2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精析與題型全解（上海專用）專題23簡(jiǎn)單幾何體的特征、表面積與體積知識(shí)點(diǎn)一、多面體與旋轉(zhuǎn)體多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體圖形概念面：圍成多面體的各個(gè)多邊形棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)軸：形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線2、正多面體：在空間中可以考慮正多面體；如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體就叫做正多面體；正多面體只有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體3.組合體是由簡(jiǎn)單幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成的.要仔細(xì)觀察組合體的構(gòu)成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，先分割，后驗(yàn)證知識(shí)點(diǎn)二、多面體棱柱、棱錐、棱臺(tái)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形定義有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體結(jié)構(gòu)特征底面互相平行且全等；側(cè)面都是平行四邊形；側(cè)棱都相等且互相平行底面是一個(gè)多邊形；側(cè)面都是三角形；側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)上、下底面互相平行且相似；各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；各側(cè)面為梯形分類①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，否則叫做斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體.①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱錐、四棱錐、五棱錐…②正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐.③正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)…②正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)常見四棱柱及其關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征①母線互相平行且相等，并垂直于底面②軸截面是全等的矩形③側(cè)面展開圖是矩形①母線相交于一點(diǎn)②軸截面是全等的等腰三角形③側(cè)面展開圖是扇形①母線延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)②軸截面是全等的等腰梯形③側(cè)面展開圖是扇環(huán)截面是圓面知識(shí)點(diǎn)四、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l其中r，r′為底面半徑，l為母線長(zhǎng).2、柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積(S是底面積，h是高)柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球(R是半徑)S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3知識(shí)點(diǎn)五、求空間幾何體體積的常用方法公式法直接根據(jù)常見柱、錐、臺(tái)等規(guī)則幾何體的體積公式計(jì)算等積法根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等割補(bǔ)法把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體知識(shí)點(diǎn)六、空間幾何體與球切、接問題的求解方法(1)確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．(2)求解球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及切、接點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的切、接問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(3)補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體．知識(shí)點(diǎn)七、與球有關(guān)的組合體的常用結(jié)論(1)長(zhǎng)方體的外接球①球心：體對(duì)角線的交點(diǎn)．②半徑：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高)．(2)正方體的外接球、內(nèi)切球①外接球：球心是正方體中心，半徑r＝eq\f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長(zhǎng))．②內(nèi)切球：球心是正方體中心，半徑r＝eq\f(a,2)(a為正方體的棱長(zhǎng))考點(diǎn)一多面體與旋轉(zhuǎn)體題型01：多面體的概念與性質(zhì)【例1】正多面體按其面數(shù)分有種【答案】5【分析】由正多面體的概念判斷．【解析】正多面體有正四面體，正方體（正六面體），正八面體，正十二面體，正二十面體共5種，故答案為：5.【例2】“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此截去八個(gè)三棱錐得到一個(gè)阿基米德多面體，則該阿基米德多面體的棱有條.【答案】24【分析】作出正方體，在正方體中觀察可得.故答案為：24

【例3】（2024·上海閔行·二模）已知空間中有2個(gè)相異的點(diǎn)，現(xiàn)每增加一個(gè)點(diǎn)使得其與原有的點(diǎn)連接成盡可能多的等邊三角形.例如，空間中3個(gè)點(diǎn)最多可連接成1個(gè)等邊三角形，空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三角形.當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成個(gè)等邊三角形.【答案】20.【分析】結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征，判斷求解空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成等邊三角形的個(gè)數(shù).【詳解】空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三角形，構(gòu)成正四面體，正四面體的每一個(gè)面向外作一個(gè)正四面體，此時(shí)是增加一個(gè)點(diǎn)，增加正三角形3個(gè)，新增加的4個(gè)點(diǎn)，又構(gòu)成1個(gè)正四面體，故答案為：20.【跟蹤訓(xùn)練】【答案】

【解析】因?yàn)槟惩?2面體，12個(gè)面是五邊形，20個(gè)面是六邊形，故答案為：；.【答案】C即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)橐粋€(gè)正三棱錐可能是正四面體，也可能不是正四面體，即選項(xiàng)C正確；故選：C.4.碳60（）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個(gè)面，且滿足：頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2．則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，碳（）由個(gè)頂點(diǎn)，有個(gè)面，設(shè)正五邊形有個(gè)，正六邊形有個(gè)，故答案為：題型02：旋轉(zhuǎn)體的概念與性質(zhì)【例4】下列幾何體不是旋轉(zhuǎn)體的為（）A．圓柱 B．棱柱 C．球 D．圓臺(tái)【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)體的概念逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】由題意，圓柱、球、圓臺(tái)均為旋轉(zhuǎn)體，棱柱為多面體.故選：B.A．圓錐 B．圓臺(tái)C．圓錐與圓臺(tái)的組合體 D．圓錐與圓柱的組合體【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體：如題將直角三角形和一個(gè)矩形，直角三角形的一條直角邊與矩形一邊重合，所構(gòu)成的梯形，繞梯形長(zhǎng)底邊旋轉(zhuǎn)一周，即知所得旋轉(zhuǎn)體構(gòu)成.故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體，根據(jù)平面圖形的旋轉(zhuǎn)可知對(duì)應(yīng)幾何體構(gòu)成，屬于簡(jiǎn)單題.【跟蹤訓(xùn)練】1.在一個(gè)如圖所示的直角梯形ABCD內(nèi)挖去一個(gè)扇形，E恰好是梯形的下底邊的中點(diǎn)，將所得平面圖形繞直線DE旋轉(zhuǎn)一圈．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所得幾何體并說明所得的幾何體的結(jié)構(gòu)特征；(2)求所得幾何體的表面積和體積．【答案】(1)答案見解析【分析】（1）直接由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征得結(jié)論；（2）結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算該組合體的表面積和體積.【解析】（1）根據(jù)題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉(zhuǎn)一圈后所得幾何體是上部是圓錐,下部是圓柱挖去一個(gè)半徑等于圓柱體高的半球的組合體;（2）該組合體的表面積為組合的體積為【答案】D【解析】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)等于，由此可得A、C項(xiàng)不符合題意，舍去．又在所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上有無數(shù)條直線，且直線的方向與轉(zhuǎn)軸不共面，B項(xiàng)不符合題意，只有D項(xiàng)符合題意．故選：D．考點(diǎn)二簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型03：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征【名師點(diǎn)撥】解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．(3)棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略．【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯(cuò)誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱互相平行B．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐C．正三棱錐的各個(gè)面都是正三角形D．棱臺(tái)各側(cè)棱所在直線會(huì)交于一點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)相應(yīng)幾何體的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知A正確；當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，故B正確；正三棱錐的底面是正三角形，其余側(cè)面是全等的等腰三角形，故C錯(cuò)誤；棱臺(tái)是用平行于底面的平面截棱錐而得，故側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)，D正確.故選：C【例7】（2023?閔行區(qū)校級(jí)一模）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，鱉臑的個(gè)數(shù)為（）A．48 B．36 C．24 D．12【分析】每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)6個(gè)鱉臑，所以8個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)48個(gè)鱉臑．但每個(gè)鱉臑都重復(fù)一次，再除2，即可得解．【解答】解：在正方體ABCD﹣EFGH中，當(dāng)頂點(diǎn)為A時(shí)，三棱錐A﹣EHG、A﹣EFG、A﹣DCG、A﹣DHG、A﹣BCG、A﹣BFG均為鱉臑．所以8個(gè)頂點(diǎn)為8×6＝48個(gè)．但每個(gè)鱉臑都重復(fù)一次，所以鱉臑的個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間中線面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．【跟蹤訓(xùn)練】1.給出下列命題：(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；(2)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；(3)在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；(4)存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；(5)棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺(tái)的概念可知．2.給出下列幾個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2 D．3【答案】B.【解析】：①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．3.（2324高一下·吉林長(zhǎng)春·期中）下列關(guān)于空間幾何體的論述，正確的是（

）A．底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體C．有兩個(gè)面是互相平行且相似的平行四邊形，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)D．三棱錐的四個(gè)面都可以是直角三角形【解題思路】利用柱、錐、臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)判斷即得.【解答過程】對(duì)于A，在三棱錐A?BCD中，AC=AD=BC=BD=CD≠AB，三棱錐A?BCD的底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形，此三棱錐不是正三棱錐，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，底面是非正方形的菱形，側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)等于底面菱形邊長(zhǎng)，顯然四個(gè)側(cè)面都是正方形，而此幾何體不是正方體，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若將兩個(gè)全等的正棱臺(tái)較大底面接合在一起，拼接而成的組合體，滿足有兩個(gè)面是互相平行且相似的平行四邊形，其余各面都是梯形的多面體，但該幾何體不是棱臺(tái)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在三棱錐P?QRS中，PQ⊥底面QRS，并且∠QRS=90此三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，D正確.故選：D.4．【多選】（2023·全國·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國古代張蒼?耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則（

）A．“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形； B．“羨除”一定不是臺(tái)體；C．不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”； D．“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形.【答案】ABC對(duì)于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形，故A正確；故選：ABC．考點(diǎn)三簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積與表面積題型04：空間幾何體的側(cè)面積【例8】（2425高三上·上海黃浦·期末）若圓柱的底面半徑與高均為1，則其側(cè)面積為．【答案】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式直接計(jì)算可得.故答案為：【例9】（2425高三上·上海松江·期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為．【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，利用側(cè)面積公式求出母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高.故答案為：4【例10】（2024·上海楊浦·一模）將一個(gè)半徑為1的球形石材加工成一個(gè)圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側(cè)面積的最大值為.【答案】故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練】2．（2024·上海虹口·一模）若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）【分析】首先求出母線，再由側(cè)面積公式計(jì)算可得.【答案】C【分析】由體積求出圓錐的底面圓半徑和高，母線長(zhǎng)，即可計(jì)算圓錐的側(cè)面積．故選：C．題型05：空間幾何體的表面積【名師點(diǎn)撥】【題型要點(diǎn)】幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．(3)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．【例11】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）有書記載等角半正多面體是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖，將正四面體沿相交于同一個(gè)頂點(diǎn)的三條梭上的個(gè)點(diǎn)截去一個(gè)正三棱錐，如此共截去個(gè)正三棱錐，若得到的幾何體是一個(gè)由正三角形與正六邊形圍成的等角半正多面體，且正六邊形的面積為，則原正四面體的表面積為_________．【答案】故答案為：.【分析】根據(jù)棱柱表面積的求法，結(jié)合已知求茶葉盒的表面積.【例13】（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）用鐵皮制作一個(gè)有底無蓋的圓柱形容器，若該容器的容積為立方米，則至少需要平方米鐵皮【答案】【詳解】設(shè)圓柱形容器的底面半徑為，高為，故至少需要平方米鐵皮.故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練】【答案】【分析】利用拋物線的性質(zhì)求準(zhǔn)線，利用相切求半徑，即可用球的表面積求解.故答案為：2．（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為4π的扇形，則該圓錐的表面積為．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為4π的扇形，可知圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，再結(jié)合圓錐的表面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為4π的扇形，∴，解得，∴該圓錐的表面積為πrl+πr2＝8π+4π＝12π．故答案為：12π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，將△ABC沿對(duì)角線AC折到△AB′C的位置，使（折疊后）A、B′、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為．【分析】根據(jù)題意，分析可得當(dāng)B′O⊥面ACD時(shí)，四棱錐B′﹣ABC的體積最大，由此求出三棱錐各個(gè)面的面積，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，正方形ABCD中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，在翻轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B′O⊥面ACD時(shí)，四棱錐B′﹣ABC的高最大，此時(shí)四棱錐B′﹣ABC的體積最大，若B′O⊥面ACD，由于OA＝OB＝OC，則B′D＝B′A＝B′A＝1，則△DB′C△DB′A都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，SΔDB′A＝SΔDB′C＝×1×1×＝，△ADC中，AD＝DC＝1且AD⊥DC，則S△ADC＝×1×1＝，同理：S△AB′C＝S△ABC＝S△ADC＝，此時(shí)，三棱錐的表面積S＝SΔDB′A+SΔDB′C+S△ADC+S△AB′C＝1+．故答案為：1+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的體積、表面積的計(jì)算，注意分析棱錐體積最大的條件，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，某學(xué)具可看成將一個(gè)底面半徑與高都為10cm的圓柱挖去一個(gè)圓錐（此圓錐的頂點(diǎn)是圓柱的下底面圓心、底面是圓柱的上底面）所得到的幾何體，則該學(xué)具的表面積為cm2．【分析】先求得挖去的圓錐的母線長(zhǎng)，從而得到圓錐的側(cè)面積，再求圓柱的側(cè)面積和一個(gè)底面積，即可求解幾何體的表面積．【解答】解：挖去圓錐的母線長(zhǎng)為＝10，則圓錐的側(cè)面積為π?10?10＝100π，圓柱的側(cè)面積為2π×10×10＝200π，圓柱的一個(gè)底面積為102×π＝100π，故幾何體的表面積為100π+200π+100π＝（300+100）πcm2．故答案為：（300+100）π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025高一·全國月考）正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，最長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為，則它的表面積為（）【答案】B【分析】根據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征，求出棱柱的高，再計(jì)算它的表面積.故選:B.考點(diǎn)四簡(jiǎn)單幾何體的體積題型06：直接利用公式求體積【例14】（2024·上海楊浦·一模）已知一個(gè)正四棱錐的每一條棱長(zhǎng)都為2，則該四棱錐的體積為.【分析】作出輔助線，求出正四棱錐的高，由錐體體積公式進(jìn)行求解.【例15】（2024·上海寶山·一模）將棱長(zhǎng)為的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為.【答案】【分析】先求出四面體其中一個(gè)面的高，確定正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個(gè)同底的圓錐，利用圓錐體積公式求解即可.【詳解】

根據(jù)題意，正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個(gè)同底的圓錐，故答案為：【跟蹤訓(xùn)練】1．（2024·上海嘉定·二模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，高為1，則其體積為．【答案】【分析】由題意，根據(jù)勾股定理求出底面圓的半徑，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，設(shè)圓錐的母線為l，高為h，底面圓半徑為r，故答案為：2．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）若某圓錐高為3，其側(cè)面積與底面積之比為，則該圓錐的體積為________.【答案】【分析】由題意可列出關(guān)于圓錐底面半徑和母線的方程組，解方程組即可求得底面半徑和母線，從而可求圓錐的體積.故答案為：3．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA＝1，側(cè)面的平面展開圖的面積為3π，則此圓錐的體積為．【分析】由圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由勾股定理求出圓錐的高，再由體積公式即可得出答案．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，所以圓錐側(cè)面的平面展開圖的面積為：，所以l＝3，所以圓錐的高．故圓錐的體積為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的體積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，AP＝AB＝4，則正四棱錐的體積為．【分析】求得正四棱錐的高，利用錐體的體積公式可求正四棱錐的體積．【解答】解：連接AC與BD交于O，則O是正方形ABCD的中心，∴PO⊥平面ABCD，∵AB＝4，∴AO＝2，∵PA＝4，∴PO＝＝2，∴正四棱錐的體積為V＝S正方形ABCD?PO＝×16×2＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱錐的體積的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．題型07：割補(bǔ)法求體積A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7【答案】D故選：D【跟蹤訓(xùn)練】挖去扇形弧繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得半球，【答案】(1)證明見解析(2)（2）取的中點(diǎn)，連接，

題型08：等體積法求體積【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理和面面垂直的判定即可求解；（2）根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O所以O(shè)為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，F(xiàn)分別是棱PB的中點(diǎn)，【答案】(1)證明見解析；(2).連接交線段與點(diǎn)，【例19】（2024·上海青浦·一模）已知圓柱的底面半徑為3，高為，圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)相等.若圓柱和圓錐的體積相同，則圓錐的底面半徑為.【答案】3【分析】求出圓柱的體積，設(shè)圓錐的底面半徑為，求出圓錐的高為，從而得到圓錐的體積，得到方程，求出答案.故圓錐的底面半徑為3.故答案為：3【跟蹤訓(xùn)練】A． B． C． D．【答案】B故選：B.【答案】B故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱臺(tái)、三棱錐的體積的求法，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用等體積轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.題型09：已知體積求其他量【例20】（2023上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）已知圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則圓錐的底面半徑為．【答案】【分析】由題意得到圓錐底面半徑與高之間的關(guān)系，再根據(jù)圓錐的體積公式列方程即可求解.【詳解】圓錐的軸截面圖如圖所示：故答案為：.【例21】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，則該圓錐的母線長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐底面半徑、高、母線長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，可根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解底面圓的半徑，再利用勾股定理求解母線.【詳解】已知圓錐的母線與底面所成角為，高為1，因?yàn)閳A錐底面半徑、高、母線長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺(tái)的體積為，則該圓臺(tái)的高為______.【答案】3所以該圓臺(tái)的高為3.故答案為：3.2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的底面半徑為2，其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】設(shè)圓錐的高為，根據(jù)圓錐及球的體積公式求出，再由勾股定理計(jì)算可得.故選：CA． B． C． D．【答案】B設(shè)點(diǎn)D在平面ABC上的投影為E，則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.考點(diǎn)五簡(jiǎn)單幾何體的展開圖問題題型10：空間圖形的展開圖問題【答案】【分析】根據(jù)扇形弧長(zhǎng)與圓錐底面周長(zhǎng)關(guān)系列方程求底面半徑，結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征求該圓錐的母線與底面所成角余弦值，即可確定大小.所以該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為，故其大小為.故答案為：【跟蹤訓(xùn)練】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可,【詳解】設(shè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為l2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開圖，如果將它還原為長(zhǎng)方體，那么線段AB與線段CD所在的直線（

）A．平行 B．相交 C．是異面直線 D．可能相交，也可能是異面直線【答案】C【分析】將展開圖還原成長(zhǎng)方體，即可判斷【詳解】如圖，將展開圖還原成長(zhǎng)方體，易得線段AB與線段CD是異面直線，故選：C【解析】題型11：最短路徑問題【名師點(diǎn)撥】此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c(diǎn)間線段最短問題．

【分析】分析可得沿棱柱的表面從E到F可能經(jīng)過棱，，，再分別展開直觀圖求解即可.

【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B為半圓弧CD的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（

）．【答案】B【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，解三角形即得解.所以在此圓柱的側(cè)面上，從A到B的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為.故選：B.【答案】【分析】求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)的距離問題即可.【詳解】解：由題意得：可知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是，如圖所示：故答案為：【答案】B【詳解】已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，故選：B．考點(diǎn)六與球有關(guān)的切、接問題題型12：幾何體的外接球連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，故選：．【分析】先證明出△PCD和△PBC均為直角三角形，得到O點(diǎn)位置，可求得外接球的半徑，可求其體積．由余弦定理可得：所以BD⊥CB．又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．則△PCD和△PBC均為直角三角形，當(dāng)O點(diǎn)為PC中點(diǎn)時(shí)，OP＝OD＝OB＝OC，此時(shí)O為四面體PBCD的外接球的球心．∵直線PA與平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，則∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，∴四面體PBCD外接球的半徑為，所以、、兩兩垂直，將三棱錐體補(bǔ)成正方體，如圖所示：正方體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，故選：．【跟蹤訓(xùn)練】故選：．【答案】D故選：D.【答案】B【分析】求出棱錐的斜高和高，求外接球的半徑，由球的表面積公式即可求解.故選：B.4．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的軸截面為正三角形，圓錐的內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為（

）【答案】A【分析】先根據(jù)圓錐內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而求出圓錐的底面半徑和高，即可求圓錐的體積.故選：A.如圖所示，設(shè)外接球半徑為，底面圓心為，外接球球心為，題型13：幾何體的內(nèi)切球【例27】（2025春?武強(qiáng)縣校級(jí)期末）底面圓周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為4的圓錐內(nèi)切球的體積為【解析】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：故選：．【跟蹤訓(xùn)練】1．（2023?嘉定區(qū)二模）已知一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，與該正方體每個(gè)面都相切的球半徑記為R1，與該正方體每條棱都相切的球半徑為R2，過該正方體所有頂點(diǎn)的球半徑為R3，則下列關(guān)系正確的是（）A．R1：R2：R3＝：2 B．R1+R2＝R3 C．+＝ D．+＝【分析】根據(jù)已知條件，依次求出R1，R2，R3，再結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【解答】解：與該正方體每個(gè)面都相切的球直徑為棱長(zhǎng)：，與該正方體每條棱都相切的球直徑面對(duì)角線長(zhǎng)：，過該正方體所有頂點(diǎn)的球的半徑為體對(duì)角線：，，故A錯(cuò)誤；，故C正確，BD錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．2.（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A．1210?36π B．2420?76π【解題思路】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內(nèi)切球半徑r，然后由球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.【解答過程】因?yàn)槿龡l母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6，所以△ABC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)AB=BC=CA=6由正弦定理可得底面圓的半徑R=1所以圓錐的高PO=6如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑r，軸截面三角形面積為12所以內(nèi)切球半徑r=62內(nèi)切球的表面積為4π圓錐的側(cè)面積為12所以其和為608?3故選：C.3．（2022·江西九江·三模（理））如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋，可放小球的最大半徑為.若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長(zhǎng)為，則（

）【答案】D【解析】設(shè)儲(chǔ)物盒所在球的半徑為，如圖，故選：D.4.（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

A．πm2 B．2πm2 【解題思路】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理找出內(nèi)切球的半徑，利用等面積法求出半徑的大小，即可求解.【解答過程】如圖，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接OP，取BC的中點(diǎn)E，連接OE,PE，因?yàn)锳B=m,所以O(shè)A=OB=OC=OD=2OP=A由BE=CE,可得BC⊥OE,BC⊥PE,OE,PE?平面POE，且OE∩PE=E，所以BC⊥平面POE，過O作OH⊥PE，因?yàn)锽C⊥平面POE，OH?平面POE，所以BC⊥OH,且BC∩PE=E,BC,PE?平面PBC，所以O(shè)H⊥平面PBC，所以O(shè)H為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，在直角三角形POE中，OP=2由等面積法可得，12×OP×OE=1所以內(nèi)切球的表面積為4π故選:D.【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，列出等量關(guān)系，即可求解.故選：D6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為________．【答案】3【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖為半圓可求半徑與母線長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)軸截面及內(nèi)切球的半徑可求圓錐的高.故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)，故答案為：3.7.（2024·浙江溫州·二模）如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD棱長(zhǎng)為26，則模型中九個(gè)球的表面積和為（

A．6π B．9π C．31π【解題思路】作出輔助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)球的半徑，得到答案.【解答過程】如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則CE=BE=6，AE=DE=過點(diǎn)A作AF⊥底面BCD，垂足在DE上，且DF=2EF，所以DF=22,EF=2點(diǎn)O為最大球的球心，連接DO并延長(zhǎng)，交AE于點(diǎn)M，則DM⊥AE，設(shè)最大球的半徑為R，則OF=OM=R，因?yàn)镽t△AOM∽R(shí)t△AEF，所以AOAE=OM即OM=OF=1，則AO=4?1=3，故sin設(shè)最小球的球心為J，中間球的球心為K，則兩球均與直線AE相切，設(shè)切點(diǎn)分別為H,G，連接HJ,KG，則HJ,KG分別為最小球和中間球的半徑，長(zhǎng)度分別設(shè)為a,b，則AJ=3HJ=3a,AK=3GK=3b，則JK=AK?AJ=3b?3a，又JK=a+b，所以3b?3a=a+b，解得b=2a，又OK=R+b=AO?AK=3?3b，故4b=3?R=2，解得b=1所以a=1模型中九個(gè)球的表面積和為4π故選：B.考點(diǎn)七空間幾何體的綜合探究題型14：立體幾何中的軌跡問題【分析】利用線面角求法得出N的軌跡為正方形內(nèi)一部分圓弧，求其圓心角計(jì)算弧長(zhǎng)即可.【詳解】如圖所示，取BC中點(diǎn)G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，【跟蹤訓(xùn)練】【答案】不妨取正方體邊長(zhǎng)為，中點(diǎn)為，以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何，拋物線的軌跡方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)題意得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解題的關(guān)鍵，【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)描述易知的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，即可求掃過的面積.∴繞以夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如上圖示：的軌跡是以為圓心，為半徑的四分之一圓，故答案為：.A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題【答案】A且是的中點(diǎn)；點(diǎn)形成的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，故選：A．題型15：立體幾何中的最值問題【例29】（2025·上海長(zhǎng)寧·二模）現(xiàn)有一塊正四面體木料PABC，其邊長(zhǎng)為3，現(xiàn)需要將木料進(jìn)行切割，要求切割后底面ABC上任意一點(diǎn)Q到頂點(diǎn)P的距離不大于，則切割好后，木料體積的最大值是．（結(jié)果保留）【詳解】延長(zhǎng)交于，連接，，【答案】C故選：C．【例31】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，利用三角形相似求得與的關(guān)系式，寫出圓柱的體積，利用不等式，即可求解.【詳解】解：設(shè)圓柱的