1.4

充分條件與必要條件知識點1

充分條件與必要條件知識清單破命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系由p可以推出q,記作p?q由p不能推出q,記作p?/q條件關(guān)系p是q的充分條件p不是q的充分條件q是p的必要條件q不是p的必要條件

充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作p

?q.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的充分必要條件,簡稱為充要條

件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果p?q,那么p與q互為充

要條件.知識點2知識辨析1.若p是q的充分條件,則p成立與q成立之間有什么關(guān)系?2.已知集合A={x|x滿足條件p},集合B={x|x滿足條件q},若p為q的充分條件,則集合A與B有什么

關(guān)系?3.數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學結(jié)論成立的什么條件?性質(zhì)定理呢?一語破的1.p成立可以充分保證q成立,但是q成立,p未必成立,q不成立,則p一定不成立.2.若p為q的充分條件,則x∈A?x∈B,即A?B.3.充分條件;必要條件.定點1充分條件、必要條件的判斷關(guān)鍵能力定點破充分、必要條件判斷的常用方法(1)定義法:直接利用定義進行判斷.(2)傳遞法:根據(jù)充要關(guān)系的傳遞性來判斷的方法叫傳遞法.充分條件具有傳遞性,若p1?p2?p3

?…?pn-1?pn,則p1?pn,即p1是pn的充分條件.必要條件也具有傳遞性,若p1?p2?p3?…?pn-1

?pn,則p1?pn,即p1是pn的必要條件.當然充要條件也具有傳遞性.(3)集合關(guān)系法:如果滿足條件p和結(jié)論q的元素構(gòu)成的集合分別為A和B,那么①A?B相當于p?q;②B?A相當于q?p;③A=B相當于p?q;④A?B相當于p?q,但q?/p;⑤B?A相當于q?p,但p?/q;⑥A?B且B?A相當于p?/q,且q?/p.(4)特殊值法:對于選擇題,可以取一些“特殊值”,用來說明由條件不能推出結(jié)論,判斷“不充

分”;由結(jié)論不能推出條件,判斷“不必要”.典例判斷下列各題中p是q的什么條件:(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;(2)p:|x|=|y|,q:x=y;(3)p:0<x<3,q:|x-1|<2;(4)p:一個四邊形是菱形,q:四邊形的對角線相等.思路點撥

判斷p是否能夠推出q(充分性),q是否能夠推出p(必要性).解析

(1)在△ABC中,由邊角關(guān)系知∠A>∠B?BC>AC,所以p是q的充要條件.(2)若|x|=|y|,則x=y或x=-y,因此p?/q,q?p,所以p是q的必要不充分條件.(3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2},則B={x|-1<x<3},易得A?B,所以p是q的充分不必要條件.(4)因為菱形的對角線不一定相等,對角線相等的四邊形也不一定是菱形,所以p是q的既不充分也不必要條件.

充分條件、必要條件的證明與探究

1.充要條件的證明方法(1)要證p是q的充要條件,需證兩方面:①充分性,即證p?q;②必要性,即證q?p.(2)證明充要條件也可以利用等價轉(zhuǎn)化法,即把條件和結(jié)論分別進行等價轉(zhuǎn)化.2.探求充分條件、必要條件的步驟(1)分清條件和結(jié)論,明確探求的方向;(2)分析題目中的條件,進行等價轉(zhuǎn)化,即可得到使結(jié)論成立的充要條件;(3)將得出的充要條件對應(yīng)的范圍擴大或縮小,即可得到使結(jié)論成立的必要不充分條件或充

分不必要條件.定點2典例求證方程ax2+2x+1=0有且只有一個負根的充要條件為a≤0.證明

設(shè)p:a≤0,q:方程ax2+2x+1=0有且只有一個負根.充分性(p?q):當a=0時,方程為2x+1=0,解得x=-

,方程只有一個負根;當a<0時,Δ=4(1-a)>0,方程有兩個不相等的根,又

<0,所以方程有一正一負兩個根.充分性成立.必要性(q?p):當a=0時,適合條件;當a≠0時,若方程ax2+2x+1=0有實根,則Δ=4(1-a)≥0,即a≤1,當a=1時,方程為x2+2x+1=0,得x