1算法概念解讀1．對算法含義的理解(1)算法是機械的算法的設(shè)計要“面面俱到”，不能省略任何一個小小的步驟，有時可能要進(jìn)行大量重復(fù)計算，但只要按步驟一步一步地執(zhí)行，總能得到結(jié)果．算法的這種機械化的特點，在設(shè)計出算法后，便于把具體過程交給計算機去完成．(2)算法是普遍存在的實際上處理任何問題都需要算法，如國際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評判標(biāo)準(zhǔn)，郵寄物品的相關(guān)手續(xù)，求一個二元一次方程組的解等等．(3)求解某個具體問題的算法一般是不唯一的算法實際上是解決問題的步驟和方法，求解問題的出發(fā)點不同，就會得到不同的算法．如求二元一次方程組的解有代入消元法和加減消元法，但不同的算法可能會有“優(yōu)劣”之分．例1現(xiàn)有9個乒乓球，只有其中一個重量稍輕，請寫出找到較輕乒乓球的一個算法．解算法如下：S1將9個乒乓球分成三組，每組3只．S2將兩組分別放在天平兩邊，若天平平衡，則較輕的小的乒乓球在另一組，執(zhí)行S3，若不平衡，則較輕的小球在較輕的一組，執(zhí)行S3.S3取出含較輕小球的一組，任取兩球放在天平上，若左右不平衡，則較輕的小球找到；若天平平衡，則另一只是較輕的小球．2．算法與數(shù)學(xué)問題解法的區(qū)別與聯(lián)系(1)聯(lián)系：算法與解法是一般與特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系．如教材中由具體的二元一次方程組的求解過程(解法)出發(fā)，歸納出了二元一次方程組求解的步驟．同時指出，這樣的求解步驟也適合有限制條件的二元一次方程組，這些步驟就構(gòu)成了二元一次方程組的算法．算法的獲得要借助一般意義上具體問題的求解方法，而任何一個具體問題都可利用這類問題的一般算法解決．(2)區(qū)別：算法是解決某一類問題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱，也可理解為數(shù)學(xué)中的“通法通解”；而解法是解決某一個具體問題的過程和步驟，是具體的解題過程．例2寫出解方程x2－2x－3＝0的一個算法．分析本題是求一元二次方程解的問題，方法很多．要注意設(shè)計算法時算法的邏輯性和有窮性．解算法1：利用配方法設(shè)計算法如下：S1移項，得x2－2x＝3.①S2①兩邊同時加1，并配方，得(x－1)2＝4.②S3②式兩邊開方，得x－1＝±2.③S4解③得x＝3或x＝－1.算法2：利用公式法設(shè)計算法如下：S1計算方程的判別式，判斷其符號Δ＝22＋4×3＝16>0.S2將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)，得x1＝3，x2＝－1.2流程圖畫法全知曉1．畫流程圖的基本步驟第一步，設(shè)計算法，因為算法的設(shè)計是畫流程圖的基礎(chǔ)，所以畫流程圖前，首先寫出相應(yīng)的算法步驟，并分析算法需要用哪種基本算法結(jié)構(gòu)(順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu))完成．第二步，把算法步驟轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的圖框，在這種轉(zhuǎn)化過程中往往需要考慮很多細(xì)節(jié)，是一個將算法“細(xì)化”的過程．第三步，將所有步驟的圖框用流程線連接起來并加上終端框，得到表示算法的流程圖．2．畫流程圖的規(guī)則(1)使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號．(2)流程圖一般按從上到下、從左到右的方向來畫．(3)除判斷框外，大多數(shù)圖形符號只有一個進(jìn)入點和一個退出點，判斷框是唯一具有超過一個退出點的符號．(4)在圖形符號內(nèi)描述的語言要簡練清楚．3．典例分析(1)順序結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，是任何一個算法都離不開的結(jié)構(gòu)．若一個算法由若干個依次執(zhí)行的步驟組成，則在畫流程圖時，可直接由順序結(jié)構(gòu)完成．因為在其他的結(jié)構(gòu)中都會涉及到順序結(jié)構(gòu)，所以關(guān)于順序結(jié)構(gòu)的畫法，在此不再單獨敘述．(2)選擇結(jié)構(gòu)設(shè)計流程圖時，若是分段函數(shù)或執(zhí)行時需要先判斷才能執(zhí)行的問題，則需要用到判斷框，引入選擇結(jié)構(gòu)．例1如圖，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P，沿著BCDA的方向由點B向點A運動，設(shè)點P運動的路程為x(0<x<12)，△APB的面積為y，畫出y關(guān)于x的關(guān)系式的流程圖．分析先根據(jù)題意寫出算法，再根據(jù)算法畫出流程圖．即：第一步，按照題意，y與x的關(guān)系滿足分段函數(shù)：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,8，4<x≤8，,212－x，8<x<12.))第二步，用合適的含選擇結(jié)構(gòu)的流程圖表示該分段函數(shù)．解流程圖如圖所示．點評該題中的分段函數(shù)是分三段的函數(shù)，需引入兩個判斷框．至于判斷框的內(nèi)容是沒有順序的，但與下一圖形的內(nèi)容或操作必須相互對應(yīng)．同時，在畫流程圖時，要特別注意圖形符號的規(guī)范性．(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)如果問題中進(jìn)行了重復(fù)的運算，且有相同的規(guī)律，就可根據(jù)需要引入相關(guān)變量，利用這些規(guī)律組成一個循環(huán)體，用循環(huán)結(jié)構(gòu)來解決．例2用分期付款的方式購買價格為1150元的冰箱，如果購買時先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一個月后付第一個月的分期付款，月利率為1%，那么購買冰箱錢全部付清后，實際共付出款額多少元？畫出流程圖．分析這里有一個每月付50元，加上欠款的利息的重復(fù)過程，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)解決．但是欠款利息是變化的，所以需要把欠款利息用循環(huán)變量來表示．解購買時付款150元，余款1000元分20次付清，每次的付款數(shù)組成一個數(shù)列{an}．a(chǎn)1＝50＋(1150－150)×1%＝60(元)，a2＝50＋(1150－150－50)×1%＝59.5(元)，…an＝50＋[1150－150－(n－1)×50]×1%＝60－eq\f(1,2)(n－1)(n＝1，2，…，20)．∴a20＝60－eq\f(1,2)×19＝50.5.總和S＝150＋60＋59.5＋…＋50.5.流程圖如圖：點評在本例中，給出了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，同學(xué)們可以自行完成．3例說選擇結(jié)構(gòu)選擇結(jié)構(gòu)是三種基本算法結(jié)構(gòu)之一，可以解決一些含有條件判斷的算法問題，如分段函數(shù)求值問題、比較大小問題、分類討論問題和一些實際問題等．在此就其應(yīng)用略舉兩例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考．1．分段函數(shù)求值問題例1已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,x＋3，x<0，))請設(shè)計流程圖，要求輸入自變量x，輸出函數(shù)值y.分析輸入自變量x的值，首先判斷x與0的大小關(guān)系，再代入相應(yīng)的表達(dá)式求函數(shù)值．解流程圖如圖．點評求分段函數(shù)的函數(shù)值，需先判斷再執(zhí)行步驟，需要引入選擇結(jié)構(gòu)．注意畫流程圖時，判斷條件不同，框圖中表達(dá)式的位置也不同．2．實際應(yīng)用問題例2郵政電子匯款單筆最高限額為1萬元，每筆匯款的資費標(biāo)準(zhǔn)為匯款金額的1%，最低收費2元，最高收費為50元．試編寫一流程圖求出當(dāng)匯款x(0<x≤10000)元時，應(yīng)交納資費多少元．分析由題意分析，當(dāng)x≤200時，應(yīng)交納資費2元，當(dāng)x≥5000時，應(yīng)交納資費50元，所以引入選擇結(jié)構(gòu)，200和5000是兩個分段點．解流程圖如圖．點評在一些需要判斷的實際問題中，一般都會用到選擇結(jié)構(gòu)，在設(shè)計流程圖時，可先根據(jù)題意，設(shè)計算法，再根據(jù)算法畫出流程圖．4兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)辨與析在我們學(xué)習(xí)的三種基本算法結(jié)構(gòu)中，循環(huán)結(jié)構(gòu)尤其重要，其算法設(shè)計又相對困難，因此就循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖的設(shè)計問題及解題思路加以剖析，以期達(dá)到明辨結(jié)構(gòu)、合理選擇、準(zhǔn)確解題的目的．1．循環(huán)結(jié)構(gòu)要點分析(1)循環(huán)結(jié)構(gòu)解決的是大量的重復(fù)性的問題，適用于累加求和、累乘求積等問題．(2)循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式，即當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)，它們在流程圖的表示上是有所區(qū)別的．(3)設(shè)計流程圖時，我們按照“確定循環(huán)體”、“初始化變量”、“設(shè)定循環(huán)控制條件”的順序來構(gòu)造．2．兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：(1)循環(huán)體執(zhí)行的先后順序不同：當(dāng)型循環(huán)是先判斷后循環(huán)；直到型循環(huán)是先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后再判斷是否繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體．(2)循環(huán)的條件不同：當(dāng)型循環(huán)是在條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，而直到型循環(huán)是在條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)體，條件滿足時退出循環(huán)體．(3)循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)不同：若當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的循環(huán)條件一開始就不成立，則直接退出循環(huán)；直到型循環(huán)是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷條件．這就是說，當(dāng)型循環(huán)可能一次也不執(zhí)行，而直到型循環(huán)至少執(zhí)行一次．聯(lián)系：很多情況下，這兩種形式的流程圖是可以相互轉(zhuǎn)化的，但要注意判斷框中的條件是有區(qū)別的．3．典例精析例設(shè)計計算12＋32＋52＋…＋992的值的流程圖．分析為了方便表示，可應(yīng)用循環(huán)結(jié)構(gòu)引入兩個變量：一個是累加變量，為每一次加法運算提供初始值；一個是計數(shù)變量，用來控制循環(huán)次數(shù)．解當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖如圖1，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖如圖2.點評在進(jìn)行當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的互化時，不能僅通過將圖1中判斷框內(nèi)的“i≤99”，改為“i>99”，同時調(diào)換“Y”、“N”的位置完成(或是圖2中作類似的變換)．同學(xué)們一定要在理解的基礎(chǔ)上，牢記兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件和“Y”、“N”的位置．同一算法中，當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)判斷框中的條件恰恰相反.5走出流程圖中的誤區(qū)1．忽視選擇結(jié)構(gòu)中“N”的意義導(dǎo)致錯誤例1已知x，y滿足y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x<0，,x2，0≤x≤1，,x3，x>1，))畫出給出x求y的流程圖．錯解流程圖如圖所示：錯解剖析判斷框中0≤x≤1處應(yīng)填x≤1，因為“N”的意義就是指x<0的反方面，即表示x≥0，再寫x≥0則畫蛇添足．正解流程圖如圖所示：2．循環(huán)結(jié)構(gòu)忽視初始值和循環(huán)條件例2設(shè)計一個計算1×2×3×…×40的值的流程圖．錯解流程圖如圖所示：錯解剖析在給變量賦初值時一定要注意與題目中的已知相對應(yīng)，同時還要注意是要求和還是求積．一般來說，在解連加問題時存放累加和的變量初值常取0，而在解連乘問題時，存放累乘積的變量初值常取1.另外，循環(huán)終止條件的確定與流程圖中的各變量的賦值順序有關(guān)，因此確定循環(huán)終止條件時不應(yīng)只看已知條件．正解流程圖如圖所示：6畫流程圖的“三抓”1．抓特征組成任何一個流程圖的三要素是“四框”、“一線”加“文字說明”．“四框”即起止框、輸入(出)框、處理框、判斷框．“一線”即流程線，任意兩個圖框之間都存在流程線．“文字說明”即在圖框內(nèi)加以說明的文字、算式等，這是每個流程圖不可缺少的內(nèi)容．2．明規(guī)則流程圖的畫法規(guī)則是：①用標(biāo)準(zhǔn)，即使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號；②按順序，即流程圖一般按照從上到下、從左到右的順序畫；③看出入，即大多數(shù)圖框只有一個入口和一個出口，判斷框是唯一具有兩個出口的圖框，選擇結(jié)構(gòu)中要在出口處標(biāo)明“Y”或“N”；④明循環(huán)，即循環(huán)結(jié)構(gòu)要注意變量的初始值及循環(huán)終止條件；⑤辨流向，即流程線的箭頭表示執(zhí)行的方向，不可缺少；⑥簡說明，即在圖框內(nèi)的描述語言要簡練清晰．3．依步驟畫流程圖的總體步驟是：第一步，先設(shè)計算法，因為算法的設(shè)計是畫流程圖的基礎(chǔ)，所以在畫流程圖前，首先應(yīng)在稿紙上寫出相應(yīng)的算法步驟，并分析算法需要哪些基本算法結(jié)構(gòu)；第二步，再把算法步驟轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的流程圖，在這種轉(zhuǎn)化過程中往往需要考慮很多細(xì)節(jié)，是一個將算法“細(xì)化”的過程．例某商場進(jìn)行優(yōu)惠促銷：若購物金額x在500元以上(不包括500元)，則全部貨款打8折；若購物金額x在300元以上(不包括300元)500元以下(包括500元)，則全部貨款打9折；否則，不打折．寫出算法并畫出流程圖，要求輸入購物金額x元，能輸出實際交款額．分析由題意，實際交款額y與購物金額x之間的函數(shù)關(guān)系是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤300，,0.9x，300＜x≤500，,0.8x，x＞500.))因為它需對x進(jìn)行三次判斷，所以算法含有兩個選擇結(jié)構(gòu)，寫出算法步驟如下．解算法如下：S1輸入購物金額x.S2判斷x≤300是否成立．若是，則y←x，執(zhí)行S4；否則，進(jìn)入S3.S3判斷x≤500是否成立．若是，