“五年真題（202L2025）

專題03等式層不等式、基中系等W段一無二決

不等式9種考見考法忸類

五年考情-探規(guī)律

知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點(diǎn)01由已知條件判斷所給不等式是否正確

知識(shí)1等式與2025?北京2022?新高考全國H卷

不等式

（5年2考）考點(diǎn)02利用不等式求值或取值范圍

2022?上海

考點(diǎn)03由基本不等式比較大小

2022?全國甲卷2021?浙江

考點(diǎn)04基本不等式求積的最大值

知識(shí)2基本不2021?新高考全國I卷

等式

考點(diǎn)05基本不等式求和的最小值

（5年5考）1.對(duì)于不等式的性質(zhì)，主要以應(yīng)用

2025?上海2024?北京2023?天津

的形式考查.

2023?新課標(biāo)I卷2022?新高考全國I卷

2.關(guān)于基本不等式的考查，有兩方

2022?全國甲卷2021?全國乙卷2021?上海

面，一是具有一定綜合性的獨(dú)立考

2021?天津

查；二是作為工具，在求最值、范

考點(diǎn)解不含參數(shù)的一元二次不等式

06圍問題中出現(xiàn).

2024?上海2023?新課標(biāo)I卷2021?上海

2021?新高考全國H卷

知識(shí)3—兀一

考點(diǎn)07分式不等式

次不等式

2025?上海2025?全國二卷2021?上海

（5年4考）

考點(diǎn)08一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問

題

2025?天津

知識(shí)4線性規(guī)考點(diǎn)09線性規(guī)劃（拓展）

劃（拓展，己2024?全國甲卷2023?全國甲卷2023?全國乙卷

不做要求）2022?浙江2022?全國乙卷2021?浙江

（5年4考）2021?全國乙卷

分考點(diǎn)-精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01由已知條件判斷所給不等式是否正確

1.（2025?北京?高考真題）已知。>0,6>0,則（）

A.6Z2+Z?2>2abB.—F—>—

abab

l112

C.a+b>\[abD.~+T-~r^

abyjab

【答案】C

【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)〃=/?時(shí)，a2+b2=2ab^故A錯(cuò)誤;

11_I_?I+4=c6<,__「_____I_—2o=I

對(duì)于BD,取。=：,〃=；,此時(shí)〃十萬一,十今11ab，

24-x7

24

—i—=2+4=6>-]=4^/5'=.—

abrrr故BD錯(cuò)誤；

V2X4

對(duì)于C,由基本不等式可得Q+Z?2,故C正確.

故選：C.

2.（2022?新高考全國II卷?高考真題）若羽y滿足爐+V—孫=i,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】因?yàn)閇等（a,biR）,由Y+y2一呼=1可變形為，（x+y）2一i=3q<3[亨

解得一24x+y42,當(dāng)且僅當(dāng)無=y=-l時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B

正確；

22

由尤2+丁-孫=i可變形為（/+y2）-1=封4土產(chǎn),解得/+,242,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以

C正確;

因?yàn)?+；/一町=1變形可得1一1+#=1,設(shè)尤/=cos。岑y=sin6,所以

12222522111

x=cos0+~i=sin0,y=-j=sin0,因止匕%+y=cos0+—sin0+sin0cos0=1+—j=sincos+3

=：+￡sin卜所以當(dāng)戶且廣=_且時(shí)滿足等式，但是X'+VNI不成立，所以D錯(cuò)誤.

3316八3」33

故選：BC.

考點(diǎn)02利用不等式求值或取值范圍

3.(2022?上海?高考真題)x-y40,x+y-l>0,貝!|z=x+2y的最小值是.

3

【答案】-/1.5

31

【分析】分析可得x+2y=5(犬+》)-,(尤-y),利用不等式的基本性質(zhì)可求得z=x+2y的最小值.

.3

(m=—

/、/\/\/、m+n=l12

LiWl^x+2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n\x+(m-n\y,貝叫，解得<1，

\m—n=21

in=----

[2

313

所以，z=x+2y^-(x+y)--(x-y)>-,

3

因此，z=x+2y的最小值是彳.

2

3

故答案為：—.

2

考點(diǎn)03由基本不等式比較大小

4.(2021?浙江?高考真題)已知a,是互不相同的銳角，則在sinacosQ,sin/?cos/,sin/cosa三個(gè)值中，大

于1的個(gè)數(shù)的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/3+sin尸cos/+sinycosa<-,從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不

可能均大于《，再結(jié)合特例可得三式中大于5的個(gè)數(shù)的最大值.

.22n

【詳解】法1：由基本不等式有sinacos9m+cos一夕,

2

口工用-c/sin2分+cos27sin2/+cos2cr

I可埋sm//cosy<-----------------,sinycosa<------------------,

故sinacos尸+sin尸cos/+sin/cosa<—,

故sinacos/?,sin(3cosy,sin/cosa不可能均大于

取。=?

6

貝Usinacos,=；<；,sin/cosy=>；,sin/cosa=,

故三式中大于3的個(gè)數(shù)的最大值為2,

故選：C.

法2：不妨設(shè)[<夕</,貝Ucosa〉cos尸>cos/,sine<sin/?<sin

由排列不等式可得：

sinacos尸+sic/7cosy+sin/cosa<sinacosy+sincosP+sin/cosa,

13

而sinacosy+sin萬cos0+sin/cosa=sin(/+a)+—sin2f3<—

故sinacos0,sin[3cos/,sin/cos°不可能均大于g.

TFrt兀c兀兀

?。?丁'B=1

634

貝！Jsinacos尸=；<g,sin（3cos/=>^,sin/cosa=,

故三式中大于5的個(gè)數(shù)的最大值為2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注

意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.

5.（2022?全國甲卷?高考真題）已知9"=10,0=10"<118=8"-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=log910>l，再利用基本不等式，換底公式

可得10g89>〃Z,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9"=10可得機(jī)=。91。=^>1,而ig9ign<（ig9；igiij=［等］<i=（igio）2,所以卷號(hào)>懸，

即機(jī)>igii,所以q=i（r_11>10叫-11=0.

又lg81glO<fg8；gl。］1號(hào)<0g9）2,所以‘>需，g|Jlog9>m,

8

所以6=8'"—9<8"&9一9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9"=10,可得〃7=log-。e(1,1.5).

根據(jù)。力的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=x"-xT(x>l),貝l|r(x)=-1,

令r(x)=。，解得%=機(jī)占,由〃7=log910e(l,1.5)知受€(0.1).

/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因?yàn)?(9)=9蚓°-10=0,所以4>0〉人.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。*的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=x"'-x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

考點(diǎn)04基本不等式求積的最大值

22

6.(2021?新高考全國I卷?高考真題)已知乙，尸2是橢圓C：上+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，貝U

94

|阿卜|"&|的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本題通過利用橢圓定義得到?町i+i叫|=2〃=6,借助基本不等式阿劇.阿閭〈幽羋71rl即

可得到答案.

【詳解】由題，標(biāo)=94=4,則|附+順|=勿=6,

所以|肛/?性碼］=9(當(dāng)且僅當(dāng)|崢|=陽閭=3時(shí)，等號(hào)成立).

I2J

故選：C.

【點(diǎn)睛】

考點(diǎn)05基本不等式求和的最小值

7.(2021?全國乙卷?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是()

2

A.y=x+2x+4B.y=lsinxl+|^|

,4

C.y=2V+22~XD.y=\nx+—

Inx

【答案】c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等“，即可得出

8,￡（不符合題意，C符合題意.

【詳解】對(duì)于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=—1時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對(duì)于B,因?yàn)?<kinx|vi,y=\smx\+-^->2^=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜in,=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其

15111人

最小值不為4,B不符合題意；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而丁>0,>=2工+227=2'+々上2"=4,當(dāng)且僅當(dāng)2，=2，即x=l時(shí)取

等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意；

對(duì)于D,y=ln尤+/一，函數(shù)定義域?yàn)椋?」）U（L+co），而InxwR且InxwO,如當(dāng)lnx=-l,y=~5,D不

In尤

符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的

性質(zhì)即可解出.

8.（2021.上海.高考真題）己知函數(shù)〃x）=3￡+/1（a>0）的最小值為5,貝匹=.

【答案】9

【分析】配方得〃“=3'+/（a>0）=3'+1+/-1,結(jié)合基本不等式即可求解

【詳解】/（x）=3'+-^-（a>0）=3J+l+-^--l>2^-l=5=>a=9,當(dāng)且僅當(dāng)xTog,2時(shí)等號(hào)滿足，

'73+173+1

故答案為：9

9.（2025?上海?高考真題）設(shè)>0,a+7=1,貝!—的最小值為_______.

ba

【答案】4

【分析】靈活利用“1”將6+,="+工］（。+2］展開利用基本不等式計(jì)算即可.

aIab）

【詳解】易知b+，=（b+，］［a+，］=ab^---+2>2.ab--+2=4,

a\a人bJabVab

當(dāng)且僅當(dāng)H=l,即a="b=2時(shí)取得最小值.

2

故答案為：4

10.（2021?天津?高考真題）若。>。">0,則工+2+6的最小值為_________.

ab

【答案】20

【分析】兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】???a>0,b>0,

:+b>2.1—■+b=—+b>2,1—?b=2夜,

ab\abbVb

當(dāng)且僅當(dāng)1=9且揖=6,即〃=6=亞時(shí)等號(hào)成立，

abb

所以工+《+8的最小值為2VL

ab

故答案為：20.

11.（2024?北京?高考真題）已知（為%），（%,%）是函數(shù)y=2"的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）

玉+x2+必〉再+%

A.log號(hào)B.logy2

2222

C.log2%%v%+/D.log?%>為+尤2

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)罰<w，因?yàn)楹瘮?shù)>=2"是增函數(shù)，所以0<2畫<2%,即。<%<%，

IOx2________七+巧Xi+X2

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得3十,一>，2司？々2=丁，即江&>2丁>0,

22

國+巧.

根據(jù)函數(shù)y=log2尤是增函數(shù)，所以log?七匹>log22k=受產(chǎn)，故B正確，A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如玉=。,％=1，則寸=1，%=2,

可得log?，；%=log?3e（0,1）,即log?%<]=X[+二，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如再=一1,々=-2,則%=；,%=；，

可得log?嗎匹=log2：=log23-3e（-2,-l）,即log?再造>.3=%+%,故C錯(cuò)誤，

282

故選：B.

12.（2023?天津-iWi考真題）在VABC中，BC=1,/4=60",AD=—AB,CE=—CD,記A8=1,AC=Z?,

用萬,5表示順=；若麗=；而，則通.衣的最大值為.

【答案】弓

4224

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合E為CO的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用25表示出亞，結(jié)合上一空

答案，于是屈.正可由萬,5表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【詳解】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則麗+反="可得一一一

AE+EC=AC

兩式相加，可得到2通=赤+正，

即2荏=！￡+九貝1|通=」￡+」|；

242

.1—）AF+FC=AC

空2：因?yàn)閯t2而+同=0,可得＜

~AF+FB=AB

.2—1一

^3AF=2a+b，§PAF=-a+-b.

于是荏.而==A(2/+5〃Z+2葉.

iBAB=x,AC=y,

貝u樂?/=+5￡?B+2廣)=:(2/+5xycos600+2/)=^|^2x2+手+2y?

在VABC中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+/-2xycos600=x2+y2-xy=l,

于是適衣=：(2孫+半+2)=.等+2)

由x?+-沖=1和基本不等式，x1+y1—xy=\>1xy-xy=xy,

故肛41,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=i取得等號(hào)，

則尤=y=l時(shí)，荏.衣有最大值7T.

1-1一13

故答案為：-a+-b；-

13.（2。22?新高考全國I卷?高考真題）記VMC的內(nèi)角42（的對(duì)邊分別為〃也以已知言言=離|萬

⑴若。后，求5

（2）求上三的最小值.

C

【答案】（1）工;

0

(2)40-5.

【分析】(1)方法一：直接根據(jù)待求表達(dá)式變形處理，方法二：先二倍角公式處理等式右邊，在變形，方

法三：根據(jù)誘導(dǎo)公式可將題干同構(gòu)處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，推知4+23=］即可求解，方法四：根據(jù)半

角公式和兩角差的正切公式化簡后求解.

⑵由(1)知，C=￡+B,A=g-23,再利用正弦定理以及二倍角公式將《42化成4cos28+一一-5,

22c2cos2B

然后利用基本不等式即可解出.

【詳解】(1)方法一：直接法

cosJA.sin2B

-------=---------可得cosAcos2B+cosA=sin25+sinAsin2B,

1+sinAl+cos2B

則cosAcos2B-sinAsin2B+cosA=sin2B,即cos(A+2B)+cosA=sin2B,

注意到A+B=—,cos(—+B)+cos(--B)=sin2B,

333

TT]

展開可得2cos—cosB=2sinBcosB,則sin3=—,

32

又。<3<g,B=

3o

方法二：二倍角公式處理+直接法

三位cosAsin232sinBcosBsinB

I大IQ=，

1+sinA1+cos232cosBcos3

即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=—,

而所以B=g

方法三：導(dǎo)數(shù)同構(gòu)法

cos|--2B

ggcosAsin23_,cosA12

根據(jù);——?=-：----?？芍?，1—―7=-----------------

1+sinAl+cos2B1+sinA一.兀；

1+sin——o21

12

2

、幾、COSX/八71.-sinx(l+sinx)-cosx1

設(shè)"而底')'<0,

(1+sinx)21+sinx

cos!—~2B](

則/(X)在阻J上單調(diào)遞減,cosA-^/(A)=/r-2B

1+sinAl+sinf|-2Bj(2

故A+28=g,結(jié)合4+8=2,解得B=J.

236

方法四：恒等變換化簡

2A.2AA.A

cos-——sin—cos-----sin—

cosAsin232sinBcosB

2222=tanB

1+sinA1+cos25、22cos2BA.A

cos—+sin—cos——i-sin—

2222

1-tan—

71A

=______2=tanBotan=tanB,

1A

l+tan—

2

結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，:-g=B，則A+2B=],

結(jié)合A+B=g,解得8=9

36

TTjr

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以一<。<兀,0<3<一,

22

而sinB=-cosC=sin^C--|-^,

所以C=5+B,即有A=］_28,所以

匚口、Ia2+b2sin2A+sin2Bcos22B+1-cos2B

所以一z—=---------Z----------=---------------Z------------

c2sin2Ccos2B

(2cos2B-l)H-l-cos2B

=4COS2B+^—-5>2A/8-5=4>/2-5-

cos2BCOS2B

當(dāng)且僅當(dāng)cos?B時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為40一5.

0（2。22?全國甲卷?高考真題）已知VMC中,點(diǎn)。在邊BC上,加—。。，仞=2（0=22〉當(dāng)法

取得最小值時(shí)，BD=

【答案】V3-1/-1+V3

AC2

【分析】設(shè)CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出結(jié)合基本不等式即可得解.

AB2

【詳解】［方法一］:余弦定理

^CD=2BD=2m>0,

222

則在AABD中，AB^BD+AD-2BD-ADcosZADB=W+4+21n,

在AACD中，AC2=CD-+AD2-2CD-ADcosZADC=4/n2+4-4m,

(〃2〃(〃

AC24m2+4-4m4z+4+2z)-12l+z)12

7=4-

所以至-m2+4+2〃Zm2+4+2m3

(m+l)+

m+1

12

>4-——.=4-2A/3

3

2(加+1〉

m+1

3廠

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)+1=—；即加=百-1時(shí)，等號(hào)成立,

m+1

AT

所以當(dāng)而取最小值時(shí)，加地-L

故答案為：6-1.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,百)，B(-t,0)

2(『+產(chǎn)

_AC_2fl3_4-4f+4=4--------12>4-273

2

.IF二(?+1)+3/+2/+4a+i)+——

I7t+1

當(dāng)且僅當(dāng)f+1=若，即BD=若-1時(shí)等號(hào)成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2x.4°

27?/.2c+b=12+6x,

b=4A+4%-4x

c2=x2+4+2x..)

2a?「.2c+b=12+6x,

b=4A+4%—4x

令/則2—+6/，

12+6尤212+6公

/.t2+2==6>6-2>/3,

，x?+2%+4(x+l)+^—

')x+\)

r2>4-273,

當(dāng)且僅當(dāng)％+l=——，即x=g-1時(shí)等號(hào)成立.

X+1

［方法四］:判別式法

設(shè)則CD=2x

221

在△ABD中，AB-=BD+AD-2BDADCOSZADB=X+4+2X,

在AACD中，AC2=：CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x,

mi、iAC~4x~+4-4x1+4—4尤

AB~x~+4+2xx~+4+2x

貝|］（4_/）彳2_（4+2。尤+（4_4）=0

由方程有解得：A=（4+2f）2-4（4—）（4-4。20

即$_8/+440,解得：4-2y/3<t<4+2^3

所以，min=4-2&,此時(shí)--=V3—1

4-Z

所以當(dāng)—取最小值時(shí)，x=y/3-l,即80=道-1.

AB

15.(2023?新課標(biāo)I卷?高考真題)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸到無軸的距離等于點(diǎn)尸到點(diǎn)的距離，記

動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為W.

⑴求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3g.

【答案】(Dy=f+!

4

(2)見解析

【分析】(1)設(shè)尸(x,y),根據(jù)題意歹U出方程x'+Jj-g：=y2,化簡即可；

(2)法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)A1”,/+jl/Z/+—^,C^c,c2+—^,J=La<Z?<c,分別令左鉆=。+6=機(jī)<°，

kBC=b+c=n>0,=利用放縮法得;八,+，設(shè)函數(shù)/⑴=(l+f),利用

導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得C的最小值，再排除邊界值即可.

法二：設(shè)直線A3的方程為了=左。-°)+/+1，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得

4

四川叫,利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊界值即可?

法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.

【詳解】(1)設(shè)尸(…則回小+,兩邊同平方化簡得—+：，

故W:y=/+_.

4

(2)法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)4,片+；|,8,萬+；j在卬上,且〃<b<c,易知矩形四條邊

所在直線的斜率均存在，且不為0,

12

nrl,,,,?,人b+--{a+^\

則LKc=T，a+)<°<b+c,令，4I4)

鼬=b-a=a+b=m<0'

同理令=5+o=〃〉0，且〃m=_],貝！]帆=_L，

n

1

設(shè)矩形周長為c,由對(duì)稱性不妨設(shè)1加以〃|,k-k=c--a-n-m=n+—,

BCABn

則gC=|A31+1BC\=3-〃)Jl+m2+(c-Z?)Vl+n2>(c-cz）Jl+/=]〃+—sjl+n2,易知（〃+工）Jl+十2>0

則令/(x)=[x+J(1+%2),%>0,/'(%)=+12x—1

令廣(x)=。，解得人e,

2

當(dāng)o,3時(shí)，/v)<o,此時(shí)/(%)單調(diào)遞減，

(版〕

當(dāng)xe學(xué),1,r(x)>0,此時(shí)/(x)單調(diào)遞增，

'5、27

貝廳(4=/曰=—,

\7

故;C2忖=￥，即023后?

當(dāng)C=3坦時(shí),n=-^,m=-應(yīng)，且(?！猘)Jl+療=(6—a)Jl+〃2，即機(jī)=〃時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故C>3g,

得證.

法二：不妨設(shè)A,8,Z>在卬上，且

依題意可設(shè)4^，/+；］,易知直線54,DA的斜率均存在且不為0,

則設(shè)54,04的斜率分別為左和"，由對(duì)稱性，不妨設(shè)閥W1,

K

直線AB的方程為1—“)+/+；'

y=x2+—

4,

則聯(lián)立1f—kx+kct—/=0,

y—k(x—a)+/—

A=—a?)=(k—2a)>0,則上w2a

貝U|AB|=J1+左2|表—2〃|,

2m+2

令k=m,則根￡(0,1],f(m)=^^=m+3m+—+3,

mm

則/⑺)=2加+3-3=Q*1吵+1f,令/'(加)=0,解得機(jī)=:，

mm2

當(dāng)機(jī)e(0,g1時(shí)，f'(jn)<0,此時(shí)八》單調(diào)遞減,

當(dāng)《ie，,+co],f'（m）>0,此時(shí)/（相）單調(diào)遞增,

27

則f<Mnin=fI

AB\+\AD\>—,

2

2a>y]l+k2[\k-2a\+^-+2a,此處取等條件為k=l,與最終取等時(shí)k=交

但Jl+獷|左-2al+1+

VF2

不一致,故I明+|回>苧.

法三：為了計(jì)算方便，我們將拋物線向下移動(dòng):個(gè)單位得拋物線W'：y=Y,

矩形ABCD變換為矩形A'B'C'D,則問題等價(jià)于矩形AB'C'D的周長大于3石.

設(shè)百0。,書,A't片）,?！?方），根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)fgO.

則=%=。+%,由于ArBr±B'C,則(4+?0)(%2+/o)=-L

由1|A8|=J1+(1+辦)/1-01J?C|=J1+(/?+/(；)\t2—/0|,且%介于「山之間,

則|AB|+|BC|=^1+(/1+/0),1To|+Jl+?2+。)12Toi?令12+務(wù)=tan0,

+"o=—cot/6￡[0,5，貝1)4=tane_，o,4=_cote_",從而

，，22

|AB|+|BC|=Vl+cot0(2z0+cot8)+A/1+tan0(tan3-2tQ^

sin6cos6_(cos8-sin8)sin3+cos30

故邛+但。]=21011

sin0cos0cos20sin20sin8cos0sin2^cos20

①當(dāng)時(shí),

izii、sin3^+cos30sin6cos6、八/1八/2

AB\+\BC\>------------=——+—廠之21-------------=2j---------

???sin2^cos20cos20sin26vsincos\sin20

兀71

②當(dāng)6>G時(shí)，由于:<才0<方2,從而_cotg_"<tan6_0,

452

,,,cot6胃又f?！?/p>

從而———<^0<

M八,〃tan。,I,,|I,,i2z(cos^-sin0)sin30+cos30

故0W辦<一,由此rlAB\+\BC\=-^n-----------+-,----.一

2?1I?sincossin2^cos20

sin6(cos0-sin6)(sin0cos6)sin3+cos30_1cos0

sin2^cos30sin2^cos20cos。sin20

22

sin2^sin20-2cos201-cos2^^1-cos26).2cos20

3G

>2

-cos26)+(1-cos26)+2cos20F

3

,同時(shí)為了簡便運(yùn)

考點(diǎn)06解不含參數(shù)的一元二次不等式

16.(2024?上海?高考真題)已知xeR,則不等式三一2了-3<0的解集為.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程V-2x-3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程d-2x-3=0的解為x=—l或尤=3,

故不等式f-2x-3<0的解集為{x[—l<x<3},

故答案為：{x[—l<x<3}.

17.(2023?新課標(biāo)I卷?高考真題)已知集合”={—2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6>o},則()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)?={#2-無一6叫=(-8,-2]“3,+。)，而"={—2,-1,0,1,2},

所以M「N={-2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)椤?{-2,-1,0,1,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式/一》_620,只有-2使不等式成立，所以

MP|N={-2}.

故選：C.

18.(2021?上海?高考真題)已知集合A={*2-X_2K)},1={小>-1},則()

A.AQBB.如gRBC.AHB=</>D.A^B=R

【答案】D

【分析】先求解集合A中不等式，計(jì)算僚1,RB,依次判斷即可

【詳解】由題意，A=[x\x2-x-2>0]={%|(%-2)(%+1)>0}={%|%>2^x<-1}

:.dRA=[x\-l<x<2]

由B={x|x>-1}/.^B={x|x<-1}

.,.A,8和翩，遇不存在包含關(guān)系，Ar\B={x\x>2],A\jB=R

故選：D

19.(2021?新高考全國II卷?高考真題)記S”是公差不為0的等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和，若%=S5,%%=S,.

(1)求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式。“；

(2)求使5“>見成立的"的最小值.

【答案】⑴%=2"-6；(2)7.

【分析】(1)由題意首先求得的的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】⑴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：$5=5%,貝IJ：a3=5a3,:.a3=0,

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有：/%=(%—/)(%+1)=—『，

S4=%+。)+%+%=(%—2d)+(q—d)+q+(%+d)——2d,

從而：-d2=-2d>由于公差不為零，故：d=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=%+(〃-3)1=2〃-6.

⑵由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：/=2-6=-4,貝IJ：S"=〃x(-4)+"：T)x2=1一5”,

則不等式即：n2-5n>2n-6,整理可得:(〃—1)(〃一6)>0,

解得：或〃>6,又〃為正整數(shù)，故〃的最小值為7.

【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)

列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.

考點(diǎn)07分式不等式

20.(2025?上海?高考真題)不等式土二<。的解集為_______-

x-3

【答案】(1,3)

【分析】轉(zhuǎn)化為一元二次不等式(x-l)(x-3)<0,解出即可.

【詳解】原不等式轉(zhuǎn)化為3)<0,解得l<x<3,

則其解集為(1,3).

故答案為：(1,3).

21.(2025?全國二卷?高考真題)不等式2的解集是()

x-1

A.{x\-2<x<l]B.{x\x<-2}

C.{x|-2<x<