第二章

一元二次方程第9課

一元二次方程的應(yīng)用(1)——行程、動點等問題

知識點1

行程問題

1．

【例1】如圖，某海關(guān)緝私艇在點O處發(fā)現(xiàn)在正北方向30海里

的A處有一艘可疑船只，測得它正以60海里/時的速度向正東方航行，

隨即調(diào)整方向，以75海里/時的速度準(zhǔn)備在B處迎頭攔截．經(jīng)過多少小

時能追上？

解：設(shè)經(jīng)過x小時能追上，則OB＝75x，AB＝60x.

在Rt△ABO中，OB2＝OA2＋AB2.∴(75x)2＝302＋(60x)2.

2．

如圖，某市區(qū)南北走向的北京路與東西走向的喀什路相交于O

處．甲沿著喀什路以4m/s的速度由西向東走，乙沿著北京路以3m/s的速

度由南向北走．當(dāng)乙走到點O以北50m處時，甲恰好到點O處．若兩人

繼續(xù)向前行走，求兩人相距85m時各自的位置．

解：設(shè)經(jīng)過xs兩人相距85m．

根據(jù)題意，得(4x)2＋(50＋3x)2＝852.

整理，得x2＋12x－189＝0.

解得x1＝9，x2＝－21(舍去)．∴4x＝36，50＋3x＝77.

答：當(dāng)兩人相距85m時，甲在點O以東36m處，乙在點O以北77

m處．

知識點2

幾何動點問題

解：設(shè)運動時間為ts，則PC＝8－0.2t，QC＝6－0.1t.

整理，得t2－100t＋900＝0.

解得t1＝10，t2＝90(舍去)．

4．

如圖，在菱形ABCD中，AC，BD交于點O，AC＝8cm，BD

＝6cm，動點M從點A出發(fā)沿AC以2cm/s的速度勻速運動到點C，動點

N從點B出發(fā)沿BO以1cm/s的速度勻速運動到點O，當(dāng)其中一點停止運

動時，另一點也隨即停止運動．若點M，N同時出發(fā)，則出發(fā)幾秒時，

△MCN的面積為2cm2?

解：設(shè)出發(fā)xs時，△MCN的面積為2cm2，則x<3.

整理，得x2－7x＋10＝0.

解得x1＝2，x2＝5(舍去)．

答：出發(fā)2s時，△MCN的面積為2cm2.

知識點3

數(shù)字問題

5．

【例3】有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果

把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)得1

855，求這個兩位數(shù)．

解：設(shè)原來個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為8－x.

由題意，得[10(8－x)＋x](10x＋8－x)＝1855.

整理，得x2－8x＋15＝0.解得x1＝3，x2＝5.∴原來十位上的數(shù)字為5或3.

答：這個兩位數(shù)為53或35.

6．

已知兩個數(shù)的差是2，積是143，求這兩個數(shù)．

解：設(shè)兩數(shù)中較小的為x，則較大的數(shù)為x＋2.

根據(jù)題意，得x(x＋2)＝143.

整理，得(x＋1)2＝144.

解得x1＝11，x2＝－13.

當(dāng)x＝11時，x＋2＝13.

當(dāng)x＝－13時，x＋2＝－11.∴這兩個數(shù)為11，13或－13，－11.

1．

傳播問題某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)

每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程(

C

)A.x＋(1＋x)＝36B．

2(1＋x)＝36C.1＋x＋x(1＋x)＝36D．

1＋x＋x2＝36C

2．

(循環(huán)問題)某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛機場之間

都開辟一條航線，一共開辟了28條航線，則這個航空公司共有飛機

場

?個．8

3．

跨學(xué)科讀詩詞解題：(通過列方程，算出周瑜去世時的年齡)

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；

十位恰小個位三，個位平方與壽符；

哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？(注：而立之年是指30歲)

解：設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x－3.

根據(jù)題意，得x2＝10(x－3)＋x.

整理，得x2－11x＋30＝0.解得x1＝5，x2＝6.

當(dāng)x＝5時，周瑜去世時的年齡為25歲，25＜30，不符合題意，舍

去．

當(dāng)x＝6時，周瑜去世時的年齡為36歲，36＞30，符合題意．

答：周瑜去世時的年齡為36歲．

4．

如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，點P從點A

出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向終點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)沿

BC以1cm/s的速度向終點C勻速運動，P，Q中有一點到達終點時，另

一點隨之停止運動．則幾秒后，點P，D之間的距離是點P，Q之間的

距離的2倍？

解：設(shè)t秒后點P，D之間的距離是點P，Q之間的距離的2倍，即

PD＝2PQ.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°.

∴PD2