shū)架的數(shù)量不超過(guò)乙型號(hào)書(shū)架的4倍.

【問(wèn)題解決】

(1)求出甲、乙兩種型號(hào)書(shū)架的單價(jià)；

(2)設(shè)購(gòu)買。個(gè)甲型號(hào)書(shū)架，購(gòu)買這30個(gè)書(shū)架所需總費(fèi)用為卬元，求W與。之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出可最

小時(shí)的購(gòu)買方案.

20.(1)甲型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為200元，乙型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為300元

⑵.=-1000+9000；購(gòu)買24個(gè)甲型號(hào)書(shū)架，6個(gè)乙型號(hào)書(shū)架時(shí)，現(xiàn)最小

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)

點(diǎn)，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)甲型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為x元，則乙型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為(x+100)元，然后根據(jù)素材二列出方程，解之即

可；

(2)設(shè)購(gòu)買。個(gè)甲型號(hào)書(shū)架，則購(gòu)買乙型號(hào)書(shū)架(30-。)個(gè)，根據(jù)(1)中所求單價(jià)即可得到川與。之間的

函數(shù)表達(dá)式，然后由素材三可知。(4(30-a),得到。的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可知可隨。的增大

而減小，即可得到答案.

【詳解】(1)解：設(shè)甲型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為x元，則乙型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為(x+100)元，

依題意得，2x+3(100+x)=1300,

解得x=200,

.-.x+100=200+100=300,

答：甲型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為200元，乙型號(hào)書(shū)架的單價(jià)為300元.

(2)解：設(shè)購(gòu)買。個(gè)甲型號(hào)書(shū)架，則購(gòu)買乙型號(hào)書(shū)架(30-a)個(gè)，

依題意得，w=200a+300(30-a)=-100a+9000,

???購(gòu)買甲型號(hào)書(shū)架的數(shù)量不超過(guò)乙型號(hào)書(shū)架的4倍,

a<4(30-tz),

?<24,

v-100<0,

，■隨。的增大而減小，

當(dāng)。=24時(shí)，w取得最小值，

二購(gòu)買24個(gè)甲型號(hào)書(shū)架，6個(gè)乙型號(hào)書(shū)架時(shí)，川最小.

21.(9分)閱讀與理解

下面是小麗同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

巧用正方形網(wǎng)格和無(wú)刻度直尺作圖

正方形網(wǎng)格是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，我們把小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的線段叫做格點(diǎn)線

段.利用正方形網(wǎng)格和無(wú)刻度直尺可以做格點(diǎn)線段的中點(diǎn)和垂線.如圖，正方形網(wǎng)格是由邊長(zhǎng)為1的小正

方形組成，己知NB是格點(diǎn)線段，可以用如以下方法構(gòu)造NB的中點(diǎn)和垂線.

構(gòu)造中點(diǎn)：如圖1,在網(wǎng)格上取格點(diǎn)C，D,使得4C〃BD,^.AC=BD,連接CD交的48于點(diǎn)E.點(diǎn)E

在A4CE和中，?;NCAB=/DBA,AC=BD,ZACD=ZBDC,

:."CEWBDE(依據(jù)1)

AE=BE(依據(jù)2),

即點(diǎn)E是的中點(diǎn).

構(gòu)造垂線：如圖2,在網(wǎng)格上取格點(diǎn)C,D,E,使得//￡3=90。，ZCAD=90°,S.AC=AE,AD=BE,

連接CDCO即為A8的垂線.理由如下：…

任務(wù)：

(1)上述材料中的依據(jù)1是指,依據(jù)2是指.

(2)請(qǐng)你幫小麗將“構(gòu)造垂線”中的理由補(bǔ)充完整.

(3)如圖3,在給定的網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)，利用網(wǎng)格和無(wú)刻度直尺構(gòu)造/R4C,使得㈤C=45。.

21.(1)角邊角(ASA)；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

(2)詳見(jiàn)解析

(3)圖見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)；

(1)根據(jù)全等三角形的判定方法與全等三角形的性質(zhì)可得答案；

(2)令A(yù)B與CD交于點(diǎn)F,證明AC仍均4E8,可彳導(dǎo)NACD=/EAB,再進(jìn)一步可得結(jié)論;

(3)如圖，取格點(diǎn)。,E,尸，連接工。，BD,跖交于點(diǎn)C,作射線/C,則ZA4C即為所求；

【詳解】(1)解：上述材料中的依據(jù)1是指角邊角(ASA),

依據(jù)2是指全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

(2)解：令4B與CD交于點(diǎn)F,

VAC=EA,/CAD=NAEB=90。,AD=EB,

:aCAD%AEB,

ZACD=ZEAB,

-.-ZCAD=90°,

:.ZACD+ZCDA^°,

:.ZEAB+ZCDA=9Q°,

:.ZAFD=90°

CD1AB.

(3)解：如圖，取格點(diǎn)22尸，連接4D,BD,斯交于點(diǎn)C,作射線NC,貝UNA4c即為所求;

理由如下:

,:AB~=32+42=25=/￡>2,BD2=12+72=50,

AB=AD,AB2+AD2=BD2，

ABAD=90°,

同理可得：AECD^FCB,

:.CD=CB,

：.ZBAC=ZDAC=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性

質(zhì)，熟練的畫(huà)圖是解本題的關(guān)鍵.

22.（12分）綜合與實(shí)踐

【主題】“潮汐車道”設(shè)計(jì)

【背景素材】某跨海大橋東西走向，雙向四條車道，在上下班高峰期經(jīng)常擁堵，交警部門統(tǒng)計(jì)了不同時(shí)段

雙向車流量（輛/分鐘），發(fā)現(xiàn)時(shí)間和汽車流量的變化規(guī)律符合一次函數(shù)的特征，計(jì)劃通過(guò)“潮汐車道（如圖

所示，大流量方向的汽車可在該路段借用相鄰的對(duì)向一條機(jī)動(dòng)車道通行）”動(dòng)態(tài)調(diào)整車道方向以緩解擁堵.

【原始數(shù)據(jù)】

時(shí)間X8時(shí)11時(shí)14時(shí)17時(shí)20時(shí)

必自東向西車流量（輛/分鐘）200320440560680

%自西向東車流量（輛/分鐘）500440380320260

【實(shí)踐操作】

步驟1：建立車流量模型：根據(jù)原始數(shù)據(jù)，分別表示凹與X、%與%之間的函數(shù)關(guān)系；

步驟2：交通流量分析：計(jì)算8時(shí)至20時(shí)每小時(shí)的車輛總流量加=%+%,定義大流量方向車流量為”；

步驟3：潮汐車道方案設(shè)計(jì)：根據(jù)分析結(jié)果，劃分需要啟用“潮汐車道”的具體時(shí)段方式.

【實(shí)踐探索】

（1）求出,與X、%與x之間的函數(shù)關(guān)系；

2

（2）經(jīng)查閱資料得：當(dāng)后2§加時(shí)需要啟用“潮汐車道”以改善交通情況.該路段從8時(shí)至20時(shí)，如何設(shè)置“潮

汐車道”通行方式以緩解交通擁堵（在何時(shí)間段借用何方向機(jī)動(dòng)車道通行），并說(shuō)明理由.

22.（1）必=40x—120；y2=-20x+660

（2）8時(shí)到9時(shí)，可變車道的方向設(shè)置為自西向東；18時(shí)到20時(shí)，可變車道的方向設(shè)置為自東向西

【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)表格，易得示乂與X、於與％之間均為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)出關(guān)系式，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式

即可：

2?

（2）求出了總，分別求出乂2§%，%2§%時(shí)%的范圍，進(jìn)而設(shè)置“潮汐車道”通行方式即可.

【詳解】（1）解：設(shè)弘=看》+"（勺、4為常數(shù)，且左尸0）,

將x=8,必=200和x=ll,乂=320代入”=《x+6］得:

「8勺+4=200〃，曰J勺=40

1的+4=320'解得：］々=-120

y1=40x-120；

設(shè)為=左2、+。2（左2、H為常數(shù)，且左2。。），

將％=8,%=500和x=n,%=440代入歹2=左2%+。2得:

8k2+b=500k=-20

2解得:2

1出+4=440b2=660

y2=-20x+660；

=

（2）丁總=%+歹240%-120-2