第2課時(shí)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.2.能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的物理意義，能指出簡諧運(yùn)動(dòng)中的振幅、周期、相位、初相．知識(shí)點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象思考1用“五點(diǎn)法”作y＝sinx，x∈[0,2π]時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次取哪幾個(gè)值？思考2用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵的橫坐標(biāo)取哪幾個(gè)值？梳理用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的步驟第一步：列表：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π,ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π,ω)－eq\f(φ,ω)y0A0－A0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．第三步：用光滑曲線連結(jié)這些點(diǎn)，形成圖象．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性質(zhì)名稱性質(zhì)定義域________值域________周期性T＝________對(duì)稱性對(duì)稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)對(duì)稱軸____________________________奇偶性當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)是________函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)是________函數(shù)單調(diào)性通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數(shù)的物理意義一個(gè)彈簧振子作簡諧振動(dòng)，如圖所示，該彈簧振子離開平衡位置的位移隨時(shí)間t變化的圖象如下：思考做簡諧振動(dòng)的物體離開平衡位置的位移s與時(shí)間t滿足s＝2sineq\f(πt,2)，圖象中縱坐標(biāo)2和橫坐標(biāo)4各具有怎樣的物理意義？梳理設(shè)物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．其中A是物體振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的____________，稱為振動(dòng)的________；往復(fù)振動(dòng)一次所需的________T＝eq\f(2π,ω)稱為這個(gè)振動(dòng)的________；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的________f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)稱為振動(dòng)的________；ωt＋φ稱為__________，t＝0時(shí)的相位φ稱為________．類型一用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)的圖象例1利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y＝3sin(eq\f(x,2)－eq\f(π,3))在一個(gè)周期內(nèi)的草圖．反思與感悟(1)用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，五點(diǎn)的確定，應(yīng)先令ωx＋φ分別為0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，解出x，從而確定這五點(diǎn)．(2)作給定區(qū)間上y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，若x∈[m，n]，則應(yīng)先求出ωx＋φ的相應(yīng)范圍，在求出的范圍內(nèi)確定關(guān)鍵點(diǎn)，再確定x，y的值，描點(diǎn)、連線并作出函數(shù)的圖象．跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)＝1＋eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))，畫出f(x)在x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上的圖象．類型二由圖象求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的圖象，求A，ω，φ的值，并確定其函數(shù)解析式．反思與感悟若設(shè)所求解析式為y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ.(1)由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.(2)由函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)確定T，由T＝eq\f(2π,|ω|)，確定ω.(3)確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的兩種方法①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω已知)或代入圖象與x軸的交點(diǎn)求解．(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)②五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0))作為突破口．“五點(diǎn)”的ωx＋φ的值具體如下：“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五點(diǎn)”為ωx＋φ＝2π.跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為________．類型三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的圖象過點(diǎn)P(eq\f(π,12)，0)，圖象上與P點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(π,3)，5)．(1)求函數(shù)解析式；(2)指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(3)求使y≤0的x的取值范圍．反思與感悟有關(guān)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)的問題，要充分利用正弦曲線的性質(zhì)，要特別注意整體代換思想．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(π,8).(1)求φ的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值．1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,0<φ<π)的圖象的一段如圖所示，它的解析式是_________．2．函數(shù)y＝－2sin(eq\f(π,4)－eq\f(x,2))的周期、振幅、初相分別是________________．3．若函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖，則ω＝________.4．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期為π，則f(eq\f(π,3))＝________.5.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示．(1)求f(x)的解析式；(2)寫出f(x)的單調(diào)增區(qū)間．1．利用“五點(diǎn)”作圖法作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，要先令“ωx＋φ”這一個(gè)整體依次取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π，再求出x的值，這樣才能得到確定圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，而不是先確定x的值，后求“ωx＋φ”的值．2．由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象確定解析式關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，ω，φ的值．(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因?yàn)門＝eq\f(2π,ω)，所以往往通過求得周期T來確定ω，可通過已知曲線與x軸的交點(diǎn)從而確定T，即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為eq\f(T,2)；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T.(3)從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(－eq\f(φ,ω)，0)(也叫初始點(diǎn))作為突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)為例，位于單調(diào)遞增區(qū)間上離y軸最近的那個(gè)零點(diǎn)最適合作為“五點(diǎn)”中的第一個(gè)點(diǎn)．3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)時(shí)，注意采用整體代換的思想，如函數(shù)在ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)取得最大值，在ωx＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)取得最小值．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1依次為0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π.思考2用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的簡圖，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π即可得到所取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為－eq\f(φ,ω)，－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,ω)，－eq\f(φ,ω)＋eq\f(3π,2ω)，－eq\f(φ,ω)＋eq\f(2π,ω).知識(shí)點(diǎn)二R[－A，A]eq\f(2π,ω)x＝eq\f(π,2ω)＋eq\f(kπ－φ,ω)(k∈Z)奇偶知識(shí)點(diǎn)三思考2表示振幅，周期T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.梳理最大距離振幅時(shí)間周期次數(shù)頻率相位初相Aeq\f(2π,ω)eq\f(ω,2π)ωx＋φφ題型探究例1解依次令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，列出下表：eq\f(x,2)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(2π,3)eq\f(5π,3)eq\f(8π,3)eq\f(11π,3)eq\f(14π,3)y030－30描點(diǎn)，連線，如圖所示．跟蹤訓(xùn)練1解(1)∵x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，∴2x－eq\f(π,4)∈[－eq\f(5,4)π，eq\f(3,4)π]．列表如下：x－eq\f(π,2)－eq\f(3,8)π－eq\f(π,8)eq\f(π,8)eq\f(3,8)πeq\f(π,2)2x－eq\f(π,4)－eq\f(5,4)π－π－eq\f(π,2)0eq\f(π,2)eq\f(3,4)πf(x)211－eq\r(2)11＋eq\r(2)2(2)描點(diǎn)，連線，如圖所示．例2由圖象知A＝3，又圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))，根據(jù)五點(diǎn)作圖法原理(以上兩點(diǎn)可判為“五點(diǎn)法”中的第三點(diǎn)和第五點(diǎn))，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)·ω＋φ＝π，,\f(5π,6)·ω＋φ＝2π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ω＝2，,φ＝\f(π,3).))∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).跟蹤訓(xùn)練2y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))例3解(1)∵圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\f(π,3)，5)，∴A＝5.∵eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．代入點(diǎn)(eq\f(π,3)，5)，得sin(eq\f(2π,3)＋φ)＝1，∴eq\f(2π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴φ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，又∵|φ|<eq\f(π,2)，∴k＝0，則φ＝－eq\f(π,6)，∴y＝5sin(2x－eq\f(π,6))．(2)∵函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間滿足2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴2kπ－eq\f(π,3)≤2x≤2kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，∴kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(π,3)](k∈Z)．(3)∵5sin(2x－eq\f(π,6))≤0，∴2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)，∴kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)．故所求x的取值范圍是[kπ－eq\f(5π,12)，kπ＋eq\f(π,12)](k∈Z)．跟蹤訓(xùn)練3(1)－eq\f(3π,4)(2)單調(diào)