第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市海誼中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=a2?4+(a?2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=A.0 B.±2 C.2 D.?22.已知集合M=?2,?1,0,1,2，N=xx2?x?6≥0A.?2,?1,0,1 B.0,1,2 C.?2 D.23.已知圓M的圓心在曲線xy=2(x>0)上，且圓M與直線x+2y+1=0相切，則圓M面積的最小值為(

)A.5π B.25π 4.已知?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b=1,C=π4，?ABC的面積S=2，則?ABC的外接圓的半徑為(

)A.45 B.25 C.5.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx，?x1，x2∈R，x1A.f3<fπ<f2 B.fπ6.已知向量a=2,?λ,b=?1,λ?2,A.?4 B.?2 C.2 D.47.圓C:(x?1)2+(y?1)2=1A.相切 B.相交 C.相離 D.相交且過圓心8.已知fx3=lgx，則A.1 B.310 C.13 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a，b在α上的射影有可能是(

)A.兩條平行直線 B.兩條互相垂直的直線

C.同一條直線 D.一條直線及其外一點(diǎn)10.已知雙曲線C:x22?A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2

B.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為m

C.若2,0是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則m=2

D.若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則m=211.在?ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=2，b=52，c=3，則(

)A.sinA:sinB=5:4 B.C=2A

C.?ABC是鈍角三角形 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a>0，若函數(shù)f(x)=x+a,x≤a,lnx+2,x>a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍為

13.已知在等比數(shù)列an中，a1a3a11=814.設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若PX=1?PX=0=0.2，則PX=1=

，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)用分層隨機(jī)抽樣從某校高二年級(jí)800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分為100分，成績(jī)都是整數(shù))中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績(jī)數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績(jī)數(shù)據(jù)60個(gè)．再將40個(gè)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6組：40,50,50,60，60,70,(1)估計(jì)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；(2)若成績(jī)不低于80分的為“優(yōu)秀”等級(jí)，用樣本的頻率分布估計(jì)總體，估計(jì)高二年級(jí)男生中成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)．16.(本小題15分)已知等差數(shù)列{1an}的前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列an(2)若a1a2+17.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD,AD//BC，AD=AP=2AB=2BC=2，PA⊥平面ABCD,E為棱PD上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)E為棱PD的中點(diǎn)時(shí)，證明：EC//平面PAB；(2)若PE=2ED，求平面EAC與平面PAB夾角的余弦值．18.(本小題17分)已知橢圓C:x2a2+(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)(0,?2)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若?OAB的面積為2，求|AB|．19.(本小題17分對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=fx，如果存在區(qū)間m,n?D，同時(shí)滿足①fx在m,n內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是m,n時(shí)，fx的值域也是(1)求證：0,2是函數(shù)fx(2)求證：函數(shù)gx=4+6答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】由題意可得a2【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=a所以a2?4=0a?2≠0故選：D．2.【答案】C

【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合M中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)镹=xx2所以M∩N=?2故選：C．方法二：因?yàn)镸=?2,?1,0,1,2，將?2,?1,0,1,2代入不等式x2?x?6≥0，只有?2故選：C．3.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)Ma,2a【詳解】由圓M的圓心在曲線xy=2(x>0)上，可設(shè)Ma,又因?yàn)閳AM與直線x+2y+1=0相切，則圓M的半徑r=a+當(dāng)且僅當(dāng)a=4a，即即圓M的半徑的最小值rmin=5，所以圓故選：C．4.【答案】D

【解析】【分析】由面積公式求得a=42，由余弦定理求得【詳解】因?yàn)閎=1,C=π4，?ABC的面積S=2，所以S=1由余弦定理得c2解得c=5(負(fù)值舍去)，由正弦定理可知，?ABC的外接圓的半徑為c2故選：D．5.【答案】B

【解析】【分析】分析可知fx是R【詳解】因?yàn)?x1，x2∈R，且x1?x2f可知fx是R上的減函數(shù)，且π>3>2，所以f故選：B．6.【答案】B

【解析】【分析】由題意結(jié)合向量平行坐標(biāo)表示可得答案．【詳解】因?yàn)閍=2,?λ,b=所以1×2?2λ=2×3，所以故選：B．7.【答案】A

【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，與半徑比較即可得出答案．【詳解】圓C:(x?1)2+(y?1)2直線l:x4+則圓心C到直線l的距離d=3+4?12所以直線l與圓C相切．故選：A8.【答案】C

【解析】【分析】令x3【詳解】令x3=10，則所以f10故選：C．9.【答案】ABD

【解析】【分析】以正方體為例，找出滿足題意的兩條異面直線和平面α，然后判斷選項(xiàng)的正誤．【詳解】解：不妨以正方體為例，A1D與BC1在平面AB1與BC1在平面ABCD如果a、b在α上的射影是同一條直線，那么a、b共面，C不正確．DD1與BC1在平面故選：ABD．10.【答案】CD

【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】對(duì)于A，雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為22，故對(duì)于B，因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b，所以雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為m，故B對(duì)于C，若2,0是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則22=2+m，解得m=2，故對(duì)于D，雙曲線C的兩條漸近線為y=±若兩條漸近線相互垂直，則?2m2×故選：CD11.【答案】BD

【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得sinA:sinB=a:b即可判斷A；再根據(jù)三邊長(zhǎng)可求A,C的余弦值，進(jìn)一步可判斷A,C關(guān)系；再根據(jù)“大邊對(duì)大角”可知C最大，C【詳解】根據(jù)正弦定理asinA=bsin根據(jù)正弦定理可知C最大，余弦定理cosC=a2+b2?c2cosA=b2+c2?a22bc=故選：BD．12.【答案】0,1【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得分段fx【詳解】因函數(shù)y=x+a在?∞,a和y=lnx+2在則這兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的零點(diǎn)均至多有1個(gè)，因fx則函數(shù)y=x+a在?∞,a和y=lnx+2在a,+∞上分別有令x+a=0，得x=?a，則?a≤a，即a≥0；令lnx+2=0，得x=1e又a>0，則a∈0,故答案為：0,13.【答案】4

【解析】【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求值．【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a則a1a3a11=a所以a2故答案為：4．14.【答案】0.6或35

；

；

；

；0.6或3【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布求解概率PX=1及數(shù)學(xué)期望E【詳解】隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，PX=1根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可知：P解得PX=1=0.6，所以故答案為：0.6；0.6．15.【答案】解：(1)在[40,80)內(nèi)的成績(jī)占比為0.01×10+0.015×10+0.015×10+0.03×10=0.7<0.8，在[40,90)內(nèi)的成績(jī)占比為0.7+0.025×10=0.95>0.8，因此第80百分位數(shù)在[80,90)內(nèi)，80+10×0.8?0.7所以估計(jì)第80百分位數(shù)約是84．(2)成績(jī)不低于80分的頻率為(0.025+0.005)×10=0.3，則高二年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)估計(jì)為：0.3×40所以估計(jì)高二年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為96人．

【解析】【分析】(1)根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合第80百分位數(shù)的意義求得答案．(2)求出成績(jī)不低于80分的頻率，估計(jì)高二年級(jí)男生中“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)．16.【答案】解：(1)∵Sn=n2，∴又S1=1，即1an=2n?1(2)∵a∴a∴n2n+1>1633即正整數(shù)n的最小值為17．

【解析】【分析】(1)利用an=S1,n=1(2)寫出數(shù)列anan+1的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求得ana17.【答案】解：(1)取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以EF//AD,EF=1因?yàn)锳D//BC,AD=2BC，所以EF//BC,EF=BC，所以四邊形EFBC為平行四邊形，所以EC//BF．又BF?平面PAB,EC?平面PAB，所以EC//平面PAB．(2)因?yàn)锳B⊥AD,PA⊥平面ABCD，即AB,AD,AP兩兩垂直，故可以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A0,0,0因?yàn)镻E=2ED，所以E0,所以AC=設(shè)平面EAC的法向量為n=則n取y=1，得x=?1,z=?2，所以n=因?yàn)锳B⊥AD,AP⊥AD,AB∩AP=A,AB,AP?平面PAB，所以AD⊥平面PAB．所以AD=0,2,0為平面PAB設(shè)平面EAC與平面PAB的夾角為θ，則cosθ=所以平面EAC與平面PAB夾角的余弦值為6

【解析】【分析】(1)通過線線平行即可證得線面平行；(2)建系后，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，出平面EAC和平面PAB的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得．18.【答案】解：(1)因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，故a=2，而離心率為22，故故b=2，故橢圓方程為：(2)由題設(shè)直線AB的斜率不為0，故設(shè)直線l:x=ty+2，A由x=ty+2x2故Δ=16t4?4且y1故S?OAB解得t=±故AB=

【解析】【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出基本量后可得橢圓方程；(2)設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)t表示面積后可求t的值