2025年廣州市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)滿分120分，用時120分鐘．一、單選題（每小題3分，滿分30分．）1.下列四個選項中，負無理數(shù)的是（）A. B. C.0 D.3【答案】A【解析】【分析】本題考查的是負無理數(shù)的含義，根據(jù)負無理數(shù)的定義，需同時滿足負數(shù)和無理數(shù)兩個條件．對各選項逐一分析即可．【詳解】解：選項A：是無理數(shù)（無法表示為分?jǐn)?shù)且是無限不循環(huán)小數(shù)），因此也是無理數(shù)．負號表明其為負數(shù)，故是負無理數(shù)．選項B：是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合無理數(shù)的條件．選項C：是整數(shù)，屬于有理數(shù)，且非負數(shù)．選項D：是正整數(shù)，屬于有理數(shù)，且非負數(shù)．綜上，只有選項A同時滿足負數(shù)和無理數(shù)的條件，故選A．2.如圖，將繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是點，線，面，體之間的關(guān)系，圓錐的認識，根據(jù)面動成體結(jié)合圓錐的特點可得答案．【詳解】解：繞直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后所得到的幾何體是一個圓錐．故B選項正確．故選B3.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查冪的運算、積的乘方、二次根式的加減法則．需逐一分析各選項的正確性．【詳解】解：A．同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，故，但選項結(jié)果為，錯誤．B．積的乘方需將每個因式分別乘方，且負數(shù)的奇數(shù)次方為負數(shù)，故，但選項結(jié)果為，錯誤．C．二次根式相減不能直接合并為被開方數(shù)相減．例如，時，，而，錯誤．D．同類二次根式相加，系數(shù)相加，根式部分不變，故，正確．綜上，正確答案為D．故選：D．4.關(guān)于x的方程根的情況為（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程根的判別式．通過計算判別式并分析其符號即可確定根的情況．【詳解】解：對于方程，其判別式為：由于，則，因此．故判別式恒為負數(shù)，方程無實數(shù)根，故選：C．5.某地一周每天最高氣溫如下表，利用這些數(shù)據(jù)繪制了下列四個統(tǒng)計圖，最適合描述氣溫變化趨勢的是（）星期一二三四五六日最高氣溫/℃25252830333029A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是選擇合適的統(tǒng)計圖，根據(jù)條形圖，折線圖，扇形圖的特點進行選擇即可．【詳解】解：∵扇形統(tǒng)計圖可以清楚地表示各部分?jǐn)?shù)量和總量之間的關(guān)系；條形統(tǒng)計圖可以清楚地看出數(shù)量的多少；折線統(tǒng)計圖，不僅可以清楚地看出數(shù)量的多少，而且還能清楚地看出數(shù)量的增減變化趨勢；∴最適合描述氣溫變化趨勢的是折線統(tǒng)計圖；故選：C．6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，若將直線向上平移d個單位長度后與線段有交點，則d的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移以及一次函數(shù)與線段的交點問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先求出直線平移后的解析式，再根據(jù)直線與線段有交點，分別求出直線經(jīng)過點A和點B時d的值，進而確定d的取值范圍，據(jù)此進行分析，即可作答．【詳解】解：依題意，將直線向上平移d個單位長度后得∵點，點，且直線向上平移d個單位長度后與線段有交點，∴把代入得，解得；把代入得，解得；則，故選：D．7.若，反比例函數(shù)的圖象在（）A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限【答案】C【解析】【分析】本題考查的是絕對值的化簡，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，由絕對值的性質(zhì)得出k的符號，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)確定其所在象限．【詳解】解：確定k的符號：由題設(shè)條件且，根據(jù)絕對值的非負性，右邊，即．又因，故為負數(shù)．∵反比例函數(shù)的圖象位置由的符號決定：當(dāng)時，圖象位于第一、三象限；當(dāng)時，圖象位于第二、四象限．因為負數(shù)，故圖象在第二、四象限．綜上，正確答案為選項C．故選：C8.如圖，菱形的面積為10，點E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，則四邊形的面積為（）A. B.5 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查的是中點四邊形，根據(jù)三角形中位線定理得，，證明四邊形是矩形，進而得菱形的面積．四邊形面積是故可得結(jié)論．【詳解】解：連接交于O，∵四邊形是菱形，∴，∵點E、F、G、H分別是邊和的中點，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴菱形的面積，∴，∴，∴四邊形的面積為5，故選：B．9.如圖，的直徑，C為中點，點D在弧上，，點P是上的一個動點，則周長的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，因為的直徑，C為中點，得，再結(jié)合，得，再證明是等邊三角形，運用勾股定理列式計算得，則周長，即可作答．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，連接，記交于點，如圖所示：∴∵的直徑，C為中點，∴點在上，，，∴，∵，∴，∵，則是等邊三角形，∴，∵是直徑，∴∴，則周長，∴周長的最小值是．故選：B．10.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點，在拋物線，則下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)且時，則 B.當(dāng)時，則C.當(dāng)且時，則 D.當(dāng)時，則【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，拋物線開口向上，頂點為，與x軸交于和，分析各選項時需結(jié)合拋物線的對稱性、增減性及函數(shù)值的符號，據(jù)此進行作答即可．【詳解】解：∵∴拋物線的開口向上，則對稱軸為直線，把代入，得，∴頂點為，∵兩點，在拋物線，∴當(dāng)且時，（因時拋物線在x軸上方），故，此時故A選項的結(jié)論正確；當(dāng)時，拋物線在時遞減，故越大，越小，即，故B選項的結(jié)論錯誤；當(dāng)且時，，此時應(yīng)滿足或，故C選項的結(jié)論錯誤；當(dāng)時，拋物線在時遞增，故越大，越大，即，故D選項的結(jié)論錯誤；故選：A二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）11.如圖，直線，相交于點O．若，則的度數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了鄰補角互補，根據(jù)是互為鄰補角，得，再代入數(shù)值計算，即可作答．【詳解】解：∵直線，相交于點O，且，∴，故答案為：12.如圖，在中，點，分別在，上，，若，則__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∴，∴故答案為：．13.要使代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是__________．【答案】且【解析】【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，根據(jù)題意得出且，即可求解．【詳解】解：依題意，且，解得：且，故答案為：且．14.如圖，在中，，平分，已知，，則點B到的距離為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，角平分線的定義，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，先求解，過點，作，交于點，結(jié)合，從而可得答案．【詳解】解：∵，，∴，設(shè)，則，∴，∴，過點，作，交于點，∵AD平分，∴，∴，∵，∴，∴點B到的距離為；故答案為：10．15.若拋物線的頂點在直線上，則m的值為__________．【答案】或【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，一次函數(shù)的性質(zhì)，公式法進行解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先整理得出頂點坐標(biāo)為，再把代入，得出，運用公式法進行解一元二次方程，即可作答．【詳解】解：∵，∴對稱軸為直線，把代入，得，即頂點坐標(biāo)為，∵拋物線的頂點在直線上，∴，整理得，則，∴，∴故答案為：或．16.已知的半徑為，所在平面內(nèi)有一動點，過點可以引的兩條切線，，切點分別為，．點與圓心的距離為，則的取值范圍是______；若過點作交直線于點（點不與點重合），線段與交于點．設(shè)，，則關(guān)于的函數(shù)解析式為______．【答案】①.②.【解析】【分析】由題意可得點在外，從而得出，再由切線長定理可得，，，又，則，所以，可得，故有，，最后通過勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵過點可以引的兩條切線，，∴點在外，∴，∵，是的兩條切線，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，的半徑為，∴，∴，在中，，∴，∴，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了點和圓位置關(guān)系，切線長定理，勾股定理，求函數(shù)解析式，等角對等邊，平行線的性質(zhì)等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.解不等式組，并在數(shù)軸上表示解集．【答案】，畫圖見解析【解析】【分析】本題考查解不等式組和用數(shù)軸表示不等式組的解集，需要注意用數(shù)軸表示解集的時候?qū)嵭狞c和空心點的區(qū)別．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)數(shù)軸，確定不等式組的解集即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：則不等式組解集為．18.如圖，，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定，先證明，進而根據(jù)即可證明．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，∴19.求代數(shù)式的值，其中．【答案】【解析】【分析】此題考查了分式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的運算，先把分式化成最簡，然后把代入，通過二次根式的運算法則即可求解，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．20.為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校開展主題為“多彩非遺，國韻傳揚”的演講比賽．評委從演講的內(nèi)容、能力、效果三個方面為選手打分，各項成績均按百分制計．進入決賽的前兩名選手需要確定名次（不能并列），他們的單項成績?nèi)缦卤硭荆哼x手內(nèi)容能力效果甲乙（1）分別計算甲、乙兩名選手的平均成績（百分制），能否以此確定兩人的名次？（2）如果評委認為“內(nèi)容”這一項最重要，內(nèi)容、能力、效果的成績按照的比確定，以此計算兩名選手的平均成績（百分制），并確定兩人的名次；（3）如果你是評委，請按你認為各項的“重要程度”設(shè)計三項成績的比，并解釋設(shè)計的理由．【答案】（1）甲、乙的平均成績均為90分，不能以此確定兩人的名次；（2）甲排名第一，乙排名第二；（3）設(shè)計三項成績的比為，理由內(nèi)容是演講的核心，占比最高，效果直接影響觀眾，次之，能力是基礎(chǔ)，占比最低．（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，權(quán)重等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）利用算術(shù)平均數(shù)即可求解；（）利用加權(quán)平均數(shù)即可求解；（）改變權(quán)重即可．【小問1詳解】解：不能以此確定兩人的名次，甲的平均成績：（分），乙的平均成績：（分），∴，∴不能以此確定兩人的名次；【小問2詳解】解：甲的平均成績：（分），乙的平均成績：（分），∴，∴甲排名第一，乙排名第二；【小問3詳解】解：設(shè)計三項成績的比為，理由，內(nèi)容是演講的核心，占比最高，效果直接影響觀眾，次之，能力是基礎(chǔ)，占比最低．（答案不唯一）21.如圖，曲線過點．（1）求t的值；（2）直線也經(jīng)過點P，求l與y軸交點的坐標(biāo)，并在圖中畫出直線l；（3）在（2）的條件下，若在l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)部（不包含邊界）隨機取一個格點（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點），求該格點在曲線G上的概率．【答案】（1）（2），見詳解（3）【解析】【分析】本題考查了概率公式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，畫函數(shù)圖象，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）直接把代入進行計算，得；（2）先得出，再代入直線，求出，即可求出l與y軸交點的坐標(biāo)，再由兩點確定一條直線畫出直線的函數(shù)圖象；（3）先得出格點共有個，分別是再分析得出格點在曲線G上，即有兩個格點在曲線G上，最后運用概率公式列式計算，即可作答．【小問1詳解】解：∵曲線過點．∴；【小問2詳解】解：由（1）得，故，∵直線也經(jīng)過點P，∴把代入，得，解得，∴；令，則，∴l(xiāng)與y軸交點的坐標(biāo)為；直線l的函數(shù)圖象，如圖所示；【小問3詳解】解：依題意，在l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)部（不包含邊界）的格點共有個，分別是，∵曲線，則，∴格點在曲線G上，即有兩個格點在曲線G上，即該格點在曲線G上的概率．22.智能機器人廣泛應(yīng)用于智慧農(nóng)業(yè)．為了降低成本和提高采摘效率，某果園引進一臺智能采摘機器人進行某種水果采摘．（1）若用人工采摘的成本為a元，相比人工采摘，用智能機器人采摘的成本可降低．求用智能機器人采換的成本是多少元；（用含a的代數(shù)式表示）（2）若要采摘4000千克該種水果，用這臺智能采摘機器人采摘比4個工人同時采摘所需的天數(shù)還少1天，已知這臺智能采摘機器人采摘的效率是一個工人的5倍，求這臺智能采摘機器人每天可采摘該種水果多少千克．【答案】（1）元（2）這臺智能采摘機器人每天可采摘該種水果千克．【解析】【分析】本題考查的是列代數(shù)式，分式方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)人工采摘的成本為a元，相比人工采摘，用智能機器人采摘的成本可降低，再列代數(shù)式即可；（2）設(shè)一個工人每天采摘該種水果千克，則智能采摘機器人采摘的效率是每天千克；根據(jù)要采摘4000千克該種水果，用這臺智能采摘機器人采摘比4個工人同時采摘所需的天數(shù)還少1天，再建立分式方程求解即可．【小問1詳解】解：∵用人工采摘的成本為a元，相比人工采摘，用智能機器人采摘的成本可降低．∴用智能機器人采換的成本是（元）；【小問2詳解】解：設(shè)一個工人每天采摘該種水果千克，則智能采摘機器人采摘的效率是每天千克；∴，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解且符合題意；∴（千克），答：這臺智能采摘機器人每天可采摘該種水果千克．23.寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．現(xiàn)有一張黃金矩形紙片，長．如圖1，折疊紙片，點B落在上的點E處，折痕為，連接，然后將紙片展開．（1）求的長；（2）求證：四邊形黃金矩形；（3）如圖2，點G為的中點，連接，折疊紙片，點B落在上的點H處，折痕為，過點P作于點Q．四邊形是否為黃金矩形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由．【答案】（1）2（2）證明見解析（3）四邊形是黃金矩形．證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)黃金矩形的定義可得：，再進一步求解即可；（2）先證明四邊形是正方形；可得，，證明四邊形是矩形，從而可得答案；（3）先證四邊形是矩形，然后求解，由對折可得：，設(shè)，則，由面積可得：，可得：，再進一步可得結(jié)論．【小問1詳解】解：∵，矩形是黃金矩形，∴，∴；【小問2詳解】證明：∵折疊黃金矩形紙片，點B落在上的點E處，∴，，又∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形；∴，由（1）可知，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴四邊形是黃金矩形．【小問3詳解】解：四邊形黃金矩形，證明如下：∵，四邊形是正方形，∴，∴四邊形是矩形；由（2）可知，，∵為的中點，∴，∴，如圖，連接，由對折可得：，，，設(shè)，則，∵∴，解得：，∴，∴，∴四邊形是黃金矩形．【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的運算，理解黃金矩形的定義是關(guān)鍵．24.某玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)隧道前通常設(shè)有涉水線和限高架等安全警示，為探究其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理，該小組考察了如圖1所示的雙向通行隧道．以下為該小組研究報告的部分記錄，請認真閱讀，解決問題．發(fā)現(xiàn)問題確定目標(biāo)涉水線設(shè)置限高架設(shè)置數(shù)學(xué)抽象繪制圖形隧道及斜坡的側(cè)面示意圖，可近似如圖2所示．

圖3為隧道橫截面示意圖，由拋物線的一部分和矩形的三邊構(gòu)成．信息收集資料整理當(dāng)隧道內(nèi)積水的水深為0.27米時，（即積水達到涉水線處），車輛應(yīng)避免通行．車輛進入隧道，應(yīng)在行駛車道內(nèi)通行（禁止壓線），且必須保證車輛頂部與隧道頂部在豎直方向的空隙不小于0.3米．實地考察數(shù)據(jù)采集斜坡的坡角為，并查得：，，．隧道的最高點C到地面距離為5.4米，兩側(cè)墻面高米，地面跨度米．車輛行駛方向的右側(cè)車道線（寬度忽略不計）與墻面的距離為1米．問題解決：（1）如圖2，求涉水線離坡底的距離（精確到0.01米）；（2）在圖3中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的解析式；（3）限高架上標(biāo)有警示語“車輛限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精確到米）．【答案】（1）米（2）（3）米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的相關(guān)應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)的解析式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）認真研讀題干，過點M作，代入數(shù)值得，進行計算，即可作答．（2）先以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，再把代入進行計算，得，即可作答．（3）認真研讀題干，得出，再算出當(dāng)時，，則，，即可得出（米），即可作答．【小問1詳