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專題22.3二次函數(shù)y=ax2+k的圖象教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)2.難點(diǎn)(1)函數(shù)圖象的共存問題;(2)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征;知識(shí)點(diǎn)01y=ax函數(shù)平移規(guī)律:函數(shù)分為左右平移和上下平移;左右平移在自變量上進(jìn)行加減,規(guī)律為左加右減;上下平移在函數(shù)解析式整體上進(jìn)行加減,規(guī)律為上加下減。由函數(shù)的平移可知:【即學(xué)即練1】1.將拋物線y=2x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得拋物線的函數(shù)解析式為y=2x2+3.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:∵y=2x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,∴新拋物線為y=2x2+3.知識(shí)點(diǎn)02y=ax2大致圖象(向下平移)(向上平移)(向下平移)(向上平移)開口方向開口向上開口向下開口大小的絕對(duì)值越大,開口越小的絕對(duì)值越小,開口越大頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,k)(0,k)對(duì)稱軸y軸離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的函數(shù)值越大離對(duì)稱軸越近的函數(shù)值越小y軸離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的函數(shù)值越小離對(duì)稱軸越近的函數(shù)值越大增減性對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而增大。對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而減小。對(duì)稱軸右邊y隨x的增大而減小。對(duì)稱軸左邊y隨x的增大而增大。最值函數(shù)軸最小值這個(gè)值是k。函數(shù)軸最大值這個(gè)值是k。【即學(xué)即練1】2.拋物線y=x2+1的圖象大致是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:拋物線y=x2+1的圖象開口向上,且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).故選C.【即學(xué)即練2】3.在同一坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=bx2+a的圖象可能是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:A、由拋物線可知,圖象與y軸交在負(fù)半軸a<0,由直線可知,圖象過一,三象限,a>0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、由拋物線可知,圖象與y軸交在正半軸a>0,二次項(xiàng)系數(shù)b為負(fù)數(shù),與一次函數(shù)y=ax+b中b>0矛盾,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、由拋物線可知,圖象與y軸交在負(fù)半軸a<0,由直線可知,圖象過二,四象限a<0,故此選項(xiàng)正確;D、由直線可知,圖象與y軸交于負(fù)半軸,b<0,由拋物線可知,開口向上,b>0矛盾,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:C.【即學(xué)即練3】4.二次函數(shù)y=﹣2x2﹣1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣1).【答案】(0,﹣1).【解答】解:二次函數(shù)y=﹣2x2﹣1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,﹣1).故答案為:(0,﹣1).【即學(xué)即練4】5.拋物線y=3x2+2開口方向是()A.向上 B.向下 C.向左 D.向右【答案】A【解答】解:在y=3x2+2中,∵3>0,∴拋物線y=3x2+2開口方向是向上;故選:A.【即學(xué)即練5】6.對(duì)于二次函數(shù)y=3x2+2,下列說法錯(cuò)誤的是()A.最小值為2 B.圖象與y軸沒有公共點(diǎn) C.當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小 D.其圖象的對(duì)稱軸是y軸【答案】B【解答】解:A、開口向上有最小值2,正確;B、圖象與y軸交于點(diǎn)(0,2),錯(cuò)誤;對(duì)稱軸為y軸,開口向上,所以當(dāng)x<0時(shí),y隨著x的增大而減小,C、D正確,故選:B.【即學(xué)即練6】7.從拋物線y=2x2﹣3的圖象上可以看出,當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí),y的取值范圍是﹣3≤y≤5.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:∵y=2x2﹣3,∴拋物線開口向上,對(duì)稱軸為x=0,∴當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x=0時(shí),y有最小值,最小值為﹣3,當(dāng)﹣1≤x<0時(shí),可知當(dāng)x=﹣1時(shí),y有最大值,最大值為﹣1,當(dāng)0≤x≤2時(shí),可知當(dāng)x=2時(shí),y有最大值,最大值為5,∴當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí),y的取值范圍是﹣3≤y≤5,故答案為:﹣3≤y≤5.【即學(xué)即練7】8.若點(diǎn)(x1,y1)(x2,y2)在二次函數(shù)y=-13x2+5的圖象上,且0<xA.5<y1<y2 B.5<y2<y1 C.y2<y1<5 D.y1<y2<5【答案】C【解答】解:∵二次函數(shù)y=-1∴圖象開口向下,對(duì)稱軸為y軸,頂點(diǎn)為(0,5),有最大值5,∴x>0時(shí),y隨x的增大而減小,∵0<x1<x2,∴y2<y1<5.故選:C.題型01y=ax【典例1】與拋物線y=﹣5x2﹣1頂點(diǎn)相同,形狀也相同,而開口方向相反的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是()A.y=﹣5x2﹣1 B.y=5x2﹣1 C.y=﹣5x2+1 D.y=5x2+1【答案】B【解答】解:與拋物線y=﹣5x2﹣1頂點(diǎn)相同,形狀也相同,而開口方向相反的拋物線,即與拋物線y=﹣5x2﹣1只有二次項(xiàng)系數(shù)不同.即y=5x2﹣1,故選:B.【變式1】拋物線y=﹣4x2+3的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是()A.向上,(﹣4,3) B.向下,(﹣4,3) C.向下,(0,3) D.向上,(0,3)【答案】C【解答】解:拋物線y=﹣4x2+3的開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3).故選:C.【變式2】對(duì)于二次函數(shù)y=﹣2x2+3的圖象,下列說法不正確的是()A.開口向下 B.對(duì)稱軸是直線x=﹣3 C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3) D.x>0時(shí),y隨x的增大而減小【答案】B【解答】解:∵二次函數(shù)y=﹣2x2+3,∴該函數(shù)的圖象開口向下,故選項(xiàng)A正確;對(duì)稱軸是直線x=0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),故選項(xiàng)C正確;當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,故選項(xiàng)D正確;故選:B.【變式3】若拋物線y=2xm2-4m-3+(m﹣5)的頂點(diǎn)在A.m=5 B.m=﹣1 C.m=5或m=﹣1 D.m=﹣5【答案】B【解答】解:∵y=2xm2-4m-3+(m﹣∴m2﹣4m﹣3=2,解得:m=5或﹣1,又∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,m﹣5),頂點(diǎn)在x軸下方,∴m﹣5<0,即m<5,∴m=﹣1.故選:B.題型02y=ax2【典例1】已知一次函數(shù)y=ax﹣c的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:由圖象知:一次函數(shù)y=ax﹣c的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,與交y軸的正半軸,∴a<0,﹣c>0,∴c<0,∴二次函數(shù)y=ax2+c的圖象的開口向下,交y軸的負(fù)半軸,故選:C.【變式1】一次函數(shù)y=bx+a的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+b的圖象()A. B. C. D.【答案】B【解答】解:∵一次函數(shù)y=bx+a的圖象經(jīng)過一、二、四象限,∴a>0,b<0,∴二次函數(shù)y=ax2+b的圖象開口向上,對(duì)稱軸為y軸,頂點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸,故選:B.【變式2】二次函數(shù)y=ax2+b的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=ax+b的圖象可能是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:如圖所示:拋物線開口向下,交y軸的正半軸,則a<0,b>0,故一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限.故選:C.【變式3】在同一坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=x2﹣a的圖象可能是()A. B. C. D.【答案】A【解答】解:當(dāng)a<0時(shí),二次函數(shù)頂點(diǎn)在y軸正半軸,一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限;當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸,一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限.故選:A.【變式5】在同一平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=ax2﹣a的圖象可能是()A. B. C. D.【答案】B【解答】解:①當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)y=ax2﹣a的開口向上,頂點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過第一、二、三象限;②當(dāng)a<0時(shí),二次函數(shù)y=ax2﹣a的開口向下,頂點(diǎn)在y軸的正半軸上,一次函數(shù)y=ax+a的圖象經(jīng)過第一、二、四象限.故選:B.題型03y=ax2+k【典例1】點(diǎn)A(m,﹣98),B(n,﹣99)在函數(shù)y=﹣2x2﹣k(k為常數(shù))的圖象上,則點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置描述正確的是()A.點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè) B.點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè) C.點(diǎn)A離y軸遠(yuǎn) D.點(diǎn)B離y軸遠(yuǎn)【答案】D【解答】解:因?yàn)閽佄锞€的解析式為y=﹣2x2﹣k,則拋物線的對(duì)稱軸為y軸,且開口向下,所以拋物線上離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn),其函數(shù)值越?。?yàn)椹?9<﹣98,所以點(diǎn)B離y軸遠(yuǎn).故選:D.【變式1】已知a<﹣1,點(diǎn)(a﹣1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函數(shù)y=12x2﹣2的A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3【答案】C【解答】解:∵當(dāng)a<﹣1時(shí),a﹣1<a<a+1<0,而拋物線y=12x2﹣2的對(duì)稱軸為直線x=∴三點(diǎn)都在對(duì)稱軸的左邊,y隨x的增大而減小,∴y1>y2>y3.故選:C.【變式2】點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y=﹣2x2﹣2上的點(diǎn),且|x1|>|x2|,則y1與y2的大小關(guān)系為()A.y1=y(tǒng)2 B.y1>y2 C.y1<y2 D.無法確定【答案】C【解答】解:由條件可知拋物線開口向下,對(duì)稱軸為y軸,拋物線上離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn),函數(shù)值越小,∵|x1|>|x2|,∴y1<y2,故選:C.【變式3】已知點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)均在拋物線y=x2﹣1上,下列說法中正確的是()A.若y1=y(tǒng)2,則x1=x2 B.若x1=﹣x2,則y1=﹣y2 C.若0<x1<x2,則y1>y2 D.若x1<x2<0,則y1>y2【答案】D【解答】解:A、若y1=y(tǒng)2,則x1=﹣x2;B、若x1=﹣x2,則y1=y(tǒng)2;C、若0<x1<x2,則在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大,則y1<y2;D、正確.故選:D.題型04y=ax【典例1】將拋物線y=-12x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線解析式為y=-12【答案】y=-12x2【解答】解:將拋物線y=-12x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線解析式為y=-故答案為:y=-12x2【變式1】若將拋物線y=2x2﹣1向上平移2個(gè)單位,則所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為()A.y=2(x﹣2)2﹣1 B.y=2(x+2)2﹣1 C.y=2x2﹣3 D.y=2x2+1【答案】D【解答】解:∵拋物線y=2x2﹣1向上平移2個(gè)單位,∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),∴所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=2x2+1.故選:D.【變式2】將拋物線y=2x2+3平移后得到拋物線y=2x2,平移的方法可以是()A.向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解答】解:平移的方法可以是向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度.故選:A.【變式3】在平面直角坐標(biāo)系中,平移拋物線y=3x2得到y(tǒng)=3x2+3,則平移方式可以是()A.向左平移3個(gè)單位 B.向右平移3個(gè)單位 C.向上平移3個(gè)單位 D.向下平移3個(gè)單位【答案】C【解答】解:平移拋物線y=3x2得到y(tǒng)=3x2+3,則平移方式是向上平移3個(gè)單位.故選:C.【變式5】把拋物線y=x2向上平移2個(gè)單位,得到拋物線y=ax2+c,則a、c的值分別是()A.1,2 B.1,﹣2 C.﹣1,2 D.﹣1,﹣2【答案】A【解答】解:拋物線y=x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),把點(diǎn)(0,0)向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),所以平移后拋物線解析式為y=x2+2,所以a=1,c=2.故選:A.1.在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣3x2+1的圖象開口方向是()A.向下 B.向上 C.向左 D.向右【答案】A【解答】解:y=﹣3x2+1.∵a=﹣3<0,∴拋物線的開口向下.故選:A.2.拋物線y=2x2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(1,﹣2) B.(0,﹣4) C.(﹣1,﹣2) D.(2,0)【答案】B【解答】解:二次函數(shù)的性質(zhì)得拋物線y=2x2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,﹣4),故選:B.3.關(guān)于二次函數(shù)y=﹣2x2+1,下列說法中正確的是()A.它的開口方向是向上 B.當(dāng)x<﹣1時(shí),y隨x的增大而增大 C.它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣2,1) D.當(dāng)x=0時(shí),y有最大值是-【答案】B【解答】解:∵二次函數(shù)y=﹣2x2+1,a=﹣2,∴該函數(shù)圖象開口向下,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大,故選項(xiàng)B正確,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,當(dāng)x=0時(shí),y有最大值1,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故選:B.4.把拋物線y=x2﹣1向上平移3個(gè)單位可得拋物線是()A.y=x2+3 B.y=(x+3)2﹣1 C.y=x2+2 D.y=(x﹣3)2﹣1【答案】C【解答】解:由題知,把拋物線y=x2﹣1向上平移3個(gè)單位可得拋物線的解析式為y=x2﹣1+3=x2+2.故選:C.5.在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+2的圖象大致是()A. B. C. D.【答案】A【解答】解:∵由二次函數(shù)y=x2+2可知,對(duì)稱軸為直線x=0,a>0,c>0,∴A圖象符合題意,故選:A.6.已知二次函數(shù)y=ax2+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=ax+c的圖象一定經(jīng)過()A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限【答案】C【解答】解:二次函數(shù)a<0,c>0,∴一次函數(shù)y=ax+c的圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限,故選:C.7.在同一坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+2與二次函數(shù)y=x2﹣a的圖象可能是()A. B. C. D.【答案】D【解答】解:當(dāng)a<0時(shí),二次函數(shù)頂點(diǎn)在y軸正半軸,一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限;當(dāng)a>0時(shí),二次函數(shù)頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸,一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限.故選:D.8.點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y=12x2+1上的點(diǎn),且|x1|<|x2|,則yA.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y(tǒng)2 D.無法確定【答案】A【解答】解:由|x1|<|x2|,得A(x1,y1)到y(tǒng)軸的距離小于B(x2,y2)到y(tǒng)軸的距離,由拋物線y=12x得y1<y2.故選:A.9.已知mn<0,mn+1>0,則y關(guān)于x的二次函數(shù)y=A. B. C. D.【答案】B【解答】解:∵mn+1∴m(n+1)>0,又∵mn<0,∴n(n+1)<0,∵n+1>n,∴n+1>0,n<0,∴﹣1<n<0,∴m>0,∴y=mx2+n的圖象開口向上,與y軸的交點(diǎn)在(0,﹣1)與(0,0)之間,觀察四個(gè)選項(xiàng),只有B項(xiàng)的圖象符合條件.故選:B.10.設(shè)點(diǎn)(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)是拋物線y=﹣2x2+m上的三點(diǎn),則y1、y2、y3的大小關(guān)系為()A.y3>y2>y1 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3【答案】D【解答】解:∵拋物線解析式為y=﹣2x2+m,∴對(duì)稱軸為y軸∵(﹣1,y1)關(guān)于對(duì)稱軸y軸對(duì)稱點(diǎn)為(1,y1),∴(1,y1)是拋物線y=﹣2x2+m上點(diǎn),又∵a=﹣2<0,∴當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,∵1<2<3,點(diǎn)(1,y1),(2,y2),(3,y3)是拋物線y=﹣2x2+m上的三點(diǎn),∴y1>y2>y3,故選:D.11.二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象在其對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的(填“上升”或“下降”).【答案】上升.【解答】解:∵二次函數(shù)y=x2﹣1,a=1>0,∴該函數(shù)圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線x=0,∴在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大,即二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象在其對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的.故答案為:上升.12.拋物線y=ax2+c的對(duì)稱軸為直線x=0.【答案】直線x=0.【解答】解:∵拋物線y=ax2+c是由拋物線y=ax2沿y軸平移得到,∴拋物線y=ax2+c的對(duì)稱軸為直線x=0.故答案為:直線x=0.13.已知二次函數(shù)y=(a-1)xa2-2+3開口向下,則a=【答案】﹣2.【解答】解:由二次函數(shù)開口向下,得a2﹣2=2且a﹣1<0,得a=﹣2.故答案為:﹣2.14.拋物線y=ax2﹣1(a>0)上有兩點(diǎn)A(1,y1),B(3,y2),則y1<y2(填“>”“<”或“=”).【答案】<.【解答】解:∵拋物線y=ax2﹣1(a>0),∴該拋物線的開口向上,對(duì)稱軸為y軸,∵點(diǎn)A(1,y1),B(3,y2)在拋物線y=ax2﹣1上,在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨著x的增大而增大.∵1<3,∴y1<y2,故答案為:<.15.已知二次函數(shù)y=ax2﹣3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,﹣1),當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí),y的取值范圍為﹣3≤y≤5.【答案】﹣3≤y≤5.【解答】解:把A(1,﹣1)代入y=ax2﹣3中,解得a=2,故二次函數(shù)解析式為y=2x2﹣3,由y=2x2﹣3可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣3),∵﹣1≤x≤2,∴當(dāng)x=﹣1時(shí),y=﹣1,當(dāng)x=2時(shí),y=5,當(dāng)x=0時(shí),y=﹣3∴﹣3≤y≤5.16.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=13x2+1與二次函數(shù)y=-13x(1)從拋物線的開口方向、形狀、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等方面說出兩個(gè)函數(shù)圖象的相同點(diǎn)與不同點(diǎn);(2)說出兩個(gè)函數(shù)圖象的性質(zhì)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn).【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:如圖:,(1)y=13x2+1與y=-13x2﹣y=13x2+1與y=-13x2﹣1的不同點(diǎn)是:y=13x2+1開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),y=-13x(2)性質(zhì)的相同點(diǎn):開口程度相同,不同點(diǎn):y=13x2+1當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小,當(dāng)x>0時(shí),y隨y=-13x2﹣1當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)x>0時(shí),y隨17.將二次函數(shù)y=12x2的(1)請(qǐng)你寫出這個(gè)新拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)判斷點(diǎn)A(4,5)是否在這個(gè)新拋物線上.【答案】(1)y=12x2﹣(2)點(diǎn)A(4,5)在這個(gè)新拋物線上.【解答】解:(1)由“上加下減,左加右減”的原則可知,將二次函數(shù)y=12x2的圖象先向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后所得新函數(shù)圖象的表達(dá)式為y=12x(2)把

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