2022-2023學年天津市河北區(qū)九年級上學期數(shù)學期中試卷及答案一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在平面直角坐標系中，與點（4，﹣5）關于原點對稱的點的坐標是（）A.（﹣4，﹣5） B.（﹣4，5） C.（4，﹣5） D.（4，5）【答案】B【解析】【分析】利用兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（-x，-y），進而得出答案．【詳解】解：點（4，﹣5）關于原點對稱點的坐標為：（﹣4，5）．故選B．【點睛】此題主要考查了關于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握關于原點對稱點的性質(zhì)是解題關鍵．2.下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．【詳解】解：選項A、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；故選：B．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是找出對稱中心．3.已知的半徑為，點到圓心的距離為，則點和的位置關系是（）A.點在圓內(nèi) B.點在圓上 C.點在圓外 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點與圓心的距離與半徑的關系進行判斷.【詳解】解：∵點到圓心的距離＞半徑，即OP＞r，∴點P在圓外．故選C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內(nèi)．4.已知點，，在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，開口向下，對稱軸為，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，與點對稱，進而根據(jù)當時，隨的增大而減小進行判斷即可．【詳解】二次函數(shù)的圖象，開口向下，對稱軸，與點對稱，當時，隨的增大而減小，，，．故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)是解題的關鍵．5.拋物線的頂點坐標是（）A.（1,2） B.（-1,2） C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線解析式整理后，化為頂點形式，即可找出頂點坐標．【詳解】解：拋物線==則拋物線的頂點坐標為：【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，將拋物線解析式化為頂點形式是解本題的關鍵．6.已知關于的方程，下列說法正確的是（）A.當時，方程無解B.當時，方程有一個實數(shù)解C.當時，方程有兩個相等的實數(shù)解D.當時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：當時，方程為一元一次方程有唯一解，．當時，方程為一元二次方程，解的情況由根的判別式確定：∵，∴當時，方程有兩個相等的實數(shù)解，當且時，方程有兩個不相等的實數(shù)解．綜上所述，說法C正確．故選：C．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，一元二次方程沒有實數(shù)根．7.某種品牌的手機經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由元降到了元，設平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意“經(jīng)過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由元降到了元”列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：設平均每月降低的百分率為x，根據(jù)題意列出的方程是,故選：C【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．8.如圖，是的弦，交于點，點是上一點，，則的度數(shù)為（）．A.30° B.40° C.50° D.60°【答案】D【解析】【分析】由垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．【詳解】解：如圖，∵，∴．∵是的弦，交于點，∴．∴．故選D．【點睛】本題考查垂徑定理，解題關鍵證明.9.正方形ABCD在坐標系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，B點的坐標為（）A.（－2，2） B.（4，1） C.（3，1） D.（4，0）【答案】D【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，寫出點B對應點的坐標即可得解．如圖，點B的對應點B′的坐標為（4，0）．考點：1.坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；2.正方形的性質(zhì)．10.二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表：x…012…n且當時，與其對應的函數(shù)值．有下列結論：①；②和3是關于x的方程的兩個根；③．其中，錯誤結論的個數(shù)是（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】利用待定系數(shù)法將點，代入解析式求出，，再結合二次函數(shù)圖象與已知信息當時，得出，進而判斷①結論；根據(jù)二次函數(shù)對稱軸由二次函數(shù)的軸對稱性進而判斷②結論；利用待定系數(shù)法將點，代入解析式得出，結合的范圍，判斷③結論．【詳解】二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，），當時，，當時，，．當時，其對應的函數(shù)值，二次函數(shù)開口向下，．，，，．①結論符合題意；時，，是關于x的方程的根．對稱軸，和3是關于x的方程的兩個根．②結論符合題意；∵∴二次函數(shù)解析式：∵當時，與其對應的函數(shù)值．∴，∴；∵當和時的函數(shù)值分別為和，∴，∴；故③錯誤正確的結論有2個．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)與一元二次方程等知識點，要會利用數(shù)形結合的思想，根據(jù)給定自變量與函數(shù)值的值結合二次函數(shù)的性質(zhì)逐條分析給定的結論是關鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．11.把二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是_____．【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．【解析】【分析】根據(jù)題意利用配方法加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可．【詳解】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1故答案為：y＝（x﹣2）2﹣1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的一般式化為頂點式，注意掌握二次函數(shù)的解析式有三種形式：一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；頂點式：y=a（x-h）2+k；交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）．12.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝135°，則∠AOC的度數(shù)為_____．【答案】##90度【解析】【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)先求得∠D的度數(shù)，然后依據(jù)圓周角定理求解即可.【詳解】∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，故答案為90°.【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的基本性質(zhì)以及圓周角定理.13.已知△ABC的三條邊長分別為6cm，8cm，10cm，則這個三角形的外接圓的面積為__________cm2．（結果用含的代數(shù)式表示）【答案】25π【解析】【詳解】試題分析：此三角形是直角三角形，則外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊10cm,故外接圓半徑為5cm,所以面積是25πcm2．14.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點．若點A的坐標為(－2，0)，拋物線的對稱軸為直線x＝2，則線段AB的長為___________．【答案】8【解析】【分析】由拋物線的對稱性可知點B的坐標（6，0），從而可求得AB的長．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A，B兩點．拋物線的對稱軸為x=2，∴點A與點B關于x=2對稱．∴點B的坐標為（6，0）．∴AB=8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對稱性求得點B的坐標是解題的關鍵．15.當2≤x≤5時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值為_____．【答案】1．【解析】【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出2≤x≤5時的增減性，然后再找最大值即可.【詳解】對稱軸為∵a＝﹣1＜0，∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，∴當x＝2時，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)在一定范圍內(nèi)的最大值，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵.16.如圖，⊙O的弦BC長為8，點A是⊙O上一動點，且∠BAC=45°，點D，E分別是BC，AB的中點，則DE長的最大值是_____．【答案】4【解析】【分析】當AC是直徑時，DE最長，求出直徑即可解決問題．【詳解】當AC是直徑時，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴AB＝BC＝8，∴AC＝=8，∵AE＝EB，BD＝DC，∴DE＝AC＝4．故答案為：4．【點睛】本題考查三角形中位線性質(zhì)、圓的有關性質(zhì)，解題的關鍵是靈活應用三角形中位定理識解決問題，屬于中考?？碱}型．17.如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到連接，則的長為_______．【答案】【解析】【分析】連結CC′，A′C交BC于O點，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，則可判斷△BCC′為等邊三角形，接著利用線段垂直平分線定理的逆定理說明A′C垂直平分BC'，則，然后利用勾股定理計算出A′O，CO，即可求解．【詳解】解：連結交于點，如圖繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，為等邊三角形，而垂直平分在中，在中，故答案為：【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是證明△BCC′為等邊三角形和A′C⊥BC′．18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，ABC的頂點A在格點上，B是小正方形邊的中點，經(jīng)過點A，B的圓的圓心在邊AC上．（1）弦AB的長等于_____；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，找出經(jīng)過點A，B的圓的圓心O，并簡要說明點O的位置是如何找到的（不要求證明）_____．【答案】①.②.90°的圓周角所對的弦是直徑【解析】【分析】（1）由勾股定理即可得出答案；（2）取圓與網(wǎng)格線的交點D、E，連接DE交AC于O，點O即為經(jīng)過出點A，B的圓的圓心；由圓周角定理即可得出結論．【詳解】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝；故答案為：；（2）如圖試所示：取圓與網(wǎng)格線的交點D、E，連接DE交AC于O，點O即為經(jīng)過出點A，B的圓的圓心；理由如下：∵∠EAD＝90°，∴DE為圓O的直徑，∵經(jīng)過點A，B圓的圓心在邊AC上，∴DE與AC的交點即為點O；故答案為：90°的圓周角所對的弦是直徑．【點睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理；熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解題的關鍵．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）19.解方程:.【答案】x1=，x2=【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式，即可求解．【詳解】解:∵，∴.∴x=，∴x1=，x2=．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握求根公式，是解題的關鍵．20.二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表：x…-2-1012…y…m0-3-4-3…（Ⅰ）求這個二次函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求m的值；（Ⅲ）當時，求y的最值（最大值和最小值）及此時x的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）m=5；（Ⅲ）x=1時，y有最小值為-4，x=5時，y有最大值為12【解析】【分析】（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可（Ⅱ）直接將代入函數(shù)解析式即可求解（Ⅲ）利用表格中的數(shù)，在結合二次函數(shù)的增減性即可解答【詳解】解：（Ⅰ）設，將代入得，，解得，∴這個二次函數(shù)的解析式為．（Ⅱ）當時，．（Ⅲ）根據(jù)表格可知：函數(shù)的對稱軸為，在對稱軸左側(cè)隨的增大而減小，在對稱軸右側(cè)隨的增大而增大，自變量，當時，y有最小值為-4，當時，y有最大值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題關鍵．21.已知是的直徑，是的切線，切點為A，交的延長線于點D，連接，．（1）如圖①，求證：；（2）如圖②，，若E是上一點，求的大?。敬鸢浮浚?）見解析（2）【解析】【分析】（1）先由切線和直徑的性質(zhì)推導得出，，即，，再由同角的余角相等即可得出結論；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)推導出，由及三角形內(nèi)角和定理，可求出，最后由同圓中，同弧所對的圓周角相等，可得的度數(shù)．【小問1詳解】證明：∵AD是的切線，切點為A，∴，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴．【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的相關性質(zhì)，圓周角定理，綜合運用以上幾何性質(zhì)推導角的數(shù)量關系是解題的關鍵．22.某商品的進價為每件20元，售價為每件30元，每月可賣出180件，如果該商品計劃漲價銷售，但每件售價不能高于35元，設每件商品的售價上漲x元(x為整數(shù))時，月銷售利潤為y元.(1)分析數(shù)量關系填表：每臺售價(元)303132……30+x月銷售量(件)180170160……_____(2)求y與x之間的函數(shù)解析式和x的取值范圍(3)當售價x(元/件)定為多少時，商場每月銷售這種商品所獲得的利潤y(元)最大？最大利潤是多少？【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x為整數(shù))；(3)每件商品的售價為34元時，商品的利潤最大，為1960元.【解析】【分析】(1)由數(shù)量關系表可知當每件商品的售價每上漲1元時，則月銷售量減少10件，由此填空即可；(2)由銷售利潤＝每件商品的利潤×(180﹣10×上漲的錢數(shù))可得函數(shù)解析式，根據(jù)每件售價不能高于35元，可得自變量的取值范圍；(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.【詳解】解：(1)由表格可得：當每件商品的售價每上漲1元時，則月銷售量減少10件，所以當每件商品的售價上漲x元(x為整數(shù))時，月銷售量為180﹣10x，故答案為180﹣10x；(2)由題意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x為整數(shù))；(3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x為整數(shù)).∵﹣10＜0，∴當x＝＝4時，y最大＝1960元；∴當每件商品的售價為34元時，商場每月銷售這種商品所獲得的利潤最大，為1960元.【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x＝時取得.23.如圖1，在平面直角坐標系中，A（3，0），B（0，3），將Rt△AOB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到Rt△DCB．（1）求AB的長；（2）當旋轉(zhuǎn)角α＝20°時，如圖1，AB與CD交于點F，求∠BFC的度數(shù)；（3）當旋轉(zhuǎn)角α＝60°時，如圖2，連接OD，求OD的長．【答案】（1）；（2）65°；（3）【解析】【分析】（1）利用勾股定理，即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠D=∠OAB=45°，∠ABD=20°，即可求解；（3）連接AD，OC，設AB與OD交于點M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△ABD是等邊三角形，從而得到，然后設D（x，y），可得x=y，從而得到∠AOD=45°，進而得到AB⊥OD，從而，再由勾股定理，可求出DM，即可求解．【詳解】解：（1）∵A（3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，在中，由勾股定理得：；（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠ABO=45°，∵將Rt△AOB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α得到Rt△DCB，α＝20°，∴∠D=∠OAB=45°，∠ABD=20°，∴∠BFC=∠D+∠ABD=45°+20°=65°；（3）如圖，過點D作DN⊥x軸于點N，連接AD，OC，設AB與OD交于點M，∵將Rt△AOB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到Rt△DCB，∴∠OBC=∠ABD=60°，AB=BD，BC=OB，∴△ABD是等邊三角形，∴，設D（x，y），∴，，∴，解得：x=y，∴D（x，x），∴，∴∠AOD=45°，∵∠OAB=45°，∴∠AMO=90°，即AB⊥OD，∵OA=OB，∴AM=BM=，∴，在中，由勾股定理得：，∴．【點睛】本題主要考查了圖形的變換——旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．24.如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點，，交