專題2.6指數(shù)運算與對數(shù)運算TOC\o"12"\h\z\u題型1根式的運算 4題型2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡與求值 7題型3對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式的應(yīng)用 10題型4指數(shù)對數(shù)運算的實際應(yīng)用 13高考真題演練 18知識點一根式1.根式的定義：式子叫作根式，這里叫作根指數(shù)，叫作被開方數(shù).知識點二指數(shù)冪1.整數(shù)指數(shù)冪2.有理數(shù)指數(shù)冪(3)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r，s，均有以下的運算性質(zhì).知識點三無理數(shù)指數(shù)冪及實數(shù)指數(shù)冪1.無理數(shù)指數(shù)冪2.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪.知識點四對數(shù)的概念2．常用對數(shù)與自然對數(shù)3．對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系對數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化而來，則底數(shù)、指數(shù)或?qū)?shù)、冪或真數(shù)的范圍不變，只是位置和名稱發(fā)生了變換．4．對數(shù)的基本性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù).知識點五對數(shù)的運算性質(zhì)對數(shù)運算中的常見公式及推廣知識點六對數(shù)的換底公式換底公式的證明(對數(shù)的定義和指數(shù)、對數(shù)的互化)：題型1根式的運算【答案】B【知識點】根式的化簡求值、指數(shù)冪的化簡、求值、對數(shù)的運算【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則化簡求值即可.故選：BA． B． C． D．1【答案】ABC【知識點】根式的化簡求值【分析】應(yīng)用根式的運算即可.故選：ABC3．求下列各式的值；【答案】(1)【知識點】根式的化簡求值【答案】【知識點】根式的化簡求值【知識點】根式的化簡求值【分析】通過根式的化簡與運算即可得出結(jié)論.【知識點】根式的化簡求值題型2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的化簡與求值7．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：【答案】(1)【知識點】指數(shù)冪的運算、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】應(yīng)用指數(shù)冪運算律計算求解；8．（2023·山東·模擬預(yù)測）計算：【答案】(1)1【知識點】指數(shù)冪的化簡、求值、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化、根式的化簡求值【分析】（1）利用根式與指數(shù)冪運算法則計算即可得出結(jié)果；（2）由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，計算化簡即可得出答案.（2）由根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化運算可得，9．計算下列各式：【答案】(1)【知識點】指數(shù)冪的運算、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）利用指數(shù)運算性質(zhì)即可得出；（2）利用指數(shù)運算性質(zhì)即可得出.10．計算或化簡．(2)(3)【知識點】指數(shù)冪的運算、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】（1）（2）利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)可化簡所求代數(shù)式；11．（多選）（2025高三?全國?專題練習(xí)）下列運算正確的是（

）【答案】BD【知識點】指數(shù)冪的運算、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化、指數(shù)冪的化簡、求值【分析】由指數(shù)冪的運算性質(zhì)對選項一一計算即可得出答案.故選：BD.題型3對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式的應(yīng)用【答案】【知識點】對數(shù)的運算、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式，求出實數(shù)、滿足的等量關(guān)系，再利用基本不等式求出最小值.故答案為：4.A．15 B． C． D．【答案】C【知識點】指數(shù)冪的運算、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算【分析】結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化及指數(shù)運算性質(zhì)即可求解.故選：C.【答案】D【知識點】對數(shù)的運算【分析】結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)即可得解．故選：D．15．（多選）下列等式成立的是（）【答案】AC【知識點】對數(shù)的運算、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、運用換底公式化簡計算【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算逐項計算.故選：AC【答案】（1）；（2）1【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、運用換底公式化簡計算【分析】（1）運用對數(shù)運算公式及換底公式計算即可.（2）運用完全平方公式及對數(shù)運算公式計算即可.17．求下列各式的值.(2)1(3)52【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、運用換底公式化簡計算【分析】（1）（2）（3）利用對數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合換底公式求解即可.(1)①試用以k為底的一個對數(shù)表示；【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、運用換底公式化簡計算題型4指數(shù)對數(shù)運算的實際應(yīng)用A．21小時 B．22小時 C．23小時 D．24小時【答案】A【知識點】指數(shù)冪的運算、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.故選：A.A．300 B．450 C．600 D．750【答案】C【知識點】指數(shù)冪的化簡、求值、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）故選：C.A．100小時 B．300小時 C．1000小時 D．3000小時【答案】C【知識點】對數(shù)的運算、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】利用對數(shù)性質(zhì)求解指數(shù)方程可得答案.故選：C.A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍【答案】C【知識點】對數(shù)的運算、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件分別求出“聲強級數(shù)”和“聲強級數(shù)”對應(yīng)的聲強，再計算它們的倍數(shù)關(guān)系.故“聲強級數(shù)”的聲強是“聲強級數(shù)”的聲強的100倍.故選：C.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】依據(jù)香農(nóng)定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)代入計算即可.【詳解】設(shè)原始狀態(tài)信道容量為，提升后信道容量為，所以大約需將信號的信噪比提升至原來的6倍.故選：BA．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米【答案】A【知識點】對數(shù)的運算、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【詳解】設(shè)同學(xué)不用喇叭時的聲強為，噴出泉水高度為，則同學(xué)用喇叭時的聲強為，噴出泉水高度為2米.故選：A.A．87 B．88 C．89 D．90【答案】C.【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用故選：C.一、單選題A． B． C． D．【答案】B【知識點】指數(shù)冪的運算、指數(shù)式與對數(shù)式的互化【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運算性質(zhì)即可得解故選：B.【點睛】本題考查的是有關(guān)指對式的運算的問題，涉及到的知識點有對數(shù)的運算法則，指數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題目.A．25 B．5 C． D．【答案】C【知識點】指數(shù)冪的化簡、求值、指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出．故選：C.【答案】C【知識點】運用換底公式化簡計算【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.故選：C.A．1 B． C．2 D．【答案】C【知識點】對數(shù)的運算、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.故選：C5．（2020·全國III卷·高考真題）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【知識點】運用換底公式化簡計算、比較對數(shù)式的大小故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.【答案】A【知識點】對數(shù)的運算故選A.【點睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、利用給定函數(shù)模型解決實際問題設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天，故選：B.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.A．2h B．4h C．20h D．40h【答案】B【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實際問題【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時所需的時間，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.故選：B.9．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）【答案】D【知識點】對數(shù)的運算、根據(jù)折線統(tǒng)計圖解決實際問題【分析】根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項.故選：DA．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.【答案】D【知識點】比較指數(shù)冪的大小、指數(shù)式與對數(shù)式的互化故選：D.二、多選題聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040【答案】ACD【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（2）、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式故選：ACD.三、填空題【答案】2【知識點】運用換底公式化簡計算【分析】利用換底公式直接求解即可.故答案為：