第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年吉林省吉林十二中高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i為虛數(shù)單位，則(2+3i)(4?i)=(

)A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i2.已知向量a=(?1,12)，b=(1,m)，若aA.3 B.2 C.5 3.某公司利用無人機進行餐點即時的送，利用空間坐標表示無人機的位置，開始時無人機在點O(0,0,0)處起飛，6秒后到達點A(0,0,90)處，15秒后到達點B處，若AB=(120,0,0)，則|OB|=A.307 B.120 C.150 4.某中學為了解學生課外閱讀的情況，隨機抽取了該校部分學生，對他們每周的課外閱讀時間(單位：小時)進行調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：閱讀時間[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]學生人數(shù)6915128則從該校隨機抽取1名學生，估計其每周的課外閱讀時間少于4小時的概率為(

)A.0.3 B.0.2 C.0.4 D.0.55.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若α//β，m?α，n?β，則m//n

B.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n

C.若m//α，α⊥β，則m⊥β

D.若m，n是異面直線，m?α，n?β；m//β，n//α，則α//β6.已知空間向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)，若a,A.0 B.1 C.2 D.37.已知z1，z2是復數(shù)，則“|z1+zA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.某中學開展勞動實習，學習制作模具加工，現(xiàn)將一個圓臺加工成一個球體.已知圓臺的上、下底面的半徑之和為6，母線長為8，且母線與底面所成的角為60°，則得到的球的表面積的最大值為(

)A.48π B.100π3 C.24π D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在一次射擊決賽中，某位選手射擊了一組子彈，得分分別為8.3，8.4，8.4，8.7，9.2，9.4，9.5，9.9，10.1，10.1，則(

)A.該組數(shù)據(jù)的極差為1.8

B.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為10.1

C.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為9.9

D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(

)A.若a=23,A=π3，則△ABC的外接圓的面積為4π

B.若a=3,b=4,A=π3，則滿足條件的三角形有兩個

C.若△ABC為銳角三角形，則11.如圖，在棱長為2的正方體中ABCD?A1B1C1D1，E為線段CC1的中點，F(xiàn)為線段A.過A，D1，E三點的平面截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面的面積為92

B.存在點F，使得平面EF/?/平面AD1C

C.當F在線段A1B上運動時，三棱錐12.已知隨機事件A與B對立，B與C相互獨立，若P(A)=0.4，P(C)=0.3，則P(BC)=______．13.已知平面α的法向量為n=(2,1,2)，點A(0,1,1)為平面α內(nèi)一點，點P(1,0,2)為平面α外一點，則點P到平面α的距離為______．14.費馬點是三角形內(nèi)到三個頂點距離之和最小的點，具體位置取決于三角形的形狀.當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點O即為費馬點；當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，O為費馬點.若a=7，b=1，c=3，則OA?四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知i是虛數(shù)單位，z?表示z的共軛復數(shù)，復數(shù)z滿足(1+i)?z=z?+1．

(1)求|z|的值；

(2)16.(本小題15分)

在等腰梯形ABCD中，AB/?/CD，AB=2，AD=CD=1，E為AB的中點，點F在BC上，且BF=2FC，記AB=a,AD=b．

(1)用向量a，b表示向量17.(本小題15分)

記銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2,bcosB=2sin2B．

(1)求A；

(2)求18.(本小題17分)

用分層隨機抽樣從某校高一年級1000名學生的數(shù)學成績(滿分為100分，成績都是整數(shù))中抽取一個樣本容量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個，女生成績數(shù)據(jù)60個.再將40個男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)由頻率分布直方圖，求出圖中t的值；

(2)為了進一步分析學生的成績，按性別采用分層隨機抽樣0.025的方法抽取5人，再從中抽取2人，求這2人中男生女生各1人的概率；

(3)已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為66和40，求總樣本的平均數(shù)和方差．19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=12CD=1,PA=2，PC=5，點Q為棱PC上一點．

(1)證明：PA⊥CD；

(2)當點Q為棱PC的中點時，求直線PB與平面BDQ所成角的正弦值；

(3)當二面角P?BD?Q

答案解析1.【答案】B

【解析】解：(2+3i)(4?i)=8?2i+12i+3=11+10i．

故選：B．

利用代數(shù)形式的復數(shù)乘法計算得解．

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：因為a⊥b，所以a?b=?1+12m=0，解得m=2，所以|b3.【答案】C

【解析】解：由題意可知，OB=OA+AB=(120,0,90)，

所以|OB|=1202+024.【答案】A

【解析】解：由統(tǒng)計表可知，共抽取了6+9+15+12+8=50名學生，

閱讀時間少于4小時有6+9=15人，

∴從該校隨機抽取1名學生，估計其每周的課外閱讀時間少于4小時的概率為1550=0.3．

故選：A．

根據(jù)古典概型的概率公式求解．5.【答案】D

【解析】解：對A選項，若α/?/β，m?α，n?β，則m/?/n或m與n異面，所以A選項錯誤．

對B選項，若α⊥β，m?α，n?β，則m與n可以成[0,π2]的任意角，所以B選項錯誤；

對于C，如圖所示m/?/α，α⊥β，但m//β，所以C選項錯誤；

對于D選項，由n/?/α，則過直線n作平面δ，使得δ∩α=l，于是n/?/l，

而l?β，n?β，所以l/?/β，由m，n是異面直線，則l，m必相交，

m//β，l?α，m?α，所以α/?/β，所以D選項正確．

故選：D．

利用線面垂直的判定，線面平行的判定，線線的位置關(guān)系及面面平行的性質(zhì)逐一判斷即可．

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，因為a,b,c共面，所以存在實數(shù)對(x,y)，使得c=xa+yb，

即(5,2,z)=x(1,0,3)+y(2,1,0)=(x+2y,y,3x)，

所以x+2y=5,y=2,3x=z,解得x=1,y=2,z=3.

故選：D．

根據(jù)題意，由空間向量基本定理可得存在實數(shù)對(x,y)，使得c=xa+y7.【答案】B

【解析】解：取z1=1，z2=i，此時滿足|z1+z2|=|z1?z2|，但z1z2=i≠0，

反之，設z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，

若z1z2=(ac?bd)+(ad+bc)i=0，得ac?bd=0，ad+bc=0，

則(ac?bd)2+(ad+bc)2=(8.【答案】B

【解析】解：設圓臺的上、下底面的半徑分別為r1，r2(r2>r1)，

因為圓臺的上、下底面的半徑之和為6，母線長為8，且母線與底面所成的角為60°，

所以r1+r2=6，且圓臺的軸截面是一個等腰梯形，等腰梯形的底角為60°．

所以母線長為2(r2?r1)=8，即r2?r1=4，結(jié)合r1+r2=6，解得r1=1，9.【答案】ACD

【解析】解：已知數(shù)據(jù)為8.3，8.4，8.4，8.7，9.2，9.4，9.5，9.9，10.1，10.1，

對于A，極差等于10.1?8.3=1.8，故A正確；

對于B，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為10.1和8.4，故B錯誤；

對于C，10×75%=7.5，故75%分位數(shù)為9.9，故C正確；

對于D，平均數(shù)等于8.3+8.4+8.4+8.7+9.2+9.4+9.5+9.9+10.1+10.110=9.2，

去掉9.2后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確．

故選：ACD．

根據(jù)題意，利用極差、百分位數(shù)、平均數(shù)的概念逐項判斷即可．10.【答案】AC

【解析】解：A中，因為a=23,A=π3，設R為△ABC外接圓的半徑，

由正弦定理可得：asinA=2332=4=2R，

解得R=2，故△ABC的外接圓的面積為πR2=4π，故A正確；

B中，因為a=3,b=4,A=π3，可得bsinA=4×32=23>3，即a<bsinA，所以該三角形不存在，故B錯誤；

C中，若△ABC為銳角三角形，則A+B>π2，所以A>π2?B，

所以sinA>sin(π2?B)=cosB，同理sinB>cosA，

所以sinA+sinB>cosA+cosB，故C正確；

D中，若11.【答案】ACD

【解析】解：對于選項A，∵正方體的對面互相平行，

∴過A，D1，E三點的平面截正方體ABCD?A1B1C1D1的對面ADD1A1，BCC1B1所得截線互相平行，

又∵E為線段CC1的中點，∴截面交BC于其中點G，

連接AG，GE，ED1，D1A，則四邊形AD1EG即為所求截面，顯然為等腰梯形，

且AD1=22,EG=2,AG=D1E=22+12=5，

梯形的高?=AG2?(AD1?EG2)2=5?(22)2=322，

面積為S=(AD1+EG)?2=92，故選項A正確；

對于選項B：過E與平面AD1C平行的直線都在過E與平面AD1C平行的平面內(nèi)，

易知過E與平面AD1C平行的平面截正方體ABCD?A1B1C1D1的截面為如圖所示1的六邊形EGHIJK，其各頂點都是正方體的相應棱的中點，

由于A1B//IH，12.【答案】0.18

【解析】解：∵隨機事件A與B對立，B與C相互獨立，P(A)=0.4，P(C)=0.3，

∴P(B)=1?P(A)=1?0.4=0.6，

∵B與C相互獨立，

∴P(BC)=P(B)P(C)=0.6×0.3=0.18．

故答案為：0.18．

根據(jù)對立事件的概率公式求出P(B)，根據(jù)獨立事件的概率公式求出P(BC)．

本題考查隨機事件、相互獨立概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．13.【答案】1

【解析】解：由題意得AP=(1,?1,1)，

又平面α的法向量為n=(2,1,2)，

∴點P到平面α的距離d=|n?AP||n14.【答案】?3【解析】解：由a=7，b=1，c=3，顯然最大角為C，

且cosC=7+1?927=?714>?12=cos120°，

又0°<C<180°，所以C為小于120°的鈍角，且sinC=32114，

所以費馬點O在三角形內(nèi)部，且∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，

所以SΔABC=115.【答案】5；

(1,【解析】解：(1)令z=a+bi且a，b∈R，則(1+i)(a+bi)=(a?bi)+1，

所以a?b+(a+b)i=a+1?bi，則a?b=a+1，a+b=?b，解得：a=2，b=?1，

所以z=2?i，則|z|=5；

(2)由z1=2+i?3m+(m2?3m+1)i=2?3m+(m2?3m+2)i，

故對應點(2?3m,m2?3m+2)在第三象限，則2?3m<0m2?3m+2<0，

所以16.【答案】EF=16a+2【解析】解：(1)如圖，

連接DE，由題意知，ED=AD?AE=b?12a，

因為DC/?/EB且DC=EB，所以四邊形EBCD為平行四邊形，

所以BC=ED，即BC=b?12a，

因為點F在BC上，且BF=2FC，所以BF=23BC=23b?13a，

所以EF=EB+BF=12a+23b?13a=16a+23b；

(2)在等腰梯形ABCD中，過C，D分別作AB的垂線，垂足分別為M，N，

17.【答案】A=π4；

4【解析】(1)因為a=2,bcosB=2sin2B，

所以bcosB=22sinB?cosB．

又△ABC為銳角三角形，故cosB≠0，

可得b=22sinB，即bsinB=22，

由正弦定理可得asinA=bsinB=22，a=2，

所以sinA=22

又A∈(0,π2)，

故A=π4；

(2)由正弦定理得bsinB=csinC=asinA=22，

則b=22sinB，c=22sinC，

由(1)知A=π4，18.【答案】t=0.015；

35；

平均數(shù)和方差分別為68和105.1．【解析】(1)根據(jù)題意可得(0.01+2t+0.03+0.025+0.005)×10=1，解得t=0.015；

(2)男生成績數(shù)據(jù)40個，女生成績數(shù)據(jù)60個，按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取5人，

則抽取男生人數(shù)為5×40100=2，女生人數(shù)為3人，

所以再從中抽取2人，這2人中男生女生各1人的概率為C21C31C52=35；

(3)設男生成績樣本平均數(shù)為x?=71，方差為sx2=187.75，

女生成績樣本平均數(shù)y?=66，方差為sy2=40，總樣本的平均數(shù)為z?