2025年新八年級(jí)（滬教版2024）暑假班預(yù)修提升課程專題14一般的一元二次方程的解法 知識(shí)點(diǎn)一、配方法解一元二次方程1.配方法：把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)常數(shù)，進(jìn)而可用直接開平方法來求解，這種通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程來解。2.可化為(x+n)2=p的形式的一元二次方程的根一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p（Ⅱ）.①當(dāng)p>0時(shí)，方程（Ⅱ）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，；②當(dāng)p=0時(shí)，方程（Ⅱ）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=－n；③當(dāng)p<0時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，都有(x+n)2≥0，所以方程（Ⅱ）無實(shí)數(shù)根.3.用配方法解一元二次方程的一般步驟：一移：常數(shù)項(xiàng)且二次項(xiàng)系數(shù)化為1；二配：成完全平方公式[配上一次項(xiàng)系數(shù)2三寫：成(x+n)2=p；四直：接開平方法解方程.4.配方法的應(yīng)用（1）完全平方式中的求參。如：已知x2－2mx＋16是一個(gè)完全平方式，所以一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.（2）求最值或證明代數(shù)式的值恒為正(或負(fù))。對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，當(dāng)a＞0時(shí)，可知其最小值；當(dāng)a＜0時(shí)，可知其最大值.（3）利用配方構(gòu)成非負(fù)式的和的形式。對(duì)于含有多個(gè)未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個(gè)完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負(fù)式的和為0，各項(xiàng)均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，則a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.知識(shí)點(diǎn)二、公式法解一元二次方程1.求根公式2.公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.注意：：運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí),首先要將方程化為一般式,然后當(dāng)Δ=b2－4ac≥0時(shí),才可以用求根公式.3.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程，推導(dǎo)過程如下：移項(xiàng)，得ax2+bx=－c，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+x=，配方，得x2+x+()2=()2，4.用公式法解一元二次方程的一般步驟（1）變形：化已知方程為一般形式；（2）確定系數(shù)：用a，b，c寫出各項(xiàng)系數(shù)；（3）計(jì)算：b2－4ac的值；（4）判斷：若Δ=b2－4ac≥0，則利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac<0，則方程沒有實(shí)數(shù)根.5.b24ac（△）的取值與根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系Δ=b2－4ac>0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根Δ=b2－4ac=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根Δ=b2－4ac＜0沒有實(shí)數(shù)根題型01：配方【名師點(diǎn)撥】左邊加上的數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方【例1】填空：A．2 B． C．2或 D．都不對(duì)【答案】D【跟蹤訓(xùn)練】1.用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：2.在橫線上填一個(gè)數(shù)，使左邊變成一個(gè)完全平方式：A．3B．C．D．以上都不對(duì)題型02：配方法解一元二次方程【名師點(diǎn)撥】配方法的解題步驟：第1步:化,把方程化為一元二次方程的一般形式,且使二次項(xiàng)系數(shù)為1;第2步:移,使方程左邊是二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊是常數(shù)項(xiàng);第3步:配,方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;第4步:開,當(dāng)方程的右邊是非負(fù)數(shù)時(shí),用直接開平方法解方程;第5步:寫,寫出一元二次方程的兩個(gè)根【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．利用配方法求解即可．【分析】本題主要考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程，掌握配方法成為解題的關(guān)鍵．先移項(xiàng)，然后再按照配方法即可解答．【跟蹤訓(xùn)練】【答案】B【分析】此題考查了解一元二次方程—配方法，熟練掌握配方法的方法步驟是解本題的關(guān)鍵．方程變形后，配方得到結(jié)果，即可做出判斷．故選：B．【答案】A【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后可得答案．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法、因式分解法等一元二次方程的解法．利用配方法求解即可．【分析】本題考查了一元二次方程的解法，首先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方公式，然后開方求解即可；解題的關(guān)鍵是掌握配方法解一元二次方程的步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．【分析】本題考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【分析】本題考查了配方法解一元二次方程．根據(jù)配方法解一元二次方程的一般步驟解出方程，即可．7．用配方法解下列方程：【分析】利用配方法求解即可．【解析】（1）解：3x2?5x=2移項(xiàng)得：x2x=，配方得：x2x+=+，合并得：（x）2=，解得：x1=+=2，x2==；（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x1=1，x2=9；（3）解：x2+12x?15=0移項(xiàng)得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x1=6＋，x2=6（4）解：x2?x?4=0配方得：x24x+4=16+4，合并得：（x2）2=20，解得：x1=2＋2，x2=2－2；（5）解：2x2+12x+10=0配方得：x2+6x+9=5+9，合并得：（x+3）2=4，解得：x1=1，x2=5；（6）解：x2+px+q=0，配方得：x2+px+=q+，【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解題的關(guān)鍵．題型03：配方法的應(yīng)用A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1【答案】D故選D．【例7】若M=212x+15，N=8x+11，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N【答案】A【解析】∵M(jìn)=212x+15，N=8x+11，∴MN0，∴MN.故選A.點(diǎn)睛：比較兩個(gè)含有同一字母的代數(shù)式的大小關(guān)系時(shí)，當(dāng)無法直接比較兩者的大小關(guān)系時(shí)，可以通過求出兩者的“差”，再看“差”的值是“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”或“0”來比較兩者的大小.【跟蹤訓(xùn)練】A． B．0 C．3 D．5【答案】A【分析】利用配方法對(duì)代數(shù)式做適當(dāng)變形，通過計(jì)算即可得到答案．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1【答案】D故選D．A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13【答案】C【分析】先利用配方法對(duì)含a的式子和含有b的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出a和b的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案．【解析】解：∵a210a+b216b+89=0，∴（a210a+25）+（b216b+64）=0，∴（a5）2+（b8）2=0，∵（a5）2≥0，（b8）2≥0，∴a5=0，b8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三條邊為a，b，c，∴ba＜c＜b+a，∴3＜c＜13．又∵這個(gè)三角形的最大邊為c，∴8＜c＜13．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在三角形的三邊關(guān)系中的應(yīng)用，熟練掌握配方法、偶次方的非負(fù)性及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【答案】B故選：B題型04：公式法解一元二次方程【名師點(diǎn)撥】“公式法”的三點(diǎn)注意(1)使用公式法時(shí)，必須先把方程化為一般形式，再確定系數(shù).(2)確定a,b,c的值時(shí),要注意符號(hào),不要遺漏“”(3)利用公式法解方程時(shí)，要先計(jì)算b4ac的值,只有當(dāng)b4ac≥0時(shí)，才能使用求根公式求方程的根.【分析】本題考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解題的關(guān)鍵．∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，【分析】此題考查了公式法解一元二次方程，解題時(shí)要注意將方程化為一般形式，確定a，b，c的值，然后檢驗(yàn)方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．【分析】本題考查了一元二次方程的解法，利用公式法求解即可．【例11】解方程：【分析】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的各種方法是解題的關(guān)鍵．（1）用公式法解方程即可；（2）變形后利用因式分解法解方程；（3）配方解方程即可；（4）利用公式法解方程即可．【跟蹤訓(xùn)練】【分析】確定a、b、c的值后，直接計(jì)算△的值即可．∵a=2，b=2，c=1，∴△=b24ac=224×2×(1)=4+8=12>0，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程和根的判別式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式的公式△=b24ac是解題的關(guān)鍵．【答案】C【分析】本題考查用公式法求解一元二次方程，熟練掌握公式法求一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．故選：C．A．16 B．C．32 D．64【答案】D故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵．4.用公式法解下列方程：(3)方程無解【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解方程是解題的關(guān)鍵．∴原方程無解．題型05：公式法解一元二次方程的應(yīng)用【答案】A【分析】根據(jù)公式法，判斷選項(xiàng)中的一元二次方程的實(shí)數(shù)根是否是題目中給出的那個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法——公式法，解題的關(guān)鍵是掌握求根公式．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，利用換元法解方程可以把較為復(fù)雜的一元二次方程化為簡單的方程從而得解.【分析】利用求根公式法求解即可．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選取解法是關(guān)鍵．題型06：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠藺．直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法B．因式分解法，公式法，配方法，直接開平方法C．直接開平方法，公式法，公式法，因式分解法D．直接開平方法，公式法，因式分解法，因式分解法【答案】D【分析】根據(jù)各方程的特點(diǎn)逐一判別即可．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．【例16】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋痉治觥看祟}考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．方程利用配方法求解即可；方程利用公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；方程整理后，利用公式法求解即可；方程利用因式分解法求解即可．【跟蹤訓(xùn)練】1.解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用較簡便的方法依次是(

)A．①直接開平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接開平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接開平方法，②、③公式法，④因式分解法【答案】D【解析】①2x2=18，所以利用直接開平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法.④2(5x－1)22(5x－1)=0,利用因式分解法.所以選D.2.解方程①9(x3)2=25，②6x2x=1，③x2+4x3596=0，④x(x1)=1.較簡便的方法依次是（

）；A．開平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．開平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D【分析】對(duì)于第①個(gè)方程，由于左右兩邊是某個(gè)數(shù)或式子的平方，據(jù)此選擇開平方法解方程；對(duì)于方程②可結(jié)合因式分解中的基本方法分析即可得解;對(duì)于方程③二次項(xiàng)系數(shù)為1可考慮配方法;對(duì)于方程④利用公式法求解比較簡便.【解析】解：方程①符合直接開方法的形式，因此選擇開平方法比較簡便；方程②等號(hào)左邊含有公因式x，則可利用因式分解法比較簡便；方程③等號(hào)左邊二次項(xiàng)系數(shù)為1，則可利用配方法比較簡便；方程④等號(hào)左邊展開，移項(xiàng)，然后利用公式法求解比較簡便.故選D.【點(diǎn)睛】本題是解一元二次方程的題目，關(guān)鍵是知道如何合理的選擇解一元二次方程的方法.3.已知下列方程，請(qǐng)把它們的序號(hào)填在最適當(dāng)?shù)慕夥ê蟮臋M線上．(1)直接開平方法：；(2)配方法：；(3)公式法：；(4)因式分解法：．【答案】①④⑤③②【分析】根據(jù)方程的特征逐一判斷即可.故①用直接開平方法解更簡單.∴此方程用因式分解法解更簡單.5x+6=35x+3=0∴此方程用公式法求解更好.∴此方程用配方法解更好.∴此方程用配方法解更好.故答案為:

(1).①

(2).④⑤

(3).③

(4).②【點(diǎn)睛】本題考查了選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄇ蠼庖辉畏匠?題型07：分析解答過程是否有誤(1)嘉淇的解法從第_____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；【分析】本題考查配方法解一元二次方程：（2）先移項(xiàng)，再利用完全平方公式進(jìn)行配方，即可求解．【詳解】（1）解：嘉淇的解法從第四步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；小明解答過程開始出錯(cuò)的步驟是（）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】C所以第三步開始出錯(cuò)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解題的關(guān)鍵．你認(rèn)為茗茗同學(xué)的解方程過程忽視的問題是________________．你認(rèn)為在上述解題過程中應(yīng)該增加的一個(gè)步驟是______________．【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元二次方程公式法直接求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義，公式法的條件即可求出答案．甲同學(xué)：乙同學(xué)：此方程無實(shí)數(shù)根．(1)你認(rèn)為他們的解法是否正確？直接寫出判斷結(jié)果．甲同學(xué)的解法__________，乙同學(xué)的解法__________．（填“正確”或者“不正確”）【答案】(1)不正確，不正確【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算．（1）利用因式分解法解方程可對(duì)解法一進(jìn)行判斷；根據(jù)公式法可對(duì)解法二進(jìn)行判斷；【詳解】（1）解：甲同學(xué)的解法不正確，乙同學(xué)的解法不正確，故答案為：不正確；不正確；題型08：新定義問題A．2023 B．2024 C．2018 D．2019【答案】D【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，一元二次方程的定義，理解題目中的新定義是解題的關(guān)鍵；利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．故選：．【答案】③④/④③【分析】考查一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關(guān)鍵．①求出方程的解，再判斷是否為倍根方程；②根據(jù)倍根方程和其中一個(gè)根，可求出另一個(gè)根，進(jìn)而得到m、n之間的關(guān)系，即可判斷；故①不正確；故②錯(cuò)誤；故③正確；故④正確，故答案為：③④．解決問題：（1）下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有①③（填序號(hào)）；①29②48③13④28探究問題：拓展應(yīng)用：【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義分別進(jìn)行判斷即可；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；（3）利用完全平方式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義，即可證明結(jié)論；（4）利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最小值．“完美數(shù)”有29和13，故答案為：①③；故答案為：；理由如下：，是整數(shù)，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，理解新定義“完美數(shù)”并會(huì)把算式靈活配方是解決問題的關(guān)鍵．選擇題A． B． C． D．【答案】C∴在方程兩邊應(yīng)同時(shí)加上．故選：C．【答案】A【分析】利用直接開方法解一元二次方程即可得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用直接開方法解一元二次方程，熟練掌握直接開方法是解題關(guān)鍵．3．（2024上?！ぐ四昙?jí)期中）用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，則方程變形為（）【答案】C【分析】根據(jù)配方的基本要求規(guī)范落實(shí)即可．【詳解】∵方程﹣2x﹣7＝0，移項(xiàng)得：﹣2x＝7，配方得：﹣2x+1＝8，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法，熟練掌握配方的基本步驟是解題的關(guān)鍵．A．是的一半 B．是的一半的平方 C．是的2倍 D．是的一半的相反數(shù)故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握解一元二次方程配方法是解題的關(guān)鍵．【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，牢記一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．故選：D．6．（2024上海靜安區(qū)期中）下列多項(xiàng)式中，是完全平方式的為（）【答案】A【分析】利用配方法分別轉(zhuǎn)化為完全平方式的形式即可求解．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查配方法的運(yùn)用，熟練添加常數(shù)項(xiàng)，即一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方是解決問題的關(guān)鍵，添加之后要注意再減去添加的常數(shù)項(xiàng)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．二、填空題【分析】由于二次項(xiàng)系數(shù)是，那么常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，等號(hào)右邊中括號(hào)內(nèi)的減數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的底數(shù)，即可求出答案；【解答】解：因?yàn)橐淮雾?xiàng)系數(shù)為：，故答案為：，．【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)除以2，接著把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，據(jù)此可得m、n的值，進(jìn)而可得答案．【答案】12【分析】將配方后的方程化為一般形式，即可得出a=4，b=3，代入代數(shù)式求解即可．∴a=4，b=3，∴ab=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的配方法及求代數(shù)式的值，將配方后的方程展開是解題關(guān)鍵．【分析】此題考查了公式法解一元二次方程，解題時(shí)要注意將方程化為一般形式．【點(diǎn)評(píng)】解此題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用求根公式，要注意將方程化為一般形式，確定、、的值．【分析】方程整理后，化為一般形式，求出根的判別式的值，即可求出方程的根．【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程公式法，解題關(guān)鍵在于利用根的判別式進(jìn)行求解.∴此三角形是以5為邊長的等邊三角形，13．（2024上寶中學(xué)期中）無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2－2x－4y+16的值總是數(shù)．【答案】正【解析】x2+y2－2x－4y+16=（x2－2x+1）+（y2－4y+4）－1－4+16=（x－1）2+（y－2）2+11，由于（x－1）2≥0，（y－2）2≥0，故（x－1）2+（y－2）2+11≥11，所以x2+y2－2x－4y+16的值總是正數(shù).故答案為正.點(diǎn)睛：要證明一個(gè)式子的值總是正數(shù)，可以用配方法將式子寫成多個(gè)非負(fù)數(shù)之和與一個(gè)正數(shù)的和的形式即可證明.解答題14.（2024上海八年級(jí)課時(shí)