桑植縣賀龍中學集體備課電子教案高一年級數(shù)學備課組（總第課時）主備人：田露時間：年月日課題等差數(shù)列的性質(zhì)第課時教學目標1．知識與技能理解和掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，能選擇更方便快捷的解題方法，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．2．過程方法及能力培養(yǎng)學生觀察、歸納能力，在學習過程中體會類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般的思想并加深認識．3．情感態(tài)度與價值觀通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協(xié)作能力的培養(yǎng)，并引導學生從不同角度看問題，解決問題．教學重點理解等差中項的概念，等差數(shù)列的性質(zhì)，并用性質(zhì)解決一些相關(guān)問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系．教學難點加深對等差數(shù)列性質(zhì)的理解，學會研究問題的方法教學方法引導探究式教學方法教學過程：步驟、內(nèi)容、教學活動二次備課子數(shù)列的性質(zhì)【問題導思】已知等差數(shù)列{an}，取其奇數(shù)項組成一個新數(shù)列，則此數(shù)列是否為等差數(shù)列？若取偶數(shù)項呢？【提示】是等差數(shù)列，偶數(shù)項也是等差數(shù)列．從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列.等差數(shù)列的變形通項公式【問題導思】等差數(shù)列{an}中，任意兩項an與am有怎樣的關(guān)系？能否用它們求公差？(其中n>m，m，n∈N*)．【提示】an＝am＋(n－m)d，能，d＝eq\f(an－am,n－m).等差數(shù)列通項公式的變形公式：an＝am＋(n－m)d，d＝eq\f(an－am,n－m).“下標和”性質(zhì)【問題導思】看下面三個等差數(shù)列：(1)1,3,5,7,9,13，…(2)5,2，－1，－4，－7，－10，…(3)2,2,2,2,2,2，…1．你能計算出每個數(shù)列中a1＋a5與a2＋a4的值嗎？【提示】(1)a1＋a5＝10，a2＋a4＝10；(2)a1＋a5＝－2，a2＋a4＝－2；(3)a1＋a5＝4，a2＋a4＝4.2．各個數(shù)列中a1＋a5與a2＋a4的值有怎樣的數(shù)量關(guān)系？這種關(guān)系是巧合嗎？【提示】相等，不是巧合．3．如果換為a1＋a4與a2＋a3呢？【提示】仍然相等．(1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.(2)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝2t，則am＋an＝2at.(3)數(shù)列{an}是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ai＋1＋an－i＝….等差數(shù)列的“子數(shù)列”性質(zhì)的應(yīng)用已知{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.【思路探究】(1)通過已知條件能否列出關(guān)于a1，d的方程組，求得a1，d進而求出a75的值？(2)a15，a30，a45，a60，a75是否成等差數(shù)列？本例是等差數(shù)列“子數(shù)列”性質(zhì)中“等距抽取”問題，分析的關(guān)鍵在于新數(shù)列中的項是從原等差數(shù)列中“等距”抽取出來的，故仍成等差數(shù)列，但產(chǎn)生了新的公差．已知{an}、{bn}是兩個等差數(shù)列，其中a1＝3，b1＝－3，且a19－b19＝16，那么a10－b10的值為()(1)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a(2)設(shè){an}為等差數(shù)列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.【思路探究】(1)本題能用通項公式建立關(guān)于a1和d的方程組求解嗎？(2)你能否嘗試使用等差數(shù)列的“下標和”性質(zhì)解決？1．正確認識等差數(shù)列的“下標和”性質(zhì)：(1)此性質(zhì)是等差數(shù)列特有的性質(zhì)；(2)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，反之不成立；(3)命題結(jié)論等式的兩邊各有兩項，也可以推廣到三項、四項……，但等式兩邊和的項數(shù)必須相同．2．利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題可以大大簡化解題過程．在等差數(shù)列{an}中，(1)a1＋a3＋a5＝－1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a4>a2，求a5.已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數(shù)．【思路探究】可設(shè)首項與公差聯(lián)立方程組求解，也可以用等差數(shù)列的性質(zhì)，對稱的設(shè)出項，再用方程組求解．比較一下，你認為哪種方法更簡便？【自主解答】法一設(shè)這四個數(shù)分別為a，b，c，d，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a＝c－b＝d－c，,a＋b＋c＋d＝26，,bc＝40.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5，,c＝8，,d＝11，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝11，,b＝8，,c＝5，,d＝2，))∴這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.法二設(shè)此等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，,a1＋da1＋2d＝40，))化簡，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a\o\al(2,1)＋3a1d＋2d2＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－3，))∴這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.法三設(shè)這四個數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))化簡，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝±\f(3,2).))∴這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.1．對稱項設(shè)法(1)當?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為a，再以公差為d向兩邊分別設(shè)項，即：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d….(2)當?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項分別為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項，即…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d….2．本例用對稱項設(shè)法設(shè)出數(shù)列各項，在求和過程中能消去d，使解題變得簡捷．已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項和為18，前三項的乘積為66，求數(shù)列的通項公式，并判斷－34是不是該數(shù)列的項．等差數(shù)列性質(zhì)使用不正確致誤等差數(shù)列{an}中，已知a3＝2，a6＝5，求a9.【錯解】∵3＋6＝9，∴a9＝a3＋a6＝2＋5＝7.【錯因分析】性質(zhì)am＋an＝ap＋aq中必須是兩項相加等于兩項相加，并不是下標和相等即相等．【防范措施】使用性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq”時，一定注意結(jié)論中等式兩邊項數(shù)相同．【正解】a3，a6