初中數(shù)學(xué)軸對稱與等腰三角形同步練習(xí)引言軸對稱是初中數(shù)學(xué)圖形變換的核心內(nèi)容之一，它通過“對稱”這一幾何特征，將圖形的美與數(shù)學(xué)性質(zhì)有機結(jié)合；等腰三角形作為軸對稱圖形的典型范例，其“等邊對等角”“三線合一”等性質(zhì)更是解決幾何問題的重要工具。本練習(xí)圍繞軸對稱的基本概念與性質(zhì)“等腰三角形的性質(zhì)與判定”“兩者綜合應(yīng)用”三個核心模塊，設(shè)計了基礎(chǔ)練習(xí)（鞏固概念）、提升練習(xí)（靈活應(yīng)用）、拓展探究（思維拓展）三個層級，旨在幫助同學(xué)們?nèi)嬲莆者@部分內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)。一、軸對稱的基本概念與性質(zhì)核心知識點：軸對稱圖形的識別；對稱點的坐標(biāo)特征（關(guān)于x軸、y軸對稱）；軸對稱的性質(zhì)（對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等）?；A(chǔ)練習(xí)1.下列圖形中，是軸對稱圖形的有（）（多選）A.長方形B.平行四邊形C.等腰梯形D.圓E.正五邊形（提示：軸對稱圖形是指沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合的圖形。）2.點P(3,-2)關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是______，關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)是______。（提示：關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。）3.如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，若AB=5，BC=3，AC=4，則△A'B'C'的周長是______，∠B的對應(yīng)角是______。（提示：軸對稱圖形的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。）提升練習(xí)4.如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，點P在l上，若PA=5，則PB=______，理由是______。（提示：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。）5.已知點A(2,a)與點B(b,-3)關(guān)于y軸對稱，則a=______，b=______。（提示：關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。）拓展探究6.如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，請畫出△ABC的所有對稱軸，并說明每條對稱軸的位置。（提示：等腰三角形的對稱軸是底邊的垂直平分線，也是頂角的平分線、底邊上的高。）二、等腰三角形的性質(zhì)與判定核心知識點：等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角、三線合一）；等腰三角形的判定（等角對等邊、兩邊相等）?；A(chǔ)練習(xí)7.等腰三角形的頂角是80°，則底角是______度。（提示：三角形內(nèi)角和為180°，等腰三角形兩底角相等。）8.等腰三角形的底角是35°，則頂角是______度。（提示：同上，頂角=180°-2×底角。）9.下列條件中，能判定△ABC為等腰三角形的是（）（單選）A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A=40°，∠B=70°C.AB=3，BC=5，AC=7D.AB=4，BC=4，AC=8（提示：等腰三角形的判定條件是“兩邊相等”或“兩角相等”。）提升練習(xí)10.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，若BC=6，AD=4，則AB的長是______。（提示：三線合一性質(zhì)，AD⊥BC，BD=BC/2=3，用勾股定理求AB。）11.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在AB上，且AD=AC，求∠BCD的度數(shù)。（提示：△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，AD=AC，所以△ADC是等腰三角形，∠ACD=∠ADC，再求∠BCD。）拓展探究12.如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D、E分別在AB、AC上，且BD=CE，求證：△BDE是等腰三角形。（提示：先證AB=AC，再證AD=AE，進(jìn)而得到∠ADE=∠AED，最后證∠BDE=∠BED。）三、軸對稱與等腰三角形綜合應(yīng)用核心知識點：將軍飲馬問題（最短路徑）；折疊問題（軸對稱變換與等腰三角形結(jié)合）；利用軸對稱構(gòu)造等腰三角形。基礎(chǔ)練習(xí)13.將軍飲馬問題：如圖，將軍在A點，要到河邊l飲馬，再回到營地B點，請問飲馬點P選在何處，才能使AP+BP最短？（要求：畫出圖形并說明理由）（提示：作A關(guān)于l的對稱點A'，連接A'B交l于P，利用軸對稱性質(zhì)和兩點之間線段最短。）提升練習(xí)14.如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在C'處，BC'交AD于E，若AB=4，BC=8，求AE的長。（提示：折疊后∠CBD=∠C'BD，AD∥BC得∠ADB=∠CBD，故∠ADB=∠C'BD，BE=DE，設(shè)AE=x，用勾股定理列方程求解。）拓展探究15.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D在BC邊上，且BD=BA，求∠ADC的度數(shù)。（提示：先求∠ABC=∠ACB=30°，再求△ABD中的∠BDA=75°，最后求∠ADC=180°-∠BDA。）答案與解析一、軸對稱的基本概念與性質(zhì)1.答案：A、C、D、E解析：平行四邊形（B）沿任意直線折疊后，直線兩旁的部分無法完全重合，不是軸對稱圖形；長方形（A）有2條對稱軸，等腰梯形（C）有1條對稱軸，圓（D）有無數(shù)條對稱軸，正五邊形（E）有5條對稱軸，均為軸對稱圖形。2.答案：(3,2)；(-3,-2)解析：關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)；關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)。3.答案：12；∠B'解析：軸對稱圖形的對應(yīng)線段相等，故△A'B'C'的周長=AB+BC+AC=5+3+4=12；對應(yīng)角相等，∠B的對應(yīng)角是∠B'。4.答案：5；垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等解析：直線l是AB的垂直平分線，P在l上，故PB=PA=5。5.答案：-3；-2解析：關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相等（a=-3），橫坐標(biāo)互為相反數(shù)（b=-2）。6.答案：1條對稱軸，即底邊BC的垂直平分線（或頂角∠BAC的平分線、底邊上的高）解析：△ABC是等腰三角形（AB=AC），等腰三角形只有1條對稱軸，即底邊BC的垂直平分線，這條線同時也是頂角∠BAC的平分線和底邊上的高。二、等腰三角形的性質(zhì)與判定7.答案：50解析：底角=(180°-頂角)/2=(180°-80°)/2=50°。8.答案：110解析：頂角=180°-2×底角=180°-2×35°=110°。9.答案：B解析：A選項∠C=90°，不是等腰三角形；B選項∠C=180°-40°-70°=70°，∠B=∠C，是等腰三角形；C選項三邊不等，不是；D選項AB+BC=AC，不能構(gòu)成三角形。10.答案：5解析：AB=AC，AD是中線，故AD⊥BC（三線合一），BD=BC/2=3。在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2=42+32=25，故AB=5。11.答案：22.5°解析：△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°。AD=AC，故△ADC是等腰三角形，∠ACD=∠ADC=(180°-∠A)/2=(180°-45°)/2=67.5°?！螧CD=∠ACB-∠ACD=90°-67.5°=22.5°。12.證明：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC（等角對等邊）?！連D=CE，∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE?！唷螦DE=∠AED（等邊對等角）?！摺螧DE=180°-∠ADE，∠BED=180°-∠AED，∴∠BDE=∠BED?！唷鰾DE是等腰三角形（等角對等邊）。三、軸對稱與等腰三角形綜合應(yīng)用13.答案：作A關(guān)于l的對稱點A'，連接A'B交l于P，P即為所求。理由：由軸對稱性質(zhì)，AP=A'P，故AP+BP=A'P+BP=A'B。根據(jù)兩點之間線段最短，A'B是最短路徑，故P點即為所求。14.答案：3解析：長方形ABCD中，AD∥BC，故∠ADB=∠CBD。折疊后，∠CBD=∠C'BD，故∠ADB=∠C'BD，因此BE=DE（等角對等邊）。設(shè)AE=x，則DE=AD-AE=8-x，BE=8-x。在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即42+x2=(8-x)2，解得x=3。故AE=3。15.答案：105°解析：AB=AC，∠BAC=120°，故∠ABC=∠ACB=(180°-120°)/2=30°。BD=BA，故△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA=(180°-∠ABD)/2=(180°-30°)/2=75°?！螦DC=180°-∠BDA=180°-75°=105°（或用△ADC內(nèi)角和：∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-75°=45°，∠ACB=30°，故∠ADC=180°-45°-30°=105°）。