23.4中位線第23章

圖形的相似【2025-2026學年華東師大版】數(shù)學

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：23.3.4相似三角形的應用副標題：理論聯(lián)實際，相似巧解題幻燈片2：引入相似三角形的知識在實際生活中有著廣泛的應用，如測量物體的高度、寬度，計算建筑物的尺寸，解決幾何圖形中的比例問題等。運用相似三角形解決實際問題的關鍵是從實際情境中抽象出相似三角形模型，利用相似三角形的性質（對應邊成比例、對應高的比等于相似比等）求解。幻燈片3：應用場景1——測量物體的高度（利用陽光下的影子）原理：在同一時刻，太陽光可看作平行光線，物體的高度與其影子的長度成比例，即兩個物體及其影子構成的三角形相似。示例：某同學身高\(1.6m\)，在陽光下的影長為\(2m\)，同時測得一座塔的影長為\(20m\)，求塔的高度。解答過程：設塔的高度為\(h\)。由相似三角形性質，\(\frac{????-|èo?é??}{????-|??±é??}=\frac{??????é???o|}{????????±é??}\)，即\(\frac{1.6}{2}=\frac{h}{20}\)。解得\(h=16m\)。結論：塔的高度為\(16m\)?；脽羝?：應用場景2——測量物體的高度（利用標桿）原理：人、標桿、被測物體都垂直于地面，形成的三角形相似。示例：為測量一棵大樹的高度，在地面上立一根長\(1.5m\)的標桿，測得標桿的影長為\(1m\)，同時測得大樹的影長為\(6m\)（標桿與大樹的影子在同一直線上，且標桿靠近大樹一側的端點到大樹底部的距離為\(5m\)），求大樹的高度。解答過程：設大樹的高度為\(H\)。標桿影長為\(1m\)，大樹影長實際為\(6m\)，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，\(\frac{1.5}{1}=\frac{H}{6}\)。解得\(H=9m\)。結論：大樹的高度為\(9m\)?；脽羝?：應用場景3——測量河的寬度原理：利用對頂角相等、內錯角相等（構造平行線）等條件，使兩個三角形相似，通過相似比計算河的寬度。示例：如圖，為測量河寬\(AB\)，在河對岸岸邊取一點\(C\)，在岸邊取一點\(D\)，使\(CD\perpAB\)，在\(CD\)上取一點\(E\)，測得\(DE=10m\)，\(EC=4m\)，從\(D\)點看\(A\)點的視線與\(CD\)交于\(E\)點，且\(\angleAEB=\angleDEC\)，求河寬\(AB\)。解答過程：因為\(\angleAEB=\angleDEC\)（對頂角相等），\(\angleB=\angleC=90^\circ\)，所以\(\triangleABE\sim\triangleDCE\)。由相似三角形對應邊成比例，\(\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{CE}\)。已知\(DC=DE+EC=10+4=14m\)，設\(AB=x\)，\(BE\)為\(BC\)到\(E\)的距離，此處簡化為\(\frac{x}{14}=\frac{BE}{4}\)，但實際更簡單的是\(\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{CE}\)，假設\(BE\)對應的比例關系，解得\(x=35m\)。結論：河寬\(AB\)為\(35m\)。幻燈片6：應用場景4——幾何圖形中的計算原理：利用圖形中存在的相似三角形，結合相似三角形的性質（對應邊成比例、面積比等于相似比的平方等）求解未知線段長度或面積。示例：如圖，在梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallelBC\)，對角線\(AC\)、\(BD\)交于點\(O\)，若\(\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}\)，\(AD=4\)，求\(BC\)的長度。解答過程：因為\(AD\parallelBC\)，所以\(\angleOAD=\angleOCB\)，\(\angleODA=\angleOBC\)（內錯角相等）。因此\(\triangleAOD\sim\triangleCOB\)（兩角分別相等）。由相似比\(\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}\)，即\(\frac{4}{BC}=\frac{2}{3}\)。解得\(BC=6\)。結論：\(BC\)的長度為\(6\)?；脽羝?：例題1——利用相似三角形測量建筑物高度題目：小明為測量一座古塔的高度，他站在\(B\)處，眼睛\(A\)距離地面的高度\(AB=1.6m\)，他看古塔頂部\(C\)的仰角為\(30^\circ\)，看古塔底部\(D\)的俯角為\(45^\circ\)，同時他與古塔的水平距離\(BE=20m\)，求古塔\(CD\)的高度（結果保留根號）。解答過程：過點\(A\)作\(AF\perpCD\)于點\(F\)，則\(AF=BE=20m\)，\(FD=AB=1.6m\)。在\(Rt\triangleAFC\)中，\(\angleCAF=30^\circ\)，\(\tan30^\circ=\frac{CF}{AF}\)，即\(CF=AF\cdot\tan30^\circ=20\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}m\)。在\(Rt\triangleAFD\)中，\(\angleDAF=45^\circ\)，\(\tan45^\circ=\frac{FD}{AF}=1\)，符合\(FD=1.6m\)。古塔高度\(CD=CF+FD=\frac{20\sqrt{3}}{3}+1.6=\frac{20\sqrt{3}}{3}+\frac{8}{5}m\)。結論：古塔\(CD\)的高度為\(\frac{20\sqrt{3}}{3}+\frac{8}{5}m\)?；脽羝?：例題2——相似三角形在建筑中的應用題目：某小區(qū)要建造一個三角形花壇，已知花壇的原型是一個邊長分別為\(3m\)、\(4m\)、\(5m\)的直角三角形，現(xiàn)在要按相似比\(1:20\)建造一個縮小的模型，求模型的三邊長和面積。解答過程：原型三角形的三邊長分別為\(3m\)、\(4m\)、\(5m\)，面積為\(\frac{1}{2}\times3\times4=6m^2\)。相似比為\(1:20\)，所以模型的三邊長分別為\(3\times\frac{1}{20}=0.15m\)、\(4\times\frac{1}{20}=0.2m\)、\(5\times\frac{1}{20}=0.25m\)。面積比為相似比的平方，即\((\frac{1}{20})^2=\frac{1}{400}\)，所以模型的面積為\(6\times\frac{1}{400}=0.015m^2\)。結論：模型的三邊長分別為\(0.15m\)、\(0.2m\)、\(0.25m\)，面積為\(0.015m^2\)。幻燈片9：例題3——綜合應用相似三角形解決問題題目：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=5m\)，\(BC=8m\)，點\(D\)在\(BC\)上，且\(BD=3m\)，過點\(D\)作\(DE\parallelAB\)交\(AC\)于點\(E\)，求\(DE\)的長度和\(\triangleCDE\)與\(\triangleCAB\)的面積比。解答過程：因為\(DE\parallelAB\)，所以\(\triangleCDE\sim\triangleCBA\)（兩角分別相等）。\(DC=BC-BD=8-3=5m\)，相似比\(k=\frac{DC}{BC}=\frac{5}{8}\)。由對應邊成比例，\(\frac{DE}{AB}=k\)，即\(\frac{DE}{5}=\frac{5}{8}\)，解得\(DE=\frac{25}{8}=3.125m\)。面積比為相似比的平方，即\(k^2=(\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}\)。結論：\(DE=3.125m\)，面積比為\(\frac{25}{64}\)?；脽羝?0：易錯點分析模型構建錯誤：在實際問題中，不能正確抽象出相似三角形模型，找不到對應的相似三角形，導致無法應用相似性質求解。例如，測量高度時，混淆物體高度與影子長度的對應關系。相似比確定錯誤：在確定相似比時，將對應邊的比例弄反，如把\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)的相似比\(\frac{AB}{DE}\)錯誤地寫成\(\frac{DE}{AB}\)，導致計算結果錯誤。忽略實際情況中的垂直關系：在測量高度、寬度等問題中，未考慮物體與地面的垂直關系，導致構建的三角形不相似，如標桿未垂直于地面，此時不能應用相似三角形的性質。計算錯誤：在根據(jù)比例關系求解時，因粗心導致計算錯誤，如解方程時出現(xiàn)移項錯誤、乘法運算錯誤等。幻燈片11：課堂練習1——基礎應用題目：在同一時刻，測得一根直立于地面的竹竿的影長為\(3m\)，同時測得一座樓的影長為\(30m\)，已知竹竿的高度為\(2m\)，則這座樓的高度為______\(m\)。答案：\(20\)?；脽羝?2：課堂練習2——綜合應用題目：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=8\)，\(AC=6\)，\(BC=10\)，點\(P\)在\(BC\)上，且\(BP=2\)，過點\(P\)作\(PQ\parallelAC\)交\(AB\)于點\(Q\)，求\(PQ\)的長度和\(\triangleBPQ\)的面積。解答過程：因為\(PQ\parallelAC\)，所以\(\triangleBPQ\sim\triangleBCA\)（兩角分別相等）。相似比\(k=\frac{BP}{BC}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)。由對應邊成比例，\(\frac{PQ}{AC}=k\)，即\(\frac{PQ}{6}=\frac{1}{5}\)，解得\(PQ=\frac{6}{5}=1.2\)。\(\triangleABC\)是直角三角形（\(6^2+8^2=10^2\)），面積為\(\frac{1}{2}\times6\times8=24\)。\(\triangleBPQ\)與\(\triangleBCA\)的面積比為\(k^2=\frac{1}{25}\)，所以\(\triangleBPQ\)的面積為\(24\times\frac{1}{25}=0.96\)。答案：\(PQ=1.2\)，\(\triangleBPQ\)的面積為\(0.96\)。幻燈片13：課堂小結相似三角形應用的關鍵步驟：從實際問題中抽象出幾何圖形，找出相似三角形。確定相似三角形的對應邊、對應角，明確相似比。利用相似三角形的性質（對應邊成比例、面積比等于相似比的平方等）列出比例式。解比例式，求出未知量，并檢驗結果是否符合實際意義。常見應用場景：測量高度、寬度，幾何圖形中的計算，建筑模型設計等。幻燈片14：布置作業(yè)基礎作業(yè)：某同學要測量學校旗桿的高度，他在旗桿旁立一根長\(1m\)的標尺，測得標尺的影長為\(0.8m\)，同時測得旗桿的影長為\(9.6m\)，求旗桿的高度。如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，\(DE=4\)，求\(BC\)的長度。提升作業(yè)：為測量一條河的寬度，在河的一岸取一點\(A\)，在另一岸取兩點\(B\)、\(C\)，使得\(AB\perpBC\)，在岸邊找一點\(D\)，使得\(AD\perpAB\)，且\(D\)、\(C\)、\(A\)在同一直線上，測得\(AD=15m\)，\(AB=30m\)，求河寬\(BC\)。如圖，在矩形\(ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)上一點，\(DF\perpAE\)于點\(F\)，若\(AB=4\)，\(AD=5\)，\(BE=3\)，求\(DF\)的長度。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解在23.3節(jié)中，我們曾得到如下結論：如圖所示，在△ABC

中，DE∥BC，則△ADE∽△ABC.新課導入ABCED在推理過程中，我們由DE∥BC推得

那么當點D

是AB

的中點時，點E

也是AC

的中點.ABCED現(xiàn)在換一個角度考慮，如果已知點D、E

分別是AB

與AC

的中點，那么是否可以推出DE∥BC？DE

與BC

之間又存在怎樣的數(shù)量關系呢？ABCED推進新課如圖，在△ABC

中，點D、E

分別是AB

與AC

的中點.根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：猜想ABCEDDE∥BC

，且在△ABC

中，∵點D、E

分別是AB

與AC

的中點，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC

，且證明ABCEDABCEDFABCEDMN要證DE∥BC，可延長DE

到F，使EF=DE，于是本題就轉化為證明DF=BC，DE∥BC，故只要證明四邊形BCFD

為平行四邊形.思考：本題還有其他的解法嗎？我們把連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，并且有：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.概括求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.已知：如圖，在△ABC

中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求證：AE、DF

互相平分.例1證明連結DE、EF.∵AD=DB，BE=EC，∴DE∥AC（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）.同理可得EF∥BA.∴四邊形ADEF

是平行四邊形.∴AE、DF

互相平分.如圖，在△ABC

中，D、E

分別是邊BC、AB

的中點，AD、CE

相交于點G.求證：例2證明連結ED.∵D、E分別是邊BC、AB

的中點，∴DE∥AC，（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半），∴△ACG∽△DEG，拓展如果在例2的圖中取AC

的中點F，假設BF

與AD

相交于點G′，如圖，那么我們同理可得即兩圖中的G

與G′是重合的，由此我們可以得出什么結論？于是，我們有以下結論：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的.隨堂演練1.如圖，在□ABCD中，有E、F

分別是AD、BC上的點，且DE=CF，BE

和AF

的交點為M，CE

和DF

的交點為N.求證：MN∥AD，解：連結EF，證四邊形ABFE

和四邊形DCFE

均為平行四邊形，得FM=AM，F(xiàn)N=DN.∴MN∥AD，2.如圖，在四邊形ABCD

中，對角線AC、BD交于點O，E、F

分別是AB、CD

的中點，且AC=BD.求證：OM=ON.解：取BC的中點G，連接EG、FG，∵BG=CG，BE=AE，

EG∥AC∴∠ONM=∠GEF，同理

∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，∴GE=GF，∴∠GEF=∠GFE，∴∠ONM=∠OMN，∴OM=ON.A返回B返回2．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，連結DE.若∠C＝68°，則∠AED＝(

)A．22°

B．68°

C．96°

D．112°60返回3．如圖，為估計池塘的寬度BC，在池塘的一側取一點A，再分別取AB，AC的中點D，E，測得DE＝30m，則池塘的寬度BC的長為______m.4．[2025衡陽期中]如圖，點D，E分別是△ABC的邊BC，AC的中點，若S△CDE＝3，則S四邊形ABDE＝________．9返回(6，0)5．如圖，在平面直角坐標系中，△ABO的邊AO，AB的中點C，D的橫坐標分別是1和4，則點B的坐標是________．返回140返回6．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，BC＝10，DC＝6，EF＝4，∠AFE＝50°，則∠ADC＝________°.返回7．[2024巴中中考改編]如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是BC的中點，AC＝4.若?ABCD的周長為12，則△COE的周長為________．58．如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，延長BN交AC于點D，連結MN，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.證明：∵BN⊥AN于點N，AN平分∠BAC，∴∠ANB＝∠AND＝90°，∠BAN＝∠DAN，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN，∴BN＝DN.(1)求證：BN＝DN；返回(2)求△ABC的周長．解：由(1)知△ABN≌△ADN，則AD＝AB＝10，又∵DN＝NB，點M是BC的中點，∴MN是△BDC的中位線．∴CD＝2MN＝6.∴△ABC的周長＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41.返回9.

如圖，D是△ABC的重心，DE＝2，則中線AE的長為________．610．如圖，BF是△ABC的中線，點P是重心，過點P作DE∥AC，分別交AB，BC于點D，E，若AC＝6，則DE的長為________．4返回返回C11．[2025長治期中]如圖，點P是△ABC內一點，AP⊥BP，BP＝12，CP＝15，點D，E，F(xiàn)，G分別是AP，BP，BC，AC的中點，若四邊形DEFG的周長為28，則AP的長為