專題03三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風箏模型、翻角模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風箏（鷹爪）、翻角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型拓展 5模型運用 6模型1.飛鏢（燕尾）模型 6模型2.鷹爪（風箏）模型 10模型3.翻角模型 14 16?燕尾模型（飛鏢模型）?因凹四邊形的外輪廓酷似燕尾分叉或飛鏢外形，教育工作者將其形象化命名以輔助記憶?。凹四邊形中，從頂點延伸的兩條邊如同燕尾分叉，而整體輪廓又像投擲的飛鏢，這種具象化命名幫助學生快速聯(lián)想圖形特征。部分資料戲稱其為“回旋鏢模型”，強調(diào)角度關(guān)系循環(huán)往復(fù)的特點。??鷹爪（?風箏）模型?強調(diào)圖形末端的尖銳角如同鷹爪抓握狀，更側(cè)重動態(tài)聯(lián)想。翻角模型是?動態(tài)幾何思想?與?靜態(tài)角度守恒?的結(jié)合，通過操作發(fā)現(xiàn)不變量的過程，深化了對三角形剛性結(jié)構(gòu)的理解。???普及高峰期（?2023–2025年），這些倒角模型被納入多地初中數(shù)學復(fù)習專題，配套口訣（如“見飛鏢，找四角”、“內(nèi)翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”??）廣泛傳播，這些模型將嚴謹?shù)膸缀畏▌t融入生活化的想象與口訣，讓數(shù)學推理像解謎游戲一樣充滿樂趣！【探究推理】方法一：如圖②，連結(jié)．（1）“方法一”主要依據(jù)的數(shù)學定理是；（2）根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出余下的推理過程．（2024·貴州貴陽·二模）綜合與實踐問題情境：在綜合與實踐課上，老師要求同學們以“折紙中的數(shù)學”為主題開展活動．證明：連接AC并延長至點P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。圖1圖2圖3圖4圖52）鷹爪模型：如圖2，結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠CAO+∠COA；∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。3）鷹爪模型（變形）：如圖2，結(jié)論：∠A+∠O=∠2∠1。證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠DAO+∠DOA；∴∠2∠1=∠DAO+∠DOA（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO∠BAO)+（∠DOA∠BOA）=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。條件：如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。條件：如圖5，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時，結(jié)論：2∠C=∠2∠1。證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠2∠1=∠FCC’+∠FC’C（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’∠ECC’)+（∠FC’C∠EC’C）=∠EC’F+∠FCE=2∠C。圖1圖2飛鏢模型拓展1：條件：如圖1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。證明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；根據(jù)飛鏢模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。飛鏢模型拓展2：條件：如圖2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D∠B）?！逜O平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB，∴∠DCO∠DAO=（∠DCB∠DAB）=（∠D+∠B），∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D∠O=∠DCO∠DAO，∴∠D∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D∠B）模型1.飛鏢（燕尾）模型“智慧小組”通過互學證明了這個結(jié)論：“創(chuàng)新小組”想出了另外一種方法方法二：如圖3，連接并延長至F，任務(wù)：(1)填空：“智慧小組”用的“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是______；(2)根據(jù)“創(chuàng)新小組”用的“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分．【答案】(1)三角形的內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和是180度）(2)見解析【詳解】（1）故答案為：三角形的內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和是180度）（2）證明：如圖3，連接并延長至F，例2（2425七年級下·江蘇宿遷·期末）【問題背景】研究了三角形內(nèi)角和定理及其推論后，觀察飛鏢可以抽象成圖①，我們把這個圖形形象地稱為“飛鏢模型”，飛鏢模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，探究、、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：（2）請利用上述結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：證明：如圖，連接，并延長至點，過點、作射線，例4（2425七年級下·江蘇鹽城·階段練習）實驗探究：（3）靈活應(yīng)用：請你直接利用以上結(jié)論，解決以下列問題：模型2.?鷹爪（?風箏）模型（1）【定理證明】

模型3.翻角模型【答案】BA． B． C． D．【答案】C請你按照小明的思路解決上述問題．[結(jié)論運用]如圖3中，延長交的延長線于．A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C2．（2425四川綿陽·八年級校考階段練習）如圖，四邊形ABCD中，、、分別為、、的外角判斷下列大小關(guān)系何者正確？（）【答案】A故選項A正確，符合題意；B不正確，不符合題意；故選項C不正確，不符合題意；選項D不正確，不符合題意．故選：A．A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【答案】C∵點在邊上，不固定，與不一定平行，故選項④不一定正確；綜上分析可知：正確的結(jié)論有②③．故選：C．A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【詳解】解：延長交于點H，如圖所示：A． B． C． D．【答案】B【答案】DA． B． C． D．【答案】BA． B． C． D．【答案】A【答案】/42度10．（2425湖北鄂州·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，三角形ABC中，試用平行線的知識證明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如圖2，將線段BC折斷成BDC的形狀，證明∠D＝∠A＋∠B＋∠C．【注意喲：可以直接用（1）中的結(jié)論進行證明，也可以用平行線的性質(zhì)證明】【答案】（1）見解析（2）見解析【詳解】（1）延長BC適當長度到點M，過點C作CNAB，則∠1=∠A，∠2=∠B，∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）連接BC，∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB，∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB，∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB，∴∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，即∠D＝∠A＋∠B＋∠C．11．（2425·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習）【問題情境】【拓展延伸】（1）如圖4，、的外角平分線相交于點P．理由：連接，延長到．12.（2425八年級上·山西晉中·期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．小麗的證法小紅的證法證明：任務(wù)：(1)小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學定理：______；(2)下列說法正確的是______．A．小麗的證法用嚴謹?shù)耐评碜C明了本題結(jié)論C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了本題結(jié)論【詳解】（1）解：小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，故答案為：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；小紅使用的是實驗的方法，不是從特殊到一般的證明方法，不管試驗幾次，證明方法都不嚴謹，故、錯誤；故選：；14.（2425七年級下·江蘇常州·階段練習）探究題（4）如下圖所示，過點