1.一元二次不等式只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.一般形式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均為常數(shù),且a≠0).2.一元二次不等式的解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值叫做一元二次不等式的解,所有的解所組成的集合

叫做一元二次不等式的解集.2.3

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式知識點1

一元二次不等式知識清單破

三個“二次”的關(guān)系三個“二次”(二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的關(guān)系知識點2Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根

x1=x2=-

沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1,或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識辨析1.如何用函數(shù)y=x2-x-6的圖象和方程x2-x-6=0的根得到不等式x2-x-6>0的解集?x2-x-6<0的解集

呢?2.

<0如何求解?

≤0的解集是什么?

<2又如何求解呢?3.一元二次不等式ax2+x+1>0恒成立時,實數(shù)a的取值范圍是什么?一語破的1.解x2-x-6=0得x=-2或x=3.函數(shù)y=x2-x-6的圖象如圖所示,所以不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}(即y>0對應(yīng)的x的范圍),不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2<x<3}.2.

<0即(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,故不等式的解集為{x|1<x<2};

≤0的解集為{x|1≤x<2};將

<2移項、通分,整理得

>0,即(x-2)(x-3)>0,所以x>3或x<2,故不等式的解集為{x|x>3或x<2}.3.一元二次不等式ax2+x+1>0恒成立?二次函數(shù)y=ax2+x+1的圖象恒在x軸上方(開口向上,與x軸無交點),因此

解得a>

.定點1一元二次不等式的解法關(guān)鍵能力定點破1.解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn):通過對不等式的變形,使不等式右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正.(2)研方程:對不等式左側(cè)因式分解,若不易分解,則計算對應(yīng)方程的判別式.(3)求實根:求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.(4)畫草圖:根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫解集:根據(jù)圖象寫出不等式的解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式一般要進(jìn)行分類討論:典例解關(guān)于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.解析

(1)當(dāng)a=0時,原不等式為一元一次不等式,即-2x+4>0,所以x<2.(2)當(dāng)a<0時,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判別式Δ=4(a-1)2>0,兩根分別為x1=2,x2=

,且

<2,所以不等式ax2-2(a+1)x+4>0的解集為

.(3)當(dāng)a>0時,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判別式Δ=4(a-1)2≥0,兩根分別為x1=2,x2=

.①若

<2,則a>1,不等式的解集為

x

x<

或x>2

;②若

>2,則0<a<1,不等式的解集為

x

x<2或x>

;③若

=2,則a=1,不等式的解集為{x|x≠2}.綜上所述,當(dāng)a=0時,不等式的解集為{x|x<2};當(dāng)a<0時,不等式的解集為

;當(dāng)a>1時,不等式的解集為

;當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為

x

x<2或x>

;當(dāng)a=1時,不等式的解集為{x|x≠2}.

三個“二次”之間的關(guān)系

1.以一元二次不等式的解集為條件的問題的解法(1)解集的形式確定二次項系數(shù)的符號;(2)解集的端點值對應(yīng)一元二次方程的根,由根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.2.一元二次方程根的分布問題的解法(1)兩根分別在兩個范圍內(nèi),作出對應(yīng)函數(shù)的圖象,由相應(yīng)函數(shù)值的符號列不等式(組)求解;(2)兩根在同一范圍內(nèi),作出對應(yīng)函數(shù)的圖象,由判別式、相應(yīng)函數(shù)值的符號、對稱軸在該范

圍內(nèi)列不等式(組)求解.定點2典例已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為

x

x<-2或x>-

,求不等式ax2-bx+c<0的解集.解析

由題設(shè)知-2,-

是方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根,且a<0,∴

即

∴不等式ax2-bx+c<0即ax2-

ax+a<0,又a<0,∴x2-

x+1>0,即2x2-5x+2>0,解得x<

或x>2,故所求不等式的解集為

x

x<

或x>2

.

一元二次不等式恒(能)成立問題?解決一元二次不等式的恒(能)成立問題的方法定點3不等式ax2+bx+c>0(a≠0)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立

能成立

a>0或

a<0或說明:一元二次不等式在某范圍內(nèi)恒成立問題,可通過分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題

求解,一般地,已知范圍的是變量,待求范圍的是參數(shù).典例(1)若關(guān)于x的不等式(k2+4k-5)·x2+4(1-k)x+3>0恒成立,則實數(shù)k的取值范圍為

(

)A.1≤k<19

B.2≤k<18

C.0<k<20

D.-1<k<19(2)若關(guān)于x的不等式ax2-x+4a>0對任意x>2恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是

.a≥A解析

(1)由k2+4k-5=0得k=-5或k=1.當(dāng)k=-5時,不等式為24x+3>0,不恒成立;當(dāng)k=1時,不等式為

3>0,恒成立;當(dāng)k≠-5且k≠1時,易知不等式對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上,且與x軸無交點,

∴

解得1<k<19.綜上,k的取值范圍是1≤k<19.故選A.(2)不等式ax2-x+4a>0對任意x>2恒成立,即a>

對任意x>2恒成立.當(dāng)x>2時,

=

<

,∴a≥

.

一元二次不等式的實際應(yīng)用

解與一元二次不等式、基本不等式有關(guān)的應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造不等式或函數(shù)模型,選

擇其中起關(guān)鍵作用的未知量作為x,用x來表示其他未知量,根據(jù)題意列出不等關(guān)系或函數(shù)關(guān)

系,通過解不等式或利用基本不等式求最值得到實際問題的解.定點4典例某養(yǎng)殖公司欲將一批肉用冷藏汽車從甲地運(yùn)往相距120千米的乙地,運(yùn)費(fèi)為每小時60元,

裝卸費(fèi)為1000元,肉在運(yùn)輸途中的損耗費(fèi)(單位:元)是汽車速度(單位:千米/時)值的2倍.(說明:

運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用=運(yùn)費(fèi)+裝卸費(fèi)+損耗費(fèi))(1)若運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用不超過1260元,求汽車行駛速度值的范圍;(2)若要使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用最小,汽車應(yīng)以每小時多少千米的速度行駛?解析

(1)設(shè)汽車行駛的速度為x千米/時,運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用為y元,則y=

×60+1000+2x.令

×60+1000+2x≤1260,整理得x2-130x+3600≤0,解得40≤x≤90.∴若運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用不超過1260元,則汽車行駛速度值的范圍應(yīng)為{x|40≤x≤90}.(2)由(1)得y=

×60+1000+2x=2x+

+1000≥2

+1000=1240,當(dāng)且僅當(dāng)2x=

,即x=60時取等號,∴若要使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用最小,則汽車應(yīng)以每小時60千米的速度行駛.解題模板

解不等式應(yīng)用題,一般可按四步進(jìn)行:①審題,找出關(guān)鍵量和不等關(guān)系;②引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,用不等式表示不等關(guān)系;③解不等式;④回到實際問題.素養(yǎng)解讀三個“二次”中綜合問題解題思路的探究,以二次函數(shù)的圖象為幾何直觀,通過其開口

方向、對稱軸、端點函數(shù)值、對應(yīng)方程的判別式等,對相關(guān)一元二次方程(不等式)進(jìn)行定量

計算,進(jìn)而解決相關(guān)問題.學(xué)科素養(yǎng)情境破素養(yǎng)

通過三個“二次”問題培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng)典例呈現(xiàn)例題(多選)已知關(guān)于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,且a<b),下列結(jié)論正確的是

(

)A.該不等式的解集不可能為?B.該不等式的解集可能為{x|-8≤x≤-6或8≤x≤12}C.存在實數(shù)a,b,使得該不等式的解集為{x|m≤x≤n}(m<n)的形式D.存在唯一一對實數(shù)對(a,b),使得該不等式的解集為

CD解題思路

畫出二次函數(shù)y=x2-4x-6=(x-2)2-10的圖象,如圖①.

若b<-10,則不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為?,因此選項A錯誤.若a>-10,則結(jié)合圖②可知不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}的形式.

因為二次函數(shù)y=x2-4x-6的圖象的對稱軸為直線x=2,所以

=2,

=2.因為

=2,

=1≠2,因此選項B錯誤.若a≤-10,b>-10,則不等式a≤x2-4x-6≤b的解集為{x|m≤x≤n}(m<n)的形式,因此選項C正確.對于D,如圖③所示,

若不等式的解集為

,則a≤-10,b>-10,且方程x2-4x-6=b的兩根分別為

,b,故b2-4b-6=b,解得b=-1或b=6,又

<2<b,所以b=6.易得

+b=4,所以a=-12,滿足題意.因此a=-12,b=6,因此選項D正確.故選CD.直觀想象在高中數(shù)學(xué)中具有以下四個特性:一是經(jīng)驗性,如本題中函數(shù)y=x2-4x-6的圖象是拋

物線(如圖①),由最小值可判斷選項A、C是否正確;二是整體性,由函數(shù)圖象可得到性質(zhì),形成

清晰的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu),如由對稱性可以判斷選項B是否正確;三是邏輯性,直觀想象素養(yǎng)借助

幾何直觀體現(xiàn)事物的形態(tài)與變化,建立數(shù)與形的聯(lián)系,其必然表現(xiàn)出一定的邏輯性,在本題中,

解決選項D時,由函數(shù)的圖象得到一元二次方程的兩根,進(jìn)而解決一元二次不等式的解集問

題;四是預(yù)見性,直觀想象的結(jié)果通常會表現(xiàn)出新的突破,帶有極強(qiáng)的創(chuàng)造性,直接預(yù)測問題的

結(jié)論,如下面拓展中的問題.思維升華拓展問題已知關(guān)于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,a<b),是否存在實數(shù)a,當(dāng)b=a+1時,不

等式的解集為{x|m1≤x≤n1,或n2≤x≤m2}(m1<n1<n2<m2)的形式,且n1-m1=1?解析

由例題里圖②可知a>-10,當(dāng)b=a+1時,隨著a的增大,n1-m1的值越來越小,因此從求n1-m1

的最值入手.依題意得,x2-4x-6=a的兩根分別為n1,n2,x2-4x-6=a+1的兩