PAGE1第13講函數(shù)的奇偶性內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，x也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）．知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論（1）如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.（2）如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).（3）奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.（4）定義在(，)上的任意函數(shù)fx都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和．（5）若函數(shù)yf(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(x)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)為奇，f(x)f(x)為偶函數(shù)．（6）f(x)，g(x)在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）f（g（x））偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)知識(shí)點(diǎn)3分段函數(shù)強(qiáng)制奇偶對稱口訣：奇函數(shù)定奇變偶，偶函數(shù)定偶變奇，奇雙負(fù)，偶單負(fù)．定義在(，)上任意的函數(shù)f(x)都可以唯一的表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和．當(dāng)f(x)以分段函數(shù)形式出現(xiàn)奇偶性的時(shí)候，則函數(shù)一定滿足：①奇函數(shù)f(x)f(x)g(x)h(x)；②偶函數(shù)f(x)f(x)g(x)h(x)，我們理解為奇函數(shù)定奇變偶，偶函數(shù)定偶變奇．在f(x)不好拆分出奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和時(shí)，則直接采用：①奇函數(shù)f(x)f(x)；②偶函數(shù)f(x)f(x)，即口訣：奇雙負(fù)，偶單負(fù)．其實(shí)通俗的說就是奇函數(shù)內(nèi)外兩層都為負(fù)，偶函數(shù)只有內(nèi)層為負(fù)．知識(shí)點(diǎn)4對稱中心或?qū)ΨQ軸平移求值若f(x)都可以唯一表示成一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)之和，當(dāng)h(x)m時(shí)，則f(x)關(guān)于點(diǎn)(0，m)中心對稱，即可以理解為將奇函數(shù)g(x)向上平移了m個(gè)單位，即f(x)f(x)2f(0)2m；當(dāng)h(x)m時(shí)，則有f(x)f(x)2h(x)．推論若f(x)g(x)m，則f(x)maxf(x)min2f(0)2m．知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的周期(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).②若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).③若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).（3）對稱性的三個(gè)常用結(jié)論①若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.②若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.③若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱.教材習(xí)題01根據(jù)定義證明：函數(shù)在定義域R上是偶函數(shù)．解題方法因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù).【答案】見解析教材習(xí)題02根據(jù)定義證明：函數(shù)在定義域R上是奇函數(shù)．解題方法，都有，且，所以，函數(shù)在定義域R上是奇函數(shù)．【答案】見解析教材習(xí)題03畫出下列函數(shù)的圖象，并判斷其奇偶性：(1)；(2)；(3)．解題方法（1），其定義域?yàn)?，，則函數(shù)為奇函數(shù)；圖象如圖：

（2）；其定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為偶函數(shù)；圖象如圖：

（3），其定義域，但且，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象如圖：

【答案】(1)奇函數(shù)，圖象見解析(2)偶函數(shù)，圖象見解析(3)非奇非偶函數(shù)，圖象見解析考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的定義與判斷1．函數(shù)的奇偶性為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù).故選：A.2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A，定義域?yàn)?，，則函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在遞減，在上單調(diào)遞增，則A錯(cuò)誤；對于B，定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，定義域?yàn)?，，則函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，為函數(shù)非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B（多選題）3．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．最小值是2 B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】BCD【詳解】對于A，因，故A錯(cuò)誤；對于B，因函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故是奇函數(shù)，B正確；對于C，任取，，因，故，即在上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，任取，，因，故，即在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.（多選題）4．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．是偶函數(shù) D．是單調(diào)函數(shù)【答案】ABC【詳解】根據(jù)函數(shù)的解析式可知，定義域是全體實(shí)數(shù)，值域?yàn)椋蔄B正確；當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，是有理數(shù)，，當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，是無理數(shù)，，所以是偶函數(shù)，故C正確；因?yàn)椋圆皇菃握{(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．5．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)奇函數(shù)【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為偶函數(shù)．（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以為奇函數(shù)．（3）由題設(shè)得：，所以函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以，所以，所以，所以是奇函數(shù)．考點(diǎn)二由奇偶性求函數(shù)解析式（多選題）1．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．在上單調(diào)遞增C．的解集為 D．的解集為【答案】AD【詳解】當(dāng)時(shí)，，易求得當(dāng)時(shí)，的最大值為，A正確；在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；的解集為，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，無解，故D正確．2．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【詳解】依題意，.故答案為：3．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.【答案】【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即時(shí)，，故答案為：；4．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)．其中、且．(1)求的表達(dá)式；(2)若，實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，即，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，即是偶函數(shù)，故滿足題意；（2）由題意，顯然是偶函數(shù)，所以也是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，都是增函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，所以，解得.5．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，由是奇函數(shù)，得，所以，（2）由（1）的解析式，作出的圖象：可知函數(shù)的在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減區(qū)，要使在上不單調(diào)，則，解得．或，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1．已知函數(shù)定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，是奇函數(shù)且，則（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】B【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，即，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因?yàn)?，所?故選：B.2．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，所以，，故，，當(dāng)時(shí)，，則，解得，在等式中，令可得，可得，即，解得，故當(dāng)時(shí)，，在等式中，用替代得，所以，所以，即，所以，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故.故選：A.3．設(shè)是偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋?，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，所以，顯然，，所以．故選：B．4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，恒有：，則使得的值可以確定的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)條件，令，則，即，可知為R上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)，即不等式兩側(cè)的函數(shù)圖象相切于點(diǎn)（如圖所示），所以有，又為R上的奇函數(shù)，所以，所以，有3個(gè)．故選：C5．設(shè)函數(shù)（）的最大值為，最小值為，則=【答案】4048【詳解】由題意得，令，（）則，即為奇函數(shù)，則，又函數(shù)，（）的最大值為，最小值為，得，則，故答案為：4048.考點(diǎn)四抽象函數(shù)的奇偶性1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．C．的一個(gè)周期為4 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】B【詳解】由是偶函數(shù)，可知，則關(guān)于對稱，故A正確；因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以也是奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)對稱，故D正確；由AD可知，，即，即，則，所以是周期函數(shù)，周期為4，故C正確；由可知，，函數(shù)關(guān)于對稱，但不確定，故B錯(cuò)誤.故選：B2．已知是定義在上的奇函數(shù)，且對任意，都有，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【詳解】令，則，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，則.故選：C.3．若定義在上的函數(shù)滿足對任意均有，則稱為“函數(shù)”.已知為“函數(shù)”，且，，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】A【詳解】令，則，所以；令，則，所以的圖象關(guān)于直線對稱；令，則，因?yàn)椴缓愠闪?，所以恒成立，所以為奇函?shù)，所以，所以，所以是周期為8的周期函數(shù)，令，則，解得，又為奇函數(shù)，所以，所以.故選：A.（多選題）4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)不是常值函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，而且對任意的有，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則C．在上單調(diào)遞減D．若，則不等式的解集為【答案】ABD【詳解】對于A，令，則有，得或，但當(dāng)時(shí)，，與不是常值函數(shù)矛盾，故，故A正確；對于B，令，則，則，當(dāng)，則，故，故，故B正確；對于C，任取，令，則，則，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，令可得：，故是偶函數(shù)，又，于是原不等式可轉(zhuǎn)化為，又由在上單調(diào)遞增可得：，解得：，故不等式的解集為，故D正確.故選：ABD.（多選題）5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則下列說法正確的是（

）A．可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和B．若是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)【答案】ABD【詳解】對于A，，令，則，即是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，而，因此可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和，A正確；對于B，是奇函數(shù)，則，，是偶函數(shù)，B正確；對于C，是偶函數(shù)，則，，是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對于D，是奇函數(shù)，則，，是奇函數(shù)，D正確.故選：ABD（多選題）6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意，都有，且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．為減函數(shù)C． D．為奇函數(shù)【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：解法一：令，，則由題意得，將代入解得，A說法正確；解法二：令，則由題意得，即，解得，若，令，，則，得，與矛盾，故，A說法正確；選項(xiàng)B：令，則由題意得，將代入得，故不是減函數(shù)，B說法錯(cuò)誤；（另解：也可以根據(jù)，直接判斷不是減函數(shù)）選項(xiàng)C：由B可知，所以，C說法正確；選項(xiàng)D：令，，則由題意可得，將，代入解得，令，則①，由B可知，所以，代入①式可得，即，所以為奇函數(shù)，D說法正確；故選：ACD考點(diǎn)五由函數(shù)奇偶性解不等式1．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，在上為增函數(shù)，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上也為增函數(shù)，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，則，又，所以當(dāng)時(shí)，．故選：D2．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且．若在上單調(diào)遞減，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可知的解集是的解集是．因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于不等式組或所以不等式的解集是．故選：B.3．若是定義在R上的奇函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，，則不等式的解集是．【答案】【詳解】因是定義在R上的奇函數(shù)，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增.則，又或，由，可得不等式組無解，由可得.綜上可得滿足題意.故答案為：4．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)．(1)判斷的奇偶性；(2)證明在區(qū)間上是增函數(shù)，并求不等式的解集．【答案】(1)函數(shù)為奇函數(shù)；(2)【詳解】（1）由已知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，都有，．所以函?shù)為奇函數(shù)．（2）任取，且，則，那么因?yàn)?，所以，，，所以，所以，所以在上是增函?shù)．因?yàn)?，所以，且在上是增函?shù)．所以，所以，所以不等式的解集5．已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值.(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并說明理由，并求的最值；(3)若函數(shù)滿足不等式，求出的范圍.【答案】(1)(2)增函數(shù)，理由見解析，最大值為，最小值為(3)【詳解】（1）因?yàn)樵谑瞧婧瘮?shù)，則，即，可得，解得，故.（2）是區(qū)間上的增函數(shù)，理由如下：任取、且，則，因?yàn)樗裕?，，所以，即，所以是區(qū)間上的增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，最大值為.（3）因?yàn)槭菂^(qū)間上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，由可得，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)六奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用1．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，且，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，且，都有，則在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，由，則，且，故或時(shí)，或時(shí)，所以的解集為.故選：D2．已知圖甲中的圖象對應(yīng)的函數(shù)，則圖乙中的圖象對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是（

）

A． B．C． D．【答案】C【詳解】由圖乙知，圖象關(guān)于y軸對稱，對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，對于A，當(dāng)時(shí)，，甲在y軸右側(cè)圖象與圖乙的不相同，不合，故A錯(cuò)；對于B：時(shí)，，圖乙在x軸下方有圖象，故B錯(cuò)．對于D：當(dāng)時(shí)，，其圖象在y軸左側(cè)與圖乙的不相同，不合，故D錯(cuò)；故選:C3．（多選）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)周期為4B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在內(nèi)有25個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【詳解】①，在①中令，得，得，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以②，函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，故A正確；因?yàn)榕己瘮?shù)，則③，在③式中，用代替得，，由周期性可得，即所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B正確；結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，畫出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；根據(jù)圖象可知，，故在內(nèi)共有25個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：ABD4．（多選）已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)，均有，且當(dāng)時(shí)，恒有，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)【答案】AC【詳解】解：令，得，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒有，令，即對任意，時(shí)，，即函數(shù)為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤．令，則，又，所以，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，若取，則，，即，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，恒有，顯然，不為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.5．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，且，則．【答案】【詳解】已知為奇函數(shù)，則，換元得，已知為偶函數(shù)，則，換元得，則當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，，解得，可知，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以.故答案為：.6．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為．【答案】【詳解】因，設(shè)，則，可得函數(shù)為奇函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，于是，.故答案為：.知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1．函數(shù)奇偶性的定義及判斷2．函數(shù)的復(fù)合及復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷3．分段函數(shù)奇偶性的判斷4.數(shù)學(xué)語言理解函數(shù)周期性及對稱性1．若，函數(shù)為上的奇函數(shù)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】探求命題為真的充要條件、由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求出的值，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，即函?shù)不是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，即函?shù)為奇函數(shù).故當(dāng)函數(shù)為上的奇函數(shù)時(shí)，，因此，是的充要條件.故選：D.2．已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象關(guān)于中心對稱B．的周期為8C．D．當(dāng)時(shí)，，則的值為【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷或證明函數(shù)的對稱性、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、判斷證明抽象函數(shù)的周期性【分析】根據(jù)題意推理論證周期性、奇偶性、對稱性逐一求解判斷各項(xiàng)【詳解】因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于中心對稱，故A正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的一個(gè)周期為8，故B正確；，故C正確；由，得，又當(dāng)時(shí)，，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：D3．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C．0 D．1【答案】D【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】利用與的奇偶性推得是周期函數(shù)，從而結(jié)合題設(shè)條件即可得解.【詳解】是偶函數(shù)，，則，從而，又是奇函數(shù)，則，，進(jìn)而，所以是周期為的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：D.4．已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式、奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時(shí)函數(shù)值正負(fù)情況可得解.【詳解】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)AB；又當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由圖可知當(dāng)時(shí)，，故C不符合，D符合.故選：D5．設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】由函數(shù)的周期性求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對一切成立，于是.故選：A6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足．當(dāng)時(shí)，，則的最大值是（

）A．6 B．3 C．5 D．8【答案】A【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用【分析】由題意得的圖象對稱性及周期性，利用對稱性求得值后，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由函數(shù)的周期性求出一個(gè)周期的最大值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對稱，又，則的圖象關(guān)于中心對稱，因?yàn)?，所以，所以，即．所以，即，所以，所以的周期?，由，得，當(dāng)時(shí)，，為了求的最大值，由周期性不妨求在上的最大值即可，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，結(jié)合的圖象關(guān)于中心對稱，所以在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，則在上的最大值為，又的圖象關(guān)于對稱且周期為8，所以的圖象關(guān)于對稱，所以在單調(diào)遞減，所以在上的最大值為，根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)可知的最大值是6.故選：A7．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別、函數(shù)奇偶性的定義與判斷【分析】應(yīng)用奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，結(jié)合的函數(shù)符號(hào)，應(yīng)用排除法即可得.【詳解】令且定義域?yàn)镽，，即為奇函數(shù)，排除C、D；當(dāng)時(shí)，恒成立，排除B.故選：A（多選題）8．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，且，則（）A． B．C． D．【答案】BC【難度】0.4【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、比較函數(shù)值的大小關(guān)系【分析】利用賦值法，可判斷A、B；利用賦值法，可得，又進(jìn)而可得，可判斷C；由及可判斷D.【詳解】對于A，令，則，又，則，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，令，則，又，，所以，則，故B正確；對于C，令，則，又，則，由上可知，故，，所以，故C正確；對于D，由，則，所以，，由選項(xiàng)C中分析知，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.（多選題）9．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．圖象過定點(diǎn) B．值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào) D．函數(shù)一定存在單調(diào)增區(qū)間【答案】ABD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】對于A，由奇函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對于B，只需求得時(shí)，值域，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)即可判斷；對于C，D，由二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，圖象過，A正確；選項(xiàng)B：時(shí)，時(shí)，值域?yàn)椋粫r(shí)，值域?yàn)?，又，值域?yàn)椋畷r(shí)，時(shí)，值域?yàn)椋粫r(shí)，值域?yàn)椋?，值域也為，B正確．選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增區(qū)間，D正確．故選：ABD．（多選題）10．若是定義在上的奇函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、判斷證明抽象函數(shù)的周期性、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】根據(jù)是上的奇函數(shù)可確定判斷A項(xiàng)；由可得，賦值即得判斷C項(xiàng)，根據(jù)條件推出函數(shù)的一個(gè)周期為4，即可判斷D項(xiàng)，對于B項(xiàng)，沒有相關(guān)條件求出其值.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以①，且，故A正確；因?yàn)?，故得②，則，故C正確；由①②可得，則，可得，即是以4為一個(gè)周期的函數(shù)，，故D正確；對于，沒有相關(guān)條件求出其值，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.（多選題）11．已知函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．是周期函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)周期性的應(yīng)用、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用【分析】由是偶函數(shù)可得關(guān)于直線對稱，由此判斷A；由是奇函數(shù)可得關(guān)于點(diǎn)對稱，結(jié)合A可推出的周期為8，由此判斷B；由關(guān)于點(diǎn)對稱及時(shí)，，可知在單調(diào)遞增，由此判斷C；根據(jù)函數(shù)的對稱性和周期性可求出在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此判斷D.【詳解】對于A，是偶函數(shù)，，關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，由A可知關(guān)于直線對稱，①，又是奇函數(shù)，，即，關(guān)于點(diǎn)對稱，②，由①②可得，即，，，的一個(gè)周期為8，故B正確；對于C，由B知關(guān)于點(diǎn)對稱，時(shí)，單調(diào)遞增，在也單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，定義域?yàn)镽，關(guān)于對稱，，又關(guān)于直線對稱，，在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：AB.（多選題）12．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C．函數(shù)的周期為2 D．【答案】BD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用【分析】由函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，可得，，聯(lián)立即可求得函數(shù)的周期，對稱性，逐項(xiàng)判斷求解即可.【詳解】函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，對于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，由，所以，可知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故B正確；對于C，由，所以，又，所以，即，故函數(shù)的周期為，故C錯(cuò)誤；對于D，由，令，則，所以，所以，故D正確.故選：BD13．已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，若，則．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的奇偶性和周期性求出函數(shù)值.【詳