課時(shí)規(guī)范練A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝()A．2 B．3C．4 D．9解析：由4＝eq\r(25－m2)(m>0)?m＝3，故選B.答案：B2．方程kx2＋4y2＝4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．k>4 B．k＝4C．k<4 D．0<k<4解析：方程kx2＋4y2＝4k表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，即方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，可得0<k<4，故選D.答案：D3．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝eq\f(1,2)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)B.eqB.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2D.eqD.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選A.答案：A4．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率等于eq\f(1,3)，其焦點(diǎn)分別為A，B.C為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則在△ABC中，eq\f(sinA＋sinB,sinC)的值等于________．解析：在△ABC中，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(|CB|＋|CA|,|AB|)，因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(1,e)＝3.答案：35．(2018·沈陽模擬)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其中e＝eq\f(1,2)，焦距為2，過點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在A，M之間．又線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(4,7)，且eq\o(AM,\s\up10(→))＝λeq\o(MB,\s\up10(→)).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)求實(shí)數(shù)λ的值．解析：(1)由條件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意可知A，B，M三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)．若直線AB⊥x軸，則x1＝x2＝4，不合題意．則AB所在直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y＝k(x－4)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.①由①的判別式Δ＝322k4－4(4k2＋3)·(64k2－12)＝144(1－4k2)>0，解得k2<eq\f(1,4)，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(32k2,4k2＋3)，,x1x2＝\f(64k2－12,4k2＋3).))由eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(16k2,3＋4k2)＝eq\f(4,7)，可得k2＝eq\f(1,8)，將k2＝eq\f(1,8)代入方程①，得7x2－8x－8＝0.則x1＝eq\f(4－6\r(2),7)，x2＝eq\f(4＋6\r(2),7).又因?yàn)閑q\o(AM,\s\up10(→))＝(4－x1，－y1)，eq\o(MB,\s\up10(→))＝(x2－4，y2)，eq\o(AM,\s\up10(→))＝λeq\o(MB,\s\up10(→))，所以λ＝eq\f(4－x1,x2－4)，所以λ＝eq\f(－9－4\r(2),7).B組能力提升練1．若對(duì)任意k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(1,2] B．[1,2)C．[1,2)∪(2，＋∞) D．[1，＋∞)解析：聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得(2k2＋m)x2＋4kx＋2－2m＝0，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以Δ＝16k2－4(2k2＋m)(2－2m)≥0，即2k2＋m－1≥0恒成立，因?yàn)閗∈R，所以k2≥0，則m－1≥0，所以m≥1，又m≠2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,2)∪(2，＋答案：C2．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于eq\f(4,5)，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))B.eqB.\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))D.eqD.\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))解析：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離和為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝eq\f(|3×0－4×b|,\r(32＋－42))≥eq\f(4,5)，所以1≤b<2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(b2,4)).因?yàn)?≤b<2，所以0<e≤eq\f(\r(3),2).答案：A3．已知P(1,1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為________．解析：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k，弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).∴此弦所在的直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝04．已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝________.解析：根據(jù)已知條件畫出圖形，如圖．設(shè)MN的中點(diǎn)為P，F(xiàn)1、F2為橢圓C的焦點(diǎn)，連接PF1、PF2.顯然PF1是△MAN的中位線，PF2是△MBN的中位線，∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.答案：125．已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為eq\f(2\r(3),3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求E的方程．(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△POQ的面積最大時(shí)，求l的方程．解析：(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．將y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>eq\f(3,4)時(shí)，x1,2＝eq\f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1).從而|PQ|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，所以△OPQ的面積S△OPQ＝eq\f(1,2)d·|PQ|＝eq\f