數(shù)學第第頁《軸對稱》等邊三角形A卷（基礎(chǔ)）一、選擇題1.若一個三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為60°，那么這個三角形一定為（）A.鈍角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等邊三角形【答案】D【解析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為等邊三角形.故選：D.【知識點】等邊三角形的判定【難度】★【題型】選擇題2.如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，若AB=6cm，則BD的長度為（）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm【答案】C【解析】∵等邊△ABC，∴∠B=60°.∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°.∵AD=6cm，∴BD=AB=3cm.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)【難度】★【題型】選擇題3.如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC=（）A.20° B.25° C.30° D.35°【答案】C【解析】在等邊△ABC中，∠ABC=60°，∵BD是AC邊上的高，∴BD平分∠ABC.∴∠CBD=∠ABC=30°.∵BD=ED，∴∠DEC=∠CBD=30°.故選：C.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)【難度】★【題型】選擇題4.△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)為各邊中點，則圖中共有等邊三角形（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【答案】D【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC.又∵D，E，F(xiàn)為各邊中點，∴AE=EB=BF=FC=CD=DA.又∵DE，DF，EF分別為中位線，∴DE=BC，EF=AC，DF=AB，即DE=EF=DF.∴AE=EB=BF=FC=CD=DA=DE=EF=FD.∴此圖中所有的三角形均為等邊三角形.因此應(yīng)選擇5個.故選：D.【知識點】等邊三角形的判定【難度】★【題型】選擇題5.5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（）A.4m B.6m C.10m D.12m【答案】B【解析】如圖，作AD⊥BC于點D，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°.又∵AD⊥BC，∴AD=AB=12=6（m）.故選：B.【知識點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)【難度】★【題型】選擇題二、填空題6.如圖，將兩個完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，則拼接后的△ABD的形狀是三角形.【答案】等邊【解析】∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.又∵∠BAC=∠CAD=30°，∴∠BAD=60°.∴△ABD是等邊三角形.故答案為：等邊.【知識點】等邊三角形的判定【難度】★【題型】填空題7.如圖，等邊△ABC的頂點都在坐標軸上，若AB=4，則點B的坐標是，點C的坐標是.【答案】（-2，0）；（2，0）【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=4.又∵所有頂點都在坐標軸上，∴AO垂直平分BC.∴BO=CO=2.∴B（-2，0），C（2，0）.故答案為：（-2，0）；（2，0）.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)【難度】★【題型】填空題8.如圖，l1∥l2，等邊△ABC的頂點A，B分別在l1，l2上，∠2=40°，則∠1的度數(shù)為.【答案】20°【解析】如圖，∵l1∥l2，∴∠3=∠2=40°.∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°.∴∠1=∠ABC-∠3=20°.故答案為：20°.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)【難度】★【題型】填空題三、解答題9.如圖，等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE=CD，DF⊥BE，垂足是F，求證：BF=EF.【答案】證明：∵在等邊△ABC，且D是AC的中點，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E=30°.∴BD=ED，△BDE為等腰三角形.又∵DF⊥BE，∴F是BE的中點.∴BF=EF.【解析】證明：∵在等邊△ABC，且D是AC的中點，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°.∴∠DBC=∠E=30°.∴BD=ED，△BDE為等腰三角形.又∵DF⊥BE，∴F是BE的中點.∴BF=EF.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【難度】★【題型】解答題10.如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC.（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由.（2）若BC=10，求△ODE的周長.【答案】（1）△ODE是等邊三角形.理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°.∴△ODE為等邊三角形.（2）△ODE的周長=10.【解析】（1）△ODE是等邊三角形.理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°.∴△ODE為等邊三角形.（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∠ABO=∠DBO.∴∠DOB=∠DBO.∴BD=OD；同理可證CE=OE.∴△ODE的周長=BC=10.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)有【難度】★【題型】解答題B卷（鞏固）一、選擇題1.由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作.小穎同學設(shè)計一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可.如圖1，衣架桿OA=OB=18cm（O為衣架的固定點）；如圖2，若衣架收攏時，∠AOB=60°，則此時A，B兩點之間的距離是（）A.9cm B.cm C.18cm D.cm【答案】C【解析】連接AB.∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形.∴AB=OA=OB=18cm.故選：C.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)【難度】★★【題型】選擇題2.如圖，將一個等邊三角形紙片剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是（）A.180° B.220° C.240° D.300°【答案】C【解析】∵等邊三角形的頂角為60°，∴兩底角的和=180°-60°=120°.∴∠1+∠2=360°-120°=240°.故選：C.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和【難度】★★【題型】選擇題3.如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC=40°，則∠ADB的度數(shù)為（）A.25° B.60° C.90° D.100°【答案】D【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=60°.∵∠ADB=∠DBC+∠C，∠DBC=40°，∴∠ADB=40°+60°=100°.故選：D.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)【難度】★★【題型】選擇題4.關(guān)于等邊三角形的說法：（1）等邊三角形有三條對稱軸；（2）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；（3）有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形；（4）等邊三角形兩邊中線上的交點到三邊的距離相等.其中正確的說法有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形三條邊都相等，三個內(nèi)角都相等，每一個角為60度.（2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一）.（3）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線.由此分析判定（1）（2）（3）（4）都正確，所以正確的說法有4個.故選：D.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)【難度】★★【題型】選擇題5.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E的度數(shù)為（）A.25° B.20° C.15° D.7.5°【答案】C【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°.∵∠ACB=∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG=60°.∵CG=CD，∴∠CGD=∠CDG=30°.∵∠CDG=∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E=30°.∵DF=DE，∴∠E=∠DFE=15°.故選：C.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)【難度】★★【題型】選擇題6.如圖，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分別以點A，C為圓心，AC的長為半徑作弧，兩弧交于點D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（）A.6 B.9 C.6 D.3【答案】D【解析】連接BD交AC于點O.∵AD=CD，AB=BC，∴BD垂直平分AC.∴BD⊥AC，AO=CO.∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC=30°.∵AC=AD=CD，∴△ACD是等邊三角形.∴∠DAC=∠DCA=60°.∴∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB=30°.∵AB=BC=，∴AD=CD=AB=3.∴四邊形ABCD的面積=2×=3.故選：D.【知識點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)【難度】★★【題型】選擇題7.如圖，△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，PD+PE+PF=6，則△ABC的周長是（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】B【解析】延長FP交BC于點N，延長EP交AB于點M，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四邊形PMBD，四邊形PNCE是平行四邊形.∴CN=PE，BD=PM.∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°.∴∠PDN=∠B=60°，∠PND=∠C=60°.∴∠DPN=180°-∠PDN-∠PND=60°.∴△PDN是等邊三角形.同理：△PFM是等邊三角形.∴PD=DN，PF=MP.∴PF=BD.∴BC=BD+DN+CN=PF+PD+PE=6.∴△ABC的周長為6×3=18，即△ABC的周長是18.故選：B.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)【難度】★★【題型】選擇題8.如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B，C，D在同一條直線上，AD與BE相交于點G，BE與AC相交于點F，AD與CE相交于點H，連接FH.給出下列結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②∠AGB=60°；③BF=AH；④△CFH是等邊三角形.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】∵△ABC和△DCE是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC，CE=CD.∴∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）.故①正確.∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH.∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正確.在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA）.∴CF=CH，BF=AH.故③正確.∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等邊三角形.故④正確.故選：D.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)【難度】★★【題型】選擇題二、填空題9.將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α=60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為cm.【答案】2【解析】∵直尺的兩對邊相互平行，∴∠ACB=∠α=60°.∵∠A=60°，∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°.∴∠A=∠ABC=∠ACB.∴△ABC是等邊三角形.∴AB=BC=3-1=2（cm）.故答案為：2.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)【難度】★★【題型】填空題10.如圖，等邊△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，CD，BE交于點O，則∠BOC的度數(shù)是度.【答案】120°【解析】∵△ABC為等邊三角形，點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴∠ADC=∠BEA=90°.∵在四邊形ADOE中，∠A=60°，∠ADC=∠BEA=90°，∴∠DOE=360°-60°-90°-90°=120°.∵對頂角相等，∴∠BOC=120°.故答案為：120°.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)【難度】★★【題型】填空題11.如圖，∠AOB=60°，點C是BO延長線上的一點，OC=6cm，動點P從點C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動，如果點P，Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t=s時，△POQ是等邊三角形.【答案】6【解析】點P，Q運動的時間是ts，由題意，得t=2t-6.解得t=6.即當P，Q運動的時間是6s時，△POQ是等邊三角形.故答案為：6.【知識點】等邊三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)【難度】★★【題型】填空題12.如圖，△ABC與△DEF為等邊三角形，其邊長分別為a，b，則△AEF的周長為.【答案】a+b【解析】∵△ABC與△DEF為等邊三角形，∴∠A=∠B，EF=DF.∵∠BFD+∠BDF=120°，∠BFD+∠AFE=120°，∴∠BDF=∠AFE.∴△AEF≌△BFD（AAS）.∴AF=BD，AE=BF.∴△AEF的周長=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b.故答案為：a+b.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)【難度】★★【題型】填空題三、解答題13.如圖，已知D為BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)為垂足，且BE=CF，∠BDE=30°，求證：△ABC是等邊三角形.【答案】∵D是BC的中點，∴BD=CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形.在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.∴∠B=∠C.∴AB=AC（等角對等邊）.∵∠BDE=30°，DE⊥AB，∴∠B=60°.∴△ABC是等邊三角形.【解析】證明：∵D是BC的中點，∴BD=CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形.在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.∴∠B=∠C.∴AB=AC（等角對等邊）.∵∠BDE=30°，DE⊥AB，∴∠B=60°.∴△ABC是等邊三角形.【知識點】等邊三角形的判定【難度】★★【題型】解答題14.如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.（1）求∠F的度數(shù).（2）若CD=3，求DF的長.【答案】（1）∠F=30°.（2）DF=6.【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形.∴ED=DC=3.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=6.【知識點】含30度角的直角三角形；等邊三角形的判定與性質(zhì)【難度】★★【題型】解答題15.已知：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動.設(shè)點P的運動時間為t（s），解答問題：當t為何值時，△PBQ是直角三角形？【答案】當t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形.【解析】根據(jù)題意得AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3-t）cm.△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，當∠BQP=90°時，BQ=BP，即t=（3-t），t=1（秒）.當∠BPQ=90°時，BP=BQ，3﹣t=t，t=2（秒）.答：當t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形.【知識點】等邊三角形的性質(zhì)【難度】★★【題型】解答題C卷（拓展）一、選擇題1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點A1作x軸的垂線，垂足為點O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點A2作x軸的垂線，垂足為點O2，以O(shè)2A2為邊在右側(cè)作等邊三角形O2A2A3，…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形O2019A2019A2020，則點A2020的縱坐標為（）A.（）2018 B.（）2019 C.（）2020 D.（）2021【答案】B【解析】∵三角形OAA1是等邊三角形，∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°.∴∠O1OA1=30°.在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，∴O1A1=OA1=1，即點A1的縱坐標為1.同理，O2A2=O1A2=（）1，O3A3=O2A3=（）2，即點A2的縱坐標為（）1.點A3的縱坐標為（）2，…∴點A2020的縱坐標為（）2019.故選：B.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；規(guī)律型點的坐標【難度】★★★【題型】選擇題2.已知如圖等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB=AO+AP.其中正確的是（）A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④【答案】A【解析】①如圖1，連接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°.∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°.∵OP=OC，∴OB=OC=OP.∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO.∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°.故①正確.②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∵點O是線段AD上一點，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確.③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°.∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°.∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°.∵OP=OC，∴△OPC是等邊三角形.故③正確.④如圖2，在AC上截取AE=PA，連接PE，∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，∴△APE是等邊三角形.∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA.∴∠APO+∠OPE=60°.∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE.∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS）.∴AO=CE.∴AB=AC=AE+CE=AO+AP.故④正確.本題正確的結(jié)論有：①③④.故選：A.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【難度】★★★【題型】選擇題二、填空題3.如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC內(nèi)的兩點，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，則BC的長是cm.【答案】8【解析】延長DE交BC于點M，延長AE交BC于點N.∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN.∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM為等邊三角形.∴BD=DM=BM=5.∵DE=3，∴EM=2.∵△BDM為等邊三角形，∴∠DMB=60°.∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°.∴∠NEM=30°.∴NM=1.∴BN=4.∴BC=2BN=8（cm）.故答案為8.【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【難度】★★★【題型】填空題4.如圖，已知：∠MON=30°，點A1，A2，A3，…在射線OM上，點B1，B2，B3，…在射線ON上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均為等邊三角形，若OB1=1，則△A8B8B9的邊長為.【答案】128【解析】設(shè)等邊三角形的邊長依次為a1，a2，a3，…，∵△A1B1B2是等邊三角形，∴B1A1=B2A1，∠3=∠4=∠12=60°.∴∠2=120°.∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°.又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°.∵∠MON=∠1=30°，∴OB1=B1A1=1.∴B2A1=1.∵△B2A2B3，△B3A3B4是等邊三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°.∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3.∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°.∴a2=2a1，a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1.