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文檔簡(jiǎn)介
倍數(shù)與因數(shù)教學(xué)課件課程目標(biāo)1掌握基本定義理解因數(shù)與倍數(shù)的基本概念,能夠準(zhǔn)確表述其定義及關(guān)系。通過(guò)學(xué)習(xí),能夠清晰區(qū)分兩者的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系,建立堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2學(xué)會(huì)判斷與求取方法掌握判斷一個(gè)數(shù)是否為另一個(gè)數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)的方法,并能熟練運(yùn)用相關(guān)算法求取特定數(shù)字的全部因數(shù)或特定范圍內(nèi)的倍數(shù)。3培養(yǎng)數(shù)感及推理遷移能力通過(guò)因數(shù)與倍數(shù)的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感,增強(qiáng)數(shù)學(xué)直覺(jué),提高邏輯推理能力。學(xué)會(huì)將所學(xué)知識(shí)遷移應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中,解決現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)難題。什么是因數(shù)因數(shù)的定義如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除(即a÷b的余數(shù)為0),則稱b是a的因數(shù)(也稱約數(shù))。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō):如果b能把a(bǔ)除盡(沒(méi)有余數(shù)),那么b就是a的因數(shù)。從代數(shù)角度:若存在整數(shù)k,使得a=b×k,則b是a的因數(shù)。舉例說(shuō)明例1:6是18的因數(shù)因?yàn)?8÷6=3(無(wú)余數(shù))或者說(shuō)18=6×3例2:4是12的因數(shù)因?yàn)?2÷4=3(無(wú)余數(shù))或者說(shuō)12=4×3什么是倍數(shù)倍數(shù)的定義如果一個(gè)數(shù)可被另一個(gè)數(shù)整除,則這個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō):若a÷b的余數(shù)為0,則a是b的倍數(shù)。從代數(shù)角度:若存在整數(shù)k,使得a=b×k,則a是b的倍數(shù)。倍數(shù)關(guān)系表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的整數(shù)倍。例如,10是5的2倍,所以10是5的倍數(shù)。舉例說(shuō)明例1:18是6的倍數(shù)因?yàn)?8÷6=3(無(wú)余數(shù))或者說(shuō)18=6×3例2:30是5的倍數(shù)因?yàn)?0÷5=6(無(wú)余數(shù))或者說(shuō)30=5×6因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系相互依存因數(shù)與倍數(shù)是一種相對(duì)關(guān)系,互為對(duì)應(yīng)。如果a是b的因數(shù),那么b就是a的倍數(shù);反之亦然。數(shù)學(xué)表達(dá)若a÷b=c(無(wú)余數(shù)),則b是a的因數(shù),a是b的倍數(shù),也可表示為a=b×c?;Q視角看待同一個(gè)等式,從不同角度可以得出因數(shù)或倍數(shù)關(guān)系。這種思維轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)思維的重要訓(xùn)練。典型例子例1:2×6=12?2是12的因數(shù)?6是12的因數(shù)?12是2的倍數(shù)?12是6的倍數(shù)例2:3×7=21?3是21的因數(shù)?7是21的因數(shù)?21是3的倍數(shù)?21是7的倍數(shù)例3:5×9=45?5是45的因數(shù)?9是45的因數(shù)?45是5的倍數(shù)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)方法基本方法要求一個(gè)數(shù)的所有因數(shù),我們可以從1開始,逐一嘗試整除這個(gè)數(shù),直到該數(shù)本身。當(dāng)除得的商為整數(shù)(沒(méi)有余數(shù))時(shí),該除數(shù)就是其因數(shù)。更高效的方法實(shí)際上,我們只需要嘗試到該數(shù)的平方根即可。因?yàn)槿绻鹍是n的因數(shù),那么n÷d也是n的因數(shù)。找到一個(gè)小因數(shù)的同時(shí),也就找到了一個(gè)大因數(shù)。步驟示例從1開始,逐一嘗試整除目標(biāo)數(shù)若能整除(余數(shù)為0),則記錄下該除數(shù)同時(shí)記錄商(目標(biāo)數(shù)÷除數(shù))也是因數(shù)繼續(xù)嘗試下一個(gè)數(shù),直到除數(shù)≥商為止實(shí)例:求16的所有因數(shù)116÷1=16(整除)1和16都是因數(shù)216÷2=8(整除)2和8都是因數(shù)316÷3=5...1(不整除)3不是16的因數(shù)416÷4=4(整除)4是16的因數(shù)求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)方法基本方法求一個(gè)數(shù)的倍數(shù),只需將該數(shù)與自然數(shù)1、2、3、4...依次相乘,得到的結(jié)果就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。理論上,任何數(shù)都有無(wú)窮多個(gè)倍數(shù)。步驟示例取目標(biāo)數(shù)n分別計(jì)算n×1,n×2,n×3...得到的每一個(gè)結(jié)果都是n的倍數(shù)可以一直計(jì)算下去,獲得無(wú)限多個(gè)倍數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中,我們通常只需要求特定范圍內(nèi)的倍數(shù),比如不超過(guò)100的所有倍數(shù),或者前10個(gè)倍數(shù)等。實(shí)例:求5的前8個(gè)倍數(shù)5×1=55×5=255×2=105×6=305×3=155×7=355×4=205×8=40結(jié)論:5的前8個(gè)倍數(shù)是5、10、15、20、25、30、35、401是所有整數(shù)的因數(shù)嗎?1的特殊性是的,1是每個(gè)正整數(shù)的因數(shù)。這是因?yàn)槿魏握麛?shù)都可以被1整除而沒(méi)有余數(shù)。用代數(shù)表示,對(duì)于任意正整數(shù)n,都有n=1×n。數(shù)學(xué)角度解析從數(shù)學(xué)角度,1被稱為"單位元",它與任何數(shù)相乘都不改變?cè)摂?shù)的值。正是這個(gè)特性使得1成為所有整數(shù)的因數(shù)。注意:雖然1是每個(gè)整數(shù)的因數(shù),但在小學(xué)階段,我們通常不將1本身稱為質(zhì)數(shù)或合數(shù),而是單獨(dú)看待。思考題:1的因數(shù)有幾個(gè)?分析過(guò)程要找出1的因數(shù),我們需要找出所有能整除1的正整數(shù)。嘗試:1÷1=1(整除)所以,1的因數(shù)只有1本身。答案:1個(gè)1的因數(shù)只有1本身。這也是1的一個(gè)特殊性質(zhì),它是唯一一個(gè)因數(shù)個(gè)數(shù)為1的正整數(shù)。思考:為什么其他所有正整數(shù)至少有兩個(gè)因數(shù)?(因?yàn)槠渌麛?shù)n至少有1和n兩個(gè)因數(shù))因數(shù)的個(gè)數(shù)一般規(guī)律隨著數(shù)字的增大,其因數(shù)的個(gè)數(shù)通常也會(huì)增多,但這并不是絕對(duì)的。因數(shù)個(gè)數(shù)的增長(zhǎng)與數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解密切相關(guān)。因數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算如果我們把一個(gè)數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的乘積:n=p??×p??×p??×...那么n的因數(shù)個(gè)數(shù)為(a+1)(b+1)(c+1)...舉例分析?8=23,所以8的因數(shù)個(gè)數(shù)為(3+1)=4個(gè)?12=22×3,所以12的因數(shù)個(gè)數(shù)為(2+1)(1+1)=6個(gè)實(shí)例展示48的因數(shù)個(gè)數(shù)8的因數(shù):1、2、4、8612的因數(shù)個(gè)數(shù)12的因數(shù):1、2、3、4、6、12824的因數(shù)個(gè)數(shù)24的因數(shù):1、2、3、4、6、8、12、24思考:為什么有些數(shù)雖然很大,但因數(shù)個(gè)數(shù)卻很少?例如:97只有兩個(gè)因數(shù)。(因?yàn)?7是質(zhì)數(shù),只有1和它本身是它的因數(shù))倍數(shù)的個(gè)數(shù)倍數(shù)的無(wú)限性與因數(shù)不同,任何非零整數(shù)的倍數(shù)都有無(wú)限多個(gè)。這是因?yàn)槲覀兛梢圆粩嗟貙⒃摂?shù)與越來(lái)越大的整數(shù)相乘,得到無(wú)限多個(gè)倍數(shù)。數(shù)學(xué)原理對(duì)于任意非零整數(shù)n,其倍數(shù)集合為{n,2n,3n,4n,...},這是一個(gè)無(wú)限集合。實(shí)際應(yīng)用中,我們通常關(guān)注的是特定范圍內(nèi)的倍數(shù),例如不超過(guò)100的倍數(shù),或者前10個(gè)倍數(shù)等。實(shí)例:2的倍數(shù)2的倍數(shù)包括:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24...規(guī)律特點(diǎn)2的倍數(shù)就是所有偶數(shù),這些數(shù)字都滿足"個(gè)位數(shù)字為0、2、4、6、8"的特征。倍數(shù)的模式一個(gè)數(shù)的倍數(shù)通常呈現(xiàn)出周期性的模式。例如,3的倍數(shù)的個(gè)位數(shù)字會(huì)循環(huán)出現(xiàn)"3、6、9、2、5、8、1、4、7、0"的模式。判斷因數(shù)和倍數(shù)的方法基本方法:除法判斷判斷b是否為a的因數(shù),或a是否為b的倍數(shù),最直接的方法是計(jì)算a÷b:如果余數(shù)為0(能整除),則b是a的因數(shù),a是b的倍數(shù)如果余數(shù)不為0(不能整除),則b不是a的因數(shù),a不是b的倍數(shù)實(shí)例演示例:判斷24是否為8的倍數(shù),或8是否為24的因數(shù)計(jì)算:24÷8=3(余數(shù)為0,能整除)結(jié)論:24是8的倍數(shù),8是24的因數(shù)特殊數(shù)的倍數(shù)判斷技巧2的倍數(shù):個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)3的倍數(shù):各位數(shù)字之和能被3整除的數(shù)4的倍數(shù):末兩位能被4整除的數(shù)5的倍數(shù):個(gè)位是0或5的數(shù)10的倍數(shù):個(gè)位是0的數(shù)判斷實(shí)例訓(xùn)練問(wèn)題1判斷36是否是9的倍數(shù)?解:36÷9=4(無(wú)余數(shù))所以36是9的倍數(shù)問(wèn)題2判斷7是否是42的因數(shù)?解:42÷7=6(無(wú)余數(shù))所以7是42的因數(shù)問(wèn)題3判斷15是否是6的倍數(shù)?解:15÷6=2...3(有余數(shù))所以15不是6的倍數(shù)常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)于0的因數(shù)和倍數(shù)在小學(xué)和初中數(shù)學(xué)階段,我們通常不討論0的因數(shù)和倍數(shù)問(wèn)題,這是較為復(fù)雜的概念,留待高年級(jí)學(xué)習(xí)。重要說(shuō)明0不是任何數(shù)的因數(shù)。因?yàn)槿?是a的因數(shù),則存在整數(shù)k使得a=0×k=0,這意味著a只能是0。但我們說(shuō)"0不是任何數(shù)的因數(shù)"是指0不是任何非零整數(shù)的因數(shù)。數(shù)學(xué)上嚴(yán)格來(lái)說(shuō),0是任何非零整數(shù)的倍數(shù),因?yàn)?÷n=0(對(duì)任何非零整數(shù)n)。但在小學(xué)階段,我們不強(qiáng)調(diào)這點(diǎn),以避免混淆。常見(jiàn)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤說(shuō)法?"0是n的倍數(shù)"(在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)避免)?"任何數(shù)都是0的因數(shù)"(錯(cuò)誤,0的因數(shù)是不確定的)?"負(fù)數(shù)不能是因數(shù)或倍數(shù)"(錯(cuò)誤,負(fù)整數(shù)也可以是因數(shù)或倍數(shù))正確認(rèn)識(shí)正確說(shuō)法?"1是任何非零整數(shù)的因數(shù)"?"任何非零整數(shù)都是自己的倍數(shù)"?"一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無(wú)限多個(gè)"嘗試找出指定數(shù)的所有因數(shù)示例:找出32的所有因數(shù)我們可以從1開始,逐一嘗試,看哪些數(shù)能整除32:32÷1=32(整除)1和32都是因數(shù)32÷2=16(整除)2和16都是因數(shù)32÷3=10...2(不整除)3不是32的因數(shù)32÷4=8(整除)4和8都是因數(shù)32÷5=6...2(不整除)5不是32的因數(shù)32÷6=5...2(不整除)6不是32的因數(shù)32÷7=4...4(不整除)7不是32的因數(shù)32÷8=4(整除)8是32的因數(shù)高效方法說(shuō)明實(shí)際上,我們只需要嘗試到√32≈5.66,即只需要嘗試到5。因?yàn)槿绻写笥凇?2的因數(shù)d,那么32÷d必定小于√32,已經(jīng)在之前被檢查過(guò)了。結(jié)論總結(jié)1248163232的所有因數(shù):1、2、4、8、16、32嘗試寫出若干個(gè)倍數(shù)示例:寫出4的前5個(gè)倍數(shù)要找出一個(gè)數(shù)的倍數(shù),我們只需將這個(gè)數(shù)與自然數(shù)1、2、3、4、5...依次相乘:4×1=4第1個(gè)倍數(shù)4×2=8第2個(gè)倍數(shù)4×3=12第3個(gè)倍數(shù)4×4=16第4個(gè)倍數(shù)4×5=20第5個(gè)倍數(shù)因此,4的前5個(gè)倍數(shù)是:4、8、12、16、20倍數(shù)的規(guī)律觀察4的倍數(shù):4、8、12、16、20、24、28、32、36、40...等差性相鄰倍數(shù)之差等于原數(shù)4整除性所有倍數(shù)都能被4整除末位規(guī)律4的倍數(shù)的個(gè)位數(shù)循環(huán)出現(xiàn)0、4、8、2、6應(yīng)用:知道了倍數(shù)規(guī)律,可以快速判斷一個(gè)數(shù)是否是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù),而無(wú)需進(jìn)行除法運(yùn)算。特殊數(shù)字質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中,除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。質(zhì)數(shù)的特點(diǎn)只有兩個(gè)因數(shù):1和它本身最小的質(zhì)數(shù)是2(也是唯一的偶質(zhì)數(shù))質(zhì)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)恰好是2例如:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29等都是質(zhì)數(shù)。合數(shù)合數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中,除了1和它本身外,還有其他因數(shù)的自然數(shù)。合數(shù)的特點(diǎn)因數(shù)個(gè)數(shù)大于2可以表示為兩個(gè)或多個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積最小的合數(shù)是4例如:4、6、8、9、10、12、14、15等都是合數(shù)。實(shí)例比較質(zhì)數(shù)例子:77的因數(shù):1和7因數(shù)個(gè)數(shù):2個(gè)結(jié)論:7是質(zhì)數(shù)合數(shù)例子:1212的因數(shù):1、2、3、4、6、12因數(shù)個(gè)數(shù):6個(gè)結(jié)論:12是合數(shù)特殊情況:11的因數(shù):1因數(shù)個(gè)數(shù):1個(gè)結(jié)論:1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)練習(xí):判斷題題目8的倍數(shù)只有16、24、32、40、48。分析要判斷這個(gè)說(shuō)法是否正確,我們需要考慮以下幾點(diǎn):8的倍數(shù)是指能被8整除的數(shù)8的倍數(shù)包括:8×1=8,8×2=16,8×3=24,8×4=32,8×5=40,8×6=48...由于8可以與任意正整數(shù)相乘,因此8有無(wú)限多個(gè)倍數(shù)題目中遺漏了8本身,而且只列出了有限個(gè)倍數(shù)解答錯(cuò)誤這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤原因:8的倍數(shù)有無(wú)限多個(gè),不僅僅只有題目中列出的這些。題目中遺漏了最基本的倍數(shù)8本身。題目列出的只是部分8的倍數(shù),而非全部。正確表述:8的倍數(shù)包括8、16、24、32、40、48等無(wú)限多個(gè)數(shù)。練習(xí):選擇題題目36÷9=4,36是9的()A.倍數(shù)B.因數(shù)分析要解決這個(gè)問(wèn)題,我們需要回顧因數(shù)和倍數(shù)的定義:如果a÷b=整數(shù)(無(wú)余數(shù)),則b是a的因數(shù),a是b的倍數(shù)在本題中:36÷9=4(無(wú)余數(shù))根據(jù)定義,9是36的因數(shù),36是9的倍數(shù)解答正確答案:A.倍數(shù)詳細(xì)解釋因數(shù)關(guān)系9是36的因數(shù),因?yàn)?6÷9=4(無(wú)余數(shù))。等價(jià)表示:36=9×4倍數(shù)關(guān)系36是9的倍數(shù),因?yàn)?6=9×4。36是9的4倍。易錯(cuò)分析有些學(xué)生可能會(huì)混淆因數(shù)和倍數(shù)的概念。記住:在a÷b=c的關(guān)系中,b是a的因數(shù),a是b的倍數(shù)。生活中的倍數(shù)與因數(shù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景因數(shù)和倍數(shù)的概念在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。無(wú)論是在安排活動(dòng)、物品分配還是時(shí)間規(guī)劃中,都能見(jiàn)到它們的身影。生活中的應(yīng)用實(shí)例節(jié)日與日期農(nóng)歷的節(jié)氣安排、陽(yáng)歷的月份天數(shù)都與倍數(shù)和因數(shù)有關(guān)。例如,一年12個(gè)月是因?yàn)?2有眾多因數(shù)(1、2、3、4、6、12),便于劃分季節(jié)。人員分組24名學(xué)生需要平均分組,可以分成1、2、3、4、6、8、12或24人一組,這些數(shù)字都是24的因數(shù)。例如:24人每隊(duì)8人,正好分成3隊(duì),因?yàn)?4是8的倍數(shù)。游戲活動(dòng)許多拍手游戲和數(shù)數(shù)游戲都應(yīng)用了倍數(shù)概念。如"3的倍數(shù)拍手"游戲,參與者數(shù)到3、6、9等3的倍數(shù)時(shí)需要拍手而不是報(bào)數(shù)。思考你能想到生活中還有哪些應(yīng)用了因數(shù)和倍數(shù)概念的例子?例如購(gòu)物時(shí)的打包、排隊(duì)等情況。小組活動(dòng):數(shù)的分拆活動(dòng)設(shè)計(jì)本活動(dòng)旨在通過(guò)合作學(xué)習(xí)的方式,加深學(xué)生對(duì)因數(shù)和倍數(shù)概念的理解。每個(gè)小組將被分配不同的數(shù)字,需要完成以下任務(wù):活動(dòng)步驟將全班分成4-6人的小組每組抽取兩個(gè)10-100之間的數(shù)字任務(wù)1:寫出抽到的數(shù)字的所有因數(shù)任務(wù)2:寫出抽到的數(shù)字的前10個(gè)倍數(shù)各組展示成果并互相評(píng)價(jià)討論不同數(shù)字的因數(shù)特點(diǎn)和倍數(shù)規(guī)律教師提示:鼓勵(lì)學(xué)生尋找因數(shù)與倍數(shù)之間的關(guān)系,觀察不同數(shù)字的因數(shù)個(gè)數(shù)差異,分析其中的規(guī)律。示例:小組A的工作假設(shè)小組A抽到的數(shù)字是24和35124的因數(shù)1、2、3、4、6、8、12、24共8個(gè)因數(shù)224的倍數(shù)前10個(gè)倍數(shù):24、48、72、96、120、144、168、192、216、240135的因數(shù)1、5、7、35共4個(gè)因數(shù)235的倍數(shù)前10個(gè)倍數(shù):35、70、105、140、175、210、245、280、315、350遷移與拓展:分配問(wèn)題因數(shù)與分配因數(shù)和倍數(shù)的概念在解決分配類問(wèn)題時(shí)非常有用。這類問(wèn)題通常涉及將物品平均分配或組織人員分組等情境。常見(jiàn)問(wèn)題類型均分問(wèn)題:將n個(gè)物品平均分給若干人,每人分得相同數(shù)量分組問(wèn)題:將n個(gè)人分成若干組,每組人數(shù)相同排列問(wèn)題:將n個(gè)物品排成若干行,每行物品數(shù)量相同解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出這個(gè)數(shù)的所有因數(shù),因?yàn)橹挥幸驍?shù)才能作為分組的數(shù)量或每組的人數(shù)。示例問(wèn)題48人分成若干組,每組人數(shù)相同,問(wèn)可以分成幾種不同的分組方式?解題思路要解決這個(gè)問(wèn)題,我們需要找出48的所有因數(shù),因?yàn)槊拷M的人數(shù)必須是48的因數(shù)。48的因數(shù):1、2、3、4、6、8、12、16、24、48每組人數(shù)組數(shù)1人/組48組2人/組24組3人/組16組4人/組12組6人/組8組8人/組6組12人/組4組16人/組3組24人/組2組48人/組1組答案:共10種不同的分組方式有趣的因數(shù)圖像因數(shù)的可視化將抽象的數(shù)學(xué)概念可視化是幫助理解的有效方法。因數(shù)和倍數(shù)也可以通過(guò)各種圖形方式呈現(xiàn),幫助學(xué)生形象地理解其規(guī)律和性質(zhì)。常見(jiàn)可視化形式因數(shù)樹:將數(shù)字分解為因數(shù)的樹狀圖因數(shù)鏈:連接相關(guān)因數(shù)的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)因數(shù)方陣:展示數(shù)的各種因數(shù)分解形式倍數(shù)數(shù)軸:在數(shù)軸上標(biāo)注特定數(shù)的倍數(shù)因數(shù)樹示例以24為例,我們可以將其分解為不同因數(shù)的乘積:24中心數(shù)1×24因數(shù)對(duì)2×12因數(shù)對(duì)3×8因數(shù)對(duì)4×6因數(shù)對(duì)質(zhì)因數(shù)分解樹24的質(zhì)因數(shù)分解:24=23×3或表示為:24=2×2×2×3這種可視化方法可以幫助學(xué)生理解數(shù)的構(gòu)成,以及因數(shù)之間的關(guān)系。拓展:最大因數(shù)、最小倍數(shù)特殊因數(shù)與倍數(shù)在研究因數(shù)和倍數(shù)時(shí),有一些特殊情況值得我們關(guān)注:關(guān)于最大因數(shù)一個(gè)正整數(shù)的最大因數(shù)是它本身。例如:18的最大因數(shù)是187的最大因數(shù)是7100的最大因數(shù)是100關(guān)于最小因數(shù)任何正整數(shù)的最小因數(shù)是1。例如:18的最小因數(shù)是17的最小因數(shù)是1100的最小因數(shù)是1特例:1的唯一因數(shù)是1,所以1的最大因數(shù)和最小因數(shù)都是1。關(guān)于倍數(shù)的特殊情況關(guān)于最小倍數(shù)一個(gè)非零整數(shù)的最小正倍數(shù)是它本身。例如:18的最小正倍數(shù)是187的最小正倍數(shù)是7100的最小正倍數(shù)是100關(guān)于最大倍數(shù)理論上,任何非零整數(shù)都有無(wú)限多個(gè)倍數(shù),所以沒(méi)有最大倍數(shù)的概念。但在實(shí)際問(wèn)題中,我們可能會(huì)限定范圍,例如不超過(guò)1000的最大倍數(shù)。思考問(wèn)題100%一個(gè)數(shù)是自己的倍數(shù)嗎?是的,任何非零數(shù)都是自己的倍數(shù),因?yàn)閚=n×1。100%一個(gè)數(shù)是自己的因數(shù)嗎?是的,任何非零數(shù)都是自己的因數(shù),因?yàn)閚÷n=1(整除)。辨析與討論練習(xí)題:判斷正誤請(qǐng)判斷以下說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明理由:說(shuō)法1如果a是b的因數(shù),那么a一定小于等于b。說(shuō)法2如果a是b的倍數(shù),那么a一定大于等于b。說(shuō)法3一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)總是有限的。說(shuō)法4所有的質(zhì)數(shù)都只有兩個(gè)因數(shù)。說(shuō)法5如果a和b都是c的因數(shù),那么a+b也是c的因數(shù)。分析與答案1說(shuō)法1分析正確。因?yàn)槿绻鸻是b的因數(shù),則b÷a=整數(shù)k,所以b=a×k,其中k≥1,因此a≤b。2說(shuō)法2分析正確。如果a是b的倍數(shù),則a=b×k,其中k≥1,因此a≥b。3說(shuō)法3分析正確。任何正整數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)都是有限的,最多不超過(guò)這個(gè)數(shù)本身。4說(shuō)法4分析正確。質(zhì)數(shù)的定義就是只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)。5說(shuō)法5分析錯(cuò)誤。反例:2和3都是6的因數(shù),但2+3=5不是6的因數(shù)。討論要點(diǎn):這些性質(zhì)對(duì)理解因數(shù)和倍數(shù)的本質(zhì)特征非常重要。鼓勵(lì)學(xué)生舉例驗(yàn)證或?qū)ふ曳蠢?,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和論證能力。難點(diǎn)突破因數(shù)、倍數(shù)的綜合應(yīng)用因數(shù)和倍數(shù)的概念在更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常結(jié)合使用。掌握這些應(yīng)用技巧,能夠幫助學(xué)生解決更高層次的問(wèn)題。常見(jiàn)難點(diǎn)多步驟的因數(shù)倍數(shù)問(wèn)題因數(shù)與倍數(shù)的轉(zhuǎn)換思維間接利用因數(shù)倍數(shù)關(guān)系解題結(jié)合余數(shù)的因數(shù)倍數(shù)問(wèn)題與其他數(shù)學(xué)概念結(jié)合的復(fù)合問(wèn)題突破示例問(wèn)題一個(gè)數(shù)被6除余4,被8除余6,求這個(gè)數(shù)除以24的余數(shù)。解題思路這是一個(gè)結(jié)合因數(shù)、倍數(shù)和余數(shù)的問(wèn)題,需要分步驟分析:設(shè)所求的數(shù)為x根據(jù)x被6除余4,可知x=6k+4(k為非負(fù)整數(shù))根據(jù)x被8除余6,可知x=8m+6(m為非負(fù)整數(shù))從x=6k+4得知x除以6的余數(shù)是4從x=8m+6得知x除以8的余數(shù)是6根據(jù)數(shù)論知識(shí),我們可以找出滿足這兩個(gè)條件的x的通式x=24n+22(n為非負(fù)整數(shù))因此,x除以24的余數(shù)是22答案這個(gè)數(shù)除以24的余數(shù)是22深度挑戰(zhàn):數(shù)字謎題謎題有個(gè)數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)都是18,這個(gè)數(shù)是多少?分析思路要解決這個(gè)問(wèn)題,我們需要分析"最大因數(shù)"和"最小倍數(shù)"的概念:關(guān)于最大因數(shù)如果一個(gè)數(shù)n的最大因數(shù)是18,那么:n必須能被18整除(18是n的因數(shù))n不能有比18更大的因數(shù)這意味著n=18或n=18×質(zhì)數(shù)關(guān)于最小倍數(shù)如果一個(gè)數(shù)n的最小倍數(shù)是18,那么:n必須是18的因數(shù)(18是n的倍數(shù))n不能有比18更小的倍數(shù)這意味著n必須等于18解題過(guò)程讓我們進(jìn)一步分析這兩個(gè)條件的含義:1.最大因數(shù)是18數(shù)n的所有因數(shù)中,最大的是18,這表明:如果n>18,那么n必須是18的倍數(shù)(否則n自身將是大于18的因數(shù))n不能有比18更大的因數(shù),這限制了n的形式2.最小倍數(shù)是18數(shù)n的所有倍數(shù)中,最小的是18,這表明:18必須是n的倍數(shù)n必須是18的因數(shù)這意味著n必須滿足n×k=18,其中k是正整數(shù)結(jié)合兩個(gè)條件如果一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是18,且最小倍數(shù)也是18,那么這個(gè)數(shù)只能是18本身。答案這個(gè)數(shù)是18拓展:因數(shù)倍數(shù)與公因數(shù)公倍數(shù)概念引入在學(xué)習(xí)了因數(shù)和倍數(shù)的基礎(chǔ)概念后,我們可以進(jìn)一步探討公因數(shù)和公倍數(shù)的概念,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。公因數(shù)的概念如果整數(shù)m同時(shí)是整數(shù)a和整數(shù)b的因數(shù),那么m就是a和b的公因數(shù)。例如:12的因數(shù):1、2、3、4、6、1218的因數(shù):1、2、3、6、9、1812和18的公因數(shù):1、2、3、6其中,6是12和18的最大公因數(shù),通常記作(12,18)=6或gcd(12,18)=6。公倍數(shù)的概念如果整數(shù)m同時(shí)是整數(shù)a和整數(shù)b的倍數(shù),那么m就是a和b的公倍數(shù)。例如:4的倍數(shù):4、8、12、16、20、24、28、32、36...6的倍數(shù):6、12、18、24、30、36...4和6的公倍數(shù):12、24、36...其中,12是4和6的最小公倍數(shù),通常記作[4,6]=12或lcm(4,6)=12。兩者的關(guān)系對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)a和b,它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)之間存在關(guān)系:a×b=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)例如:4×6=24=2×121因數(shù)概念一個(gè)數(shù)的因數(shù)是指能整除這個(gè)數(shù)的數(shù)2倍數(shù)概念一個(gè)數(shù)的倍數(shù)是指能被這個(gè)數(shù)整除的數(shù)3公因數(shù)兩個(gè)或多個(gè)數(shù)共有的因數(shù)4公倍數(shù)兩個(gè)或多個(gè)數(shù)共有的倍數(shù)鞏固訓(xùn)練求因數(shù)練習(xí)求36的所有因數(shù)。求25的所有因數(shù)。求60的所有因數(shù)。求17的所有因數(shù)。求100的所有因數(shù)。答案1.36的因數(shù):1、2、3、4、6、9、12、18、362.25的因數(shù):1、5、253.60的因數(shù):1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、604.17的因數(shù):1、175.100的因數(shù):1、2、4、5、10、20、25、50、100寫倍數(shù)練習(xí)寫出7的前5個(gè)倍數(shù)。寫出9的前5個(gè)倍數(shù)。寫出11的前5個(gè)倍數(shù)。寫出3的不超過(guò)50的所有倍數(shù)。寫出6的不超過(guò)60的所有倍數(shù)。答案1.7的前5個(gè)倍數(shù):7、14、21、28、352.9的前5個(gè)倍數(shù):9、18、27、36、453.11的前5個(gè)倍數(shù):11、22、33、44、554.3的不超過(guò)50的倍數(shù):3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、485.6的不超過(guò)60的倍數(shù):6、12、18、24、30、36、42、48、54、60綜合訓(xùn)練1判斷判斷15是否是45的因數(shù)。解:45÷15=3(無(wú)余數(shù)),所以15是45的因數(shù)。2填空一個(gè)數(shù)的因數(shù)有1、2、3、4、6、12,這個(gè)數(shù)是________。解:這個(gè)數(shù)是12。3應(yīng)用一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)的長(zhǎng)是48米,寬是36米。如果要用邊長(zhǎng)相同的正方形瓷磚鋪滿,那么瓷磚的邊長(zhǎng)最大可以是多少米?解:需要找出48和36的最大公因數(shù),即12米。自主探究探究主題如何快速分辨某數(shù)是否為另一個(gè)數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)?探究目標(biāo)探索判斷因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的快速方法發(fā)現(xiàn)數(shù)字末位特征與因數(shù)倍數(shù)關(guān)系的聯(lián)系總結(jié)特定數(shù)(如2、3、4、5、9等)的倍數(shù)判別法則理解這些判別法則的數(shù)學(xué)原理探究方式小組討論形式,4-5人一組,各組可選擇不同的數(shù)
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