第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省延邊州敦化實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=?2+i，則(

)A.z的虛部為i B.|z|=5 C.z?=?2?i 2.已知平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，則BE=(

)A.AD?12AB B.AD+13.已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若A：B：C=1：1：4，則a：b：c=(

)A.1：1：3 B.2：2：3 C.1：1：2 D.1：14.若單位向量a，b滿足|a+3b|=A.263 B.2335.如圖，在空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA上分別取點(diǎn)E、F、G、H，若直線EH、GF相交于點(diǎn)P，則(

)A.點(diǎn)P必在直線AC上

B.點(diǎn)P必在直線BD上

C.點(diǎn)P必在平面ABC內(nèi)

D.點(diǎn)P必在平面ACD內(nèi)6.tan(?877.5°)=(

)A.?2?1 B.1?2 7.山西應(yīng)縣木塔，始建于1056年，是世界上現(xiàn)存最高大、最古老的純木樓閣式建筑，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”.某同學(xué)為了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高為15m，在地面上點(diǎn)C處(B,C,N在同一水平面上且三點(diǎn)共線)測(cè)得木塔頂部M，建筑物頂部A的仰角分別為60°和15°，在A處測(cè)得木塔頂部M的仰角為30°，則可估算木塔的高度為(

)A.(15+452)m B.(45+152)m8.在△ABC中，點(diǎn)D滿足AD?12CB=AC，|AD|=2，點(diǎn)EA.[?4,32] B.[?2,32]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列關(guān)于空間幾何體的敘述錯(cuò)誤的是(

)A.底面是正方形的棱錐是正四棱錐

B.任何一個(gè)幾何體都必須有頂點(diǎn)、棱和面

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

D.一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面10.已知a,b,cA.若a?c=b?c，則a=b

B.若|a+b|=|a?11.若z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.若|z1|=1，則1z1+z1∈R

B.若z13=z23，則z1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若向量a=(3,6),b=(?1,1)，則向量a在向量b13.在邊長為2的菱形ABCD中，M，N分別為BC，CD的中點(diǎn)，AM?AB=5，則AM?AN=14.已知某地區(qū)某天的溫度(單位：℃)隨時(shí)間t(單位：?)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系f(t)=28+Asin(π8t+3π4)(A>0)，t∈[0,24)，且這天的最大溫差為8℃，則A=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(?2,3)，b=(k,2?k)．

(1)若a//b，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)若a+2b與16.(本小題15分)

如圖所示，O′A′B′C′為四邊形OABC的斜二測(cè)直觀圖，其中O′A′=3，O′C′=1，B′C′=1．

(1)畫出四邊形OABC的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；

(2)若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．17.(本小題15分)

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)將f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在區(qū)間[?π1218.(本小題17分)

如圖，在直角梯形OABC中，OA//CB，OA⊥OC，OA=2BC=2OC=2，M為AB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)用OA和OC表示OM；

(2)設(shè)OB=λCA+μOP19.(本小題17分)

在△ABC中，D是AB邊上靠近B的三等分點(diǎn)．

(1)若CD=DB，證明：BC+2ACcos∠ACB=0；

(2)若∠ACD=π3，AD=3．

(i)求△ABC面積的最大值；

(ii)求BC的最小值．答案解析1.【答案】C

【解析】解：由z=?2+i，得z的虛部為1，故A錯(cuò)誤；

|z|=(?2)2+12=5，故B錯(cuò)誤；

由共軛復(fù)數(shù)的定義可知z?=?2?i，故C正確；

由虛數(shù)不能比較大小可知，D錯(cuò)誤．

故選：C．

由已知可得z的虛部，即可判斷2.【答案】A

【解析】解：利用已知條件：則BE=BC+CE=BC+123.【答案】A

【解析】解：△ABC中，A：B：C=1：1：4，

所以三個(gè)內(nèi)角分別為30°，30°，120°；

則a：b：c=sinA：sinB：sinC

=12：12：32

=1：1：3．

故選：A．

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與正弦定理，即可求得a：4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閍，b為單位向量，|a+3b|=6，得a2+9b2+6ab=10+6a?b5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)镋H在面ABD上，

而GF在面BCD上，且EH、GF能相交于點(diǎn)P，

所以P在面ABD與面BCD的交線上，

而BD是面ABD與面BCD的交線，

所以點(diǎn)P必在直線BD上，

故選：B．

根據(jù)平面的基本性質(zhì)公理，利用兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在兩平面的公共直線上來判斷即可．

本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，是基礎(chǔ)題．6.【答案】C

【解析】解：由題意可得tan(?877.5°)=?tan(2×360°+157.5°)=?tan157.5°=tan22.5°，

因?yàn)閠an45°=2tan22．5°1?tan222.5°=1，

所以tan222.5°+2tan22.5°?1=0，

解得tan22．5°=2?17.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閟in15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°=6?24，

在Rt△ABC中，AC=ABsin∠ACB=15sin15°，

在△ACM中，∠ACM=180°?60°?15°=105°，∠MAC=30°+15°=45°，

則∠AMC=180°?∠ACM?∠MAC=30°，

由正弦定理，得MCsin∠MAC=ACsin∠AMC，

所以MC=ACsin∠MACsin∠AMC=15sin158.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锳D?12CB=AC，所以AD?AC=12CB，

即CD=12CB，所以點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

所以EB+EC=2ED，

所以EA?(EB+EC)=2EA?ED=?2|9.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正方形的中心的四棱錐是正四棱錐，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，球沒有頂點(diǎn)和棱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，棱柱的底面至少有3條邊，所以一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面，D正確．

故選：ABC．

根據(jù)空間幾何體的定義和特點(diǎn)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．

本題考查棱錐、棱臺(tái)、棱柱的結(jié)構(gòu)特征，注意棱錐、棱臺(tái)、棱柱的定義，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A，由a?c=b?c，所以|a|cos?a,c?=|b|cos?b,c?，不一定有a=b，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，因?yàn)閨a+b|=|a?b|，兩邊同時(shí)平方得：a2+2a?b+b2=a2?2a?b+b2，解得a?b=0，所以a⊥b，故B正確；

對(duì)于C，因?yàn)閨11.【答案】BCD

【解析】解：A選項(xiàng)，設(shè)z1=a+bi，a，b∈R，由|z1|=1，

得a2+b2=1,z1+1z1=a+bi+1a+bi=a+bi+a?bia2+b2=2a∈R，故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)z1=1,z2=?12+32i時(shí)，滿足z13=z2312.【答案】(?3【解析】解：向量a=(3,6),b=(?1,1)，

所以向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為：

a?b|b|?b|13.【答案】132【解析】【分析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

由平面向量的線性運(yùn)算將AM,AN用表示出來，由AM?【解答】

解：因?yàn)檫呴L為2的菱形ABCD中，

M，N分別為BC，CD的中點(diǎn)，

所以AM=AB+BM=AB+12BC=AB+12AD，

AN=AD+DN=AD+1214.【答案】4

6

【解析】解：對(duì)于函數(shù)f(t)=28+Asin(π8t+3π4)(A>0)，其最小正周期T=2ππ8=16<24，最大值為A+28，最小值為?A+28，

因?yàn)檫@天的最大溫差為8℃，

所以(A+28)?(?A+28)=2A=8，解得A=4；

令f(t)≥30，則4sin(π8t+34π)+28≥30，即sin(π8t+34π)≥12，

因?yàn)閠∈[0,24)，所以π8t+3π415.【答案】?4；

k=?4或k=94【解析】解：向量a=(?2,3)，b=(k,2?k)．

(1)a//b，可得?2(2?k)?3k=0，解得k=?4；

(2)a+2b與2a?b垂直，

可得(a+2b)?(2a?b)=016.【答案】解：(1)平面四邊形OABC的平面圖如下圖所示：

由上圖可知，平面四邊形OABC為直角梯形，

所以面積為(1+3)×22=4；

(2)旋轉(zhuǎn)而成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，

由(1)可知幾何體底面圓半徑為r=2，圓柱母線長和高都為1，即?1=l1=1，

圓錐的高為?2=2，母線長為l2=2【解析】本題考查平面圖形的直觀圖與斜二測(cè)畫法，組合體體積和表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

(1)根據(jù)題意畫出平面四邊形OABC的平面圖，可知平面四邊形OABC為直角梯形，計(jì)算面積即可；

(2)旋轉(zhuǎn)而成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，結(jié)合(1)中數(shù)據(jù)即可求解．17.【答案】f(x)=2sin(2x+2π3)；

g(x)取到最小值為?2，取到最大值為【解析】解：(1)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，

由最值得A=2，

由相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離得T2=π6?(?π3)=π2，則T=2πω=π，即ω=2，

此時(shí)f(x)=2sin(2x+φ)，

f(x)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為(?π12,2)，代入f(x)=2sin(2x+φ)得sin(?π6+φ)=1，

則?π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，即φ=2π3+2kπ(k∈Z)，

又因?yàn)?<φ<π，所以k=0,φ=2π3，

故函數(shù)的解析式為f(x)=2sin(2x+2π3)；

(2)將f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，

由題意得g(x)=2sin[2(x+π3)+2π3]=2sin(2x+4π3)=2sin(2x?2π318.【答案】解：(1)∵M(jìn)為AB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，OA/?/CB，OA=2BC=2OC=2，

∴OM=OA+23AB=OA+23(?OA+OC+12OA)=23OA+23OC；【解析】(1)根據(jù)條件可得出OM=OA+23(?OA+OC+12OA)，然后進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即可用OA,OC表示出OM；

19.【答案】證明見解析；

(i)938【解析】(1)證明：因?yàn)镈是AB邊上靠近B的三等分點(diǎn)，

所以BD=13BA，即CD?CB=13(CA?CB)，化簡得CD=13CA+23CB．

設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則|CD|=|DB|=13c，

因?yàn)镃D2=(13CA+23CB)2，所以19c2=19b2+49a2+49abcos∠ACB，即c2=b2+4a2+4abcos∠ACB…①，

在△A