第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京十四中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，共50分。1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿足aA.5 B.7 C.9 D.112.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(

)A.(sinπ3)′=cosπ3 B.3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1=?1，aA.?15 B.?5 C.5 D.154.某一批種子的發(fā)芽率為23.從中隨機(jī)選擇3顆種子進(jìn)行播種，那么恰有2顆種子發(fā)芽的概率為(

)A.29 B.827 C.495.已知某高山滑雪運(yùn)動(dòng)員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的位移I(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系為I(t)=2t2+32t.A.17.5m/s B.21.5m/s C.38m/s D.57.5m/s6.定義在區(qū)間[?12,4]上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(?12,0)單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值

D.函數(shù)f(x)在7.函數(shù)f(x)=x?2sinx在區(qū)間[0,π]上的最小值為A.π4?1 B.0 C.π 8.在等差數(shù)列{an}中，“a2+aA.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.對(duì)于數(shù)列{an}，若存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，都有|an|≤M，則稱數(shù)列{an}是有界的.若這樣的正數(shù)M不存在，則稱數(shù)列{an}A.若an=1n，則數(shù)列{an}是無(wú)界的

B.若an=nsinn，則數(shù)列{an}是有界的

C.10.已知函數(shù)f(x)=2lnx,x>1,x+1,x≤1.若x1<x2，且f(A.3?2ln2 B.4?2ln3 C.2 D.e?1二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.已知函數(shù)f(x)=x2，則Δx→0lim12.若隨機(jī)變量X的分布列為X012P11a則a=______，D(X)為隨機(jī)變量X的方差，則D(X)=______.(用數(shù)字作答)13.在公差為d的等差數(shù)列{an}中，S10=314.已知函數(shù)f(x)=x3?3x2?9x+m，則f(x)的極小值點(diǎn)是______；若f(x)在區(qū)間15.已知數(shù)列{an}滿足an+1=14(an?6)3+6(n=1,2,3,?)，

①當(dāng)四、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，設(shè)bn=3n?2+an．

(Ⅰ)求a3的值；

(Ⅱ)若m是a3和b4的等差中項(xiàng)，求m的值；

17.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中不放回地隨機(jī)抽出1道題．

(Ⅰ)求第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率；

(Ⅱ)求在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到代數(shù)題的概率；

(Ⅲ)判斷事件“第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到代數(shù)題”是否互相獨(dú)立．18.已知函數(shù)f(x)=lnxx．

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極值．19.某學(xué)校開展健步走活動(dòng)，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步數(shù)信息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示．

(Ⅰ)從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；

(Ⅱ)從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如圖2所示.已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221名，判斷這是哪一天的數(shù)據(jù).(只需寫出結(jié)論)20.已知函數(shù)f(x)=(1x+a)ex．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線傾斜角為銳角，求x0的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)21.設(shè)集合A={?1,a1,a2,…,an}，其中1=a1<a2<…<an，n≥2，B={x|x=(p,q)，p∈A，q∈A}.若對(duì)任意的向量x1∈B，存在向量x2∈B，使得x1⊥x2，則稱A是“T集”．

(1)設(shè)M={?1,1,2}，N={?1,1,2,3}，判斷M，N是否為“T集”.若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)已知A是“T集”．

(i)若A參考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.A

9.ABD

10.A

11.2

12.13

213.3

14.3

[?3,3)

15.4

(4,6)∪(8,+∞)

16.解：(Ⅰ)因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，

所以an=1×2n?1=2n?1?a3=23?1=4；

(Ⅱ)因?yàn)閎n=3n?2+an=3n?2+2n?1，

所以b17.解：(Ⅰ)設(shè)事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，

則P(A)=35，P(AB)=35×24=310；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12；

(Ⅲ)由(Ⅰ)18.(1)函數(shù)f(x)=lnxx的定義域是(0,+∞)，

f′(x)=1?lnxx2，

f(1)=0，f′(1)=1，

∴切線方程是：y?0=(x?1)，

故切線方程為：x?y?1=0；

(2)f′(x)=1?lnxx2，

令f′(x)>0，解得：0<x<e，令f′(x)<0，解得：x<e，

∴f(x)在(0,e)19.解：(Ⅰ)設(shè)“甲比乙的步數(shù)多”為事件A．

在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多，

所以P(A)=27，

即這一天甲比乙的步數(shù)多的概率為27．

(Ⅱ)由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天，

X的所有可能取值為0，1，2，

P(X=0)=C53X012P241即E(X)=0×27+1×47+2×17=20.(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=exx,x≠0，因此f′(x)=(x?1)exx2,x≠0，

因曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線傾斜角為銳角，

因此f′(x0)=(x0?1)ex0x02>0，得x0>1，

因此x0的取值范圍為(1,+∞)．

(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=(1x+1)ex=(x+1)exx,x≠0，

因此f′(x)=(x+2)xex?(x+1)exx2=(x2+x?1)exx2，

由f′(x)>0，即x2+x?1>0，解得x<?1+52或x>5?12，

因此，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?1+52)、(5?12,+∞)．

(3)因?yàn)閒(x)=(1x+a)?ex，因此f′(x)=(ax2+x?1)exx2，

令g(x)=ax2+x?1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)任意的x∈(0,1)，g(x)=x?1<0，不符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸x=?12a<0，因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因?yàn)間(0)=?1<0，只需g(1)=a>0，符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x=?12a>0，

因?yàn)間(0)=?1<0，只需12<?12a<1g(1)=a≥0或?12a≥1g(1)=a>0，不符合題意，舍去．

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+∞)．

21.解：(1)M是“T集”；N不是“T集”．

理由如下：對(duì)于向量x1=(2,3)，若存在x2=(m,n)∈B，使得x1⊥x2，

所以2m+3n=0，故m，n中必有一個(gè)為?1，此時(shí)另一個(gè)為32或23，顯然不符合．

(2)(i)因?yàn)锳中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，所以該等差數(shù)列的首項(xiàng)為?1，公差為2，故ak=2k?1，1≤k≤n．

對(duì)于向量x1=(an?1,an)=(2n?3,2n?1)，若存在x2∈B，使得x1⊥x2，

所以向量x2的