3.2

函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)清單破3.2.1

單調(diào)性與最大(小)值

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D,如果?x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減

增函數(shù)減函數(shù)圖象描述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的單調(diào)區(qū)間函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)時(shí),區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間

函數(shù)的最大(小)值一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:?x∈D,都有f(x)≤(≥)M,?x0∈

D,使得f(x0)=M,那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大(小)值.知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)辨析1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間I上存在兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2),能否判定f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增?2.已知f(x)的定義域?yàn)镈,若?x∈D,都有f(x)≤M,則M一定是函數(shù)f(x)的最大值嗎?3.若f(x)是定義在R上的減函數(shù),能否得到f(-3)>f(2)?4.函數(shù)f(x)=

在(-∞,0)以及(0,+∞)上均單調(diào)遞減,能否得到f(x)是減函數(shù)?一語(yǔ)破的1.不能.x1,x2必須是區(qū)間I上的任意變量.2.不一定.還需要滿足?x0∈D,使得f(x0)=M,才能說(shuō)M是f(x)的最大值.3.能.4.不能.如f(-1)=-1<f(1)=1.定點(diǎn)1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵能力定點(diǎn)破1.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(1)圖象法:根據(jù)函數(shù)圖象的升降情況進(jìn)行判斷.(2)直接法:運(yùn)用已知結(jié)論,直接得到函數(shù)的單調(diào)性,如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單

調(diào)性均可直接得出.y=f(x)y=g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)增增增不確定增減不確定增減減減不確定減增不確定減(3)性質(zhì)法:①f(x),g(x)在公共區(qū)間上的單調(diào)性如下:②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷依據(jù)如下:由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合,得到函數(shù)y=f(g(x)),其單調(diào)性如下:u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”,即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)單調(diào)遞增,相異

時(shí)單調(diào)遞減.注意函數(shù)的定義域.2.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值:任取所給區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)值x1,x2,且x1<x2;(2)作差、變形:計(jì)算f(x1)-f(x2),并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段,轉(zhuǎn)化為易判斷

正負(fù)的關(guān)系式;(3)判斷符號(hào):確定f(x1)-f(x2)的符號(hào);(4)下結(jié)論:根據(jù)f(x1)-f(x2)的符號(hào)與增函數(shù)、減函數(shù)的定義確定單調(diào)性.典例(1)已知函數(shù)f(x)=

,判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義加以證明;(2)已知函數(shù)f(x)=x+

(a≠0),①判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;②畫出a>0時(shí)f(x)的大致圖象.解析

(1)f(x)=

在(1,+∞)上單調(diào)遞減.證明:?x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

-

=

,由x1,x2∈(1,+∞),得x1>1,x2>1,所以

-1>0,

-1>0,x1+x2>0.又x1<x2,所以x2-x1>0,故

>0,即f(x1)>f(x2).因此,f(x)=

在(1,+∞)上單調(diào)遞減.(2)①任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1+

-x2-

=(x1-x2)-

=(x1-x2)·

,易知x1-x2<0,x1x2>0.當(dāng)a<0時(shí),x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時(shí),若x1<x2≤

,則x1x2-a<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),若

≤x1<x2,則x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,

)上單調(diào)遞減,在(

,+∞)上單調(diào)遞增.②易得a>0時(shí),f(x)在(-∞,-

)上單調(diào)遞增,在(-

,0)上單調(diào)遞減.因此,a>0時(shí),f(x)的大致圖象如圖:

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用?1.利用函數(shù)的單調(diào)性求解最大(小)值若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則函數(shù)f(x)在x=a處取得最小(大)值f(a),在x=b處取

得最大(小)值f(b).若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減(增),在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增(減),則函數(shù)f(x)在x=b處取得最

小(大)值f(b).2.利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式主要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì),將符號(hào)“f”脫掉,列出

關(guān)于未知量的不等式(組),然后求解,此時(shí)注意函數(shù)的定義域.定點(diǎn)23.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍(1)利用單調(diào)性的定義:在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求參數(shù)的取值范圍.(2)利用具體函數(shù)本身所具有的特征:如二次函數(shù)的圖象被對(duì)稱軸一分為二,可根據(jù)對(duì)稱軸相

對(duì)于所給單調(diào)區(qū)間的位置建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組),解不等式(組),求出參數(shù)的取值范圍.注意:①若某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單

調(diào)的.②對(duì)于定義域上單調(diào)的分段函數(shù)求參問(wèn)題,一般從兩方面考慮:一方面考慮每個(gè)分段區(qū)間上

函數(shù)具有相同的單調(diào)性,由此列出相關(guān)式子;另一方面要考慮分界點(diǎn)處函數(shù)值之間的大小關(guān)

系,由此列出另外的式子,從而解得參數(shù)的取值范圍.典例1(1)已知f(x)在定義域[-1,1]上單調(diào)遞增,且f(t-2)<f(1-t),則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

;(2)若函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

;(3)若函數(shù)f(x)=

是R上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.(-∞,-4][-2,0)解析

(1)由題意脫掉“f”得

解得1≤t<

,故實(shí)數(shù)t的取值范圍為

.(2)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其圖象開口向下,對(duì)稱軸方程為x=-a-1,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a-1].若f(x)在(-∞,3]上單調(diào)遞增,則3≤-a-1,解得a≤-4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-4].(3)因?yàn)閒(x)=

是定義在R上的減函數(shù),所以

解得-2≤a<0.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,0).典例2已知函數(shù)f(x)=

,x∈[1,+∞),求下列條件下的f(x)的最小值.(1)a=4;(2)a=

;(3)a為正數(shù).解析

(1)解法一:當(dāng)a=4時(shí),f(x)=x+

+2,∵x≥1,∴x+

+2≥2

+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),故f(x)min=6.解法二:當(dāng)a=4時(shí),f(x)=x+

+2.易知f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)min=f(2)=6.(2)當(dāng)a=

時(shí),f(x)=x+

+2,易知f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)min=f(1)=

.(3)f(x)=

=x+

+2(a>0),易知f(x)在(0,

]上單調(diào)遞減,在[

,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)

>1,即a>1時(shí),f(x)在[1,

]上單調(diào)遞減,在[

,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)min=f(

)=2

+2.當(dāng)

≤1,即0<a≤1時(shí),f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)min=f(1)=a+3.

含參數(shù)的二次函數(shù)在某閉區(qū)間上的最大(小)值

1.解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題,首先將二次函數(shù)化為y=a(x-h)2+k的形式,再由a的符號(hào)

確定其圖象的開口方向,根據(jù)對(duì)稱軸方程x=h得出頂點(diǎn)的位置,再根據(jù)函數(shù)的定義域結(jié)合大致

圖象確定最大(小)值.2.對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題,一般有下列幾種類型:(1)區(qū)間固定,對(duì)稱軸變動(dòng),求最大

(小)值;(2)對(duì)稱軸固定,區(qū)間變動(dòng),求最大(小)值;(3)最大(小)值固定,區(qū)間或?qū)ΨQ軸變動(dòng),求參數(shù).求解時(shí)通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論.定點(diǎn)3典例求函數(shù)f(x)=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).解析

由已知得f(x)=(x-a)2-1-a2,其圖象的對(duì)稱軸為直線x=a.(1)當(dāng)a≤0時(shí),由圖①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.

圖①圖②(2)當(dāng)0<a≤1時(shí),由圖②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2