第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年遼寧省朝陽實驗中學高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知U為整數(shù)集，A={x∈Z|x2>4}，則?A.{0,1} B.{?1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{?2,?1,0,1,2}2.若zi=z+i，則zz?=A.12 B.1 C.2 D.3.已知a,b為單位向量，若(a+2bA.35 B.?35 C.14.隨著暑假的來臨，中國各地旅游市場也迎來旺季.小明和小王都計劃在南京、北京、西安、廈門、杭州這5個城市中選2個城市去旅游，則小明和小王不會去相同城市的概率為(

)A.15 B.310 C.255.已知函數(shù)f(x)為定義在[1?a,4]上的偶函數(shù)，在[0,4]上單調(diào)遞減，并且f(?m?a5)<f(2)，則實數(shù)m的取值范圍是A.[?3,1] B.(?∞,?3)∪(1,+∞)

C.[?3,1)∪(3,5] D.[?5,?3)∪(1,3]6.已知拋物線C：y2=2x，過點M(23,12)的直線l與C相交于A，B兩點，且MA.6x+6y?7=0 B.6x?6y?1=0

C.2x?6y?5=0 D.12x?6y?5=07.若存在k，b∈R，使得直線y=kx+b與y=lnx，y=x2+ax的圖象均相切，則實數(shù)a的取值范圍是A.(?∞,?1] B.(?∞,1] C.[?1,+∞) D.[1,+∞)8.已知橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1A.(0,34) B.(0,34]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知圓C1：(x?m)2+y2=1A.?1 B.0 C.1 D.210.已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)2?1，則A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π

B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱

C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(?π6,0)對稱

D.函數(shù)11.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，點PA.當P為BC1中點時，三棱錐P?ABB1的外接球半徑為2

B.線段PQ長度的最小值為2

C.三棱錐D1?APC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知銳角α，β滿足sinα=55,cosβ=35，則13.在等差數(shù)列{an}中，a1=20，其前n項和為Sn，14.已知函數(shù)f(x)=x2,0≤x≤1lnx,x>1，若存在實數(shù)x1，x2(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且S=abc4．

(1)求△ABC的外接圓的半徑；

(2)若b+c=2，且A=2π3，求16.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2，AA1=4，點D為AC的中點．

(1)求證：B1C//平面17.(本小題15分)

已知某種機器的電源電壓U(單位：V)服從正態(tài)分布N(220,202).其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V～240V之間；③超過240V.在上述三種狀態(tài)下，該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.4，0.5，0.6．

(1)求該機器生產(chǎn)的零件為合格品的概率；

(2)為了檢測零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，記這4件中合格品有X個，求X的分布列、數(shù)學期望和方差．

附：若Z～N(μ,σ218.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)過點P(?32,4),Q(6,43)．

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過C的右焦點的直線l19.(本小題17分)

設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ax+1?34a(x∈(?1,+∞))，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828?．

(1)若a=1，求f(x)的最小值；答案解析1.【答案】D

【解析】解：U為整數(shù)集，A={x∈Z|x2>4}，

則?UA={x∈Z|x2≤4}={x∈Z|?2≤x≤2}={?2,?1,0,1,2}.={?2,?1,0,1,2}．

故選：2.【答案】A

【解析】解：由題意，z=ii?1=i(i+1)(i?1)(i+1)=1?i2，則zz?=3.【答案】D

【解析】解：因為a,b為單位向量，(a+2b)⊥(3a?b)，

所以(a+2b)?(3a?b4.【答案】B

【解析】解：兩人從5個城市中各選2個城市去旅游共有C52C52=100種選法，

若兩人不去相同城市，則有C52C32=30種選法，5.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．【解答】

解：由題意得1?a=?4，即a=5，

因為偶函數(shù)在[0,4]上單調(diào)遞減，根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反可知，

函數(shù)在[?4,0]上單調(diào)遞增，

因為f(?m?a5)<f(2)，

所以|?m?1|>2且|?m?1|≤4，

解得?5≤m<?3或1<m≤3，

6.【答案】D

【解析】解：已知拋物線C：y2=2x，過點M(23,12)的直線l與C相交于A，B兩點，且M為弦AB的中點，

顯然直線l不垂直于y，設(shè)直線l的方程為x?23=t(y?12)，

由x=t(y?12)+23y2=2x，

消去x得y2?2ty+t?43=0，

由弦AB的中點為M(23,12)，7.【答案】C

【解析】解：設(shè)y=lnx與y=x2+ax圖象上的切點分別為(x1,lnx1)，(x2,x22+ax2)，

則過這兩點處的切線方程分別為y=xx1+lnx1?1，y=(2x2+a)x?x22，

則1x1=2x2+a，lnx1?1=?x22，

∴a=ex22?1?2x2，

設(shè)f(x)=ex2?1?2x，則f′(x)=2(xe8.【答案】C

【解析】解：由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=7|PF2|，所以|PF1|=74a,|PF2|=14a，

又a?c≤|PF1|≤a+c9.【答案】BD

【解析】解：根據(jù)題意，可得圓C1：(x?m)2+y2=1的圓心C1(m,0)，半徑r1=1．

圓C2：(x?2)2+(y?m)2=9的圓心C2(2,m)，半徑r2=3，10.【答案】ABD

【解析】解：因為f(x)=(sinx+cosx)2?1=1+2sinxcosx?1=sin2x，

對于選項A：因為函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2π2=π，故A正確；

對于選項B：因為f(π4)=sinπ2=1為最大值，

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，故B正確；

對于選項C：因為f(?π6)=sin(?π3)=?32不為0，

所以函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(?π6,0)對稱，故C錯誤；

對于選項D：因為x∈[?π6,π12]，

11.【答案】ABC

【解析】解：對于A，當P為BC1中點時，

∵BCC1B1是正方形，∴B1P⊥BC1，

∵AB⊥平面BCC1B1，B1P?平面BCC1B1，∴AB⊥B1P，

∵AB∩BC1=B，AB、BC1?平面ABP，∴B1P⊥平面ABP，

∵B1P?平面APB1，∴平面APB1⊥平面ABP，

易知Rt△ABP外接圓圓心為AP中點，Rt△APB1外接圓圓心為AB1中點，

則過Rt△ABP外接圓圓心作平面ABP的垂線，過Rt△APB1外接圓圓心作平面APB1的垂線，

易知兩垂線交點為AB1中點，則三棱錐P?ABB1的外接球球心即為AB1中點，

外接球半徑即為AB12=2，故A正確；

對于B，如圖過P作PG⊥BC于G，過Q作QE⊥PG于E，

易知PQ≥QE=AG≥AB，故線段PQ長度的最小值為AB=2，故B正確；

對于C，

∵BC1/?/AD1，AD1?平面ACD1，BC1?平面ACD1，∴BC1/?/平面ACD1，

∵P∈BC1，故P到平面ACD1的距離為定值，又S△ACD112.【答案】2【解析】【分析】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡即可求解．【解答】

解：由sinα=55,cosβ=35,

且α,β均為銳角，

得cosα=1?13.【答案】?37

【解析】解：∵Sn+1n+1?Snn=?32，S11=a11=20，

∴數(shù)列{Snn}是首項為20，公差為?32的等差數(shù)列，

∴Snn=20+(n?1)×(?32)=?3214.【答案】32【解析】解：作出函數(shù)f(x)的圖象如下，

由圖象可知1<x2≤e，x12=lnx2，且有3x12+1x22=3lnx2+1x22，

令g(x)=3lnx+1x2(1<x≤e)，有g(shù)′(x)=1?6lnxx3(1<x≤e)，

令g′(x)>0，有1<x<e1615.【答案】解：(1)在△ABC中，12bcsinA=S=abc4，解得a=2sinA，

由正弦定理得：△ABC的外接圓的半為徑R=12?asinA=1．

(2)由(1)知，a=2sin2π3=3，

由余弦定理得a2=b2+c2?2bccos2π【解析】(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理、三角形面積公式求解即得．

(2)結(jié)合(1)的信息，求出邊a，再利用余弦定理結(jié)合已知面積關(guān)系求解即得．

本題考查正、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．16.【答案】解：(1)證明：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，連接AB1與A1B交于點E，連接DE，

由四邊形ABB1A1是矩形，得點E是AB1的中點，又點D是AC的中點，

則DE//B1C，又DE?平面A1BD，B1C?平面A1BD，

所以B1C/?/平面A1BD．

(2)取A1C1的中點F，連接DF，在等邊△ABC中，點D為AC的中點，則BD⊥AC，

以點D為原點，直線DB，DC，DF分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則D(0,0,0),B(3,0,0),A1【解析】(1)連接AB1與A1B交于點E，利用線面平行的判定推理即得；

(2)建立空間直角坐標系，求出平面17.【答案】0.5；

【解析】(1)記電壓“不超過200V”、“在200V～240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，

“該機器生產(chǎn)的零件為合格品”為事件D，

因為U～N(220,202)，

所以P(A)=P(U≤200)=1?P(μ?σ<Z<μ+σ)2=1?0.682=0.16，

所以P(B)=P(200<U<240)=P(μ?σ<Z<μ+σ)=0.68，

所以P(C)=P(U≥240)=1?P(μ?σ<Z<μ+σ)2=1?0.682=0.16，

所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=(1?0.4)×0.16+(1?0.5)×0.68+(1?0.6)×0.16=0.5，

所以該機器生產(chǎn)的零件為合格品的概率為0.5；

(2)由題意可知，X～B(4,0.5)，

則P(X=0)=X01234P11311所以X的數(shù)學期望為E(X)=4×0.5=2，

X的方差為D(X)=4×0.5×(1?0.5)=1．

(1)根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)二項分布求解分布列，代入期望和方差公式求解即可．

本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)由題可得：18a2?16b2=136a2?48b2=1，

解得：a2=9b2=16，

所以雙曲線C：x29?y216=1；

(2)由題，c2=a2+b2=25，所以雙曲線C的右焦點為(5,0)，

當直線l的斜率不存在時，l：x=5，

此時M(5,163),N(5,?163)，

所以O(shè)M=(5,163),ON=(5,?163)，

又OM?ON=25?2569≠0，

所以以MN為直徑的圓不經(jīng)過坐標原點，

即直線l的敘率存在，

設(shè)l：x=ty+5，【解析】(1)將P(?32,4),Q(6,43)分別代入雙曲線C即可求解a2，b2；

19.【答案】解：(1)當a=1時，f(x)=ex+1x+1?34，

所以f′(x)=ex?1(x+1)2，(x>?1)，

令p(x)=f′(x)=ex?1(x+1)2，(x>?1)，

p′(x)=ex+2(x+1)3>0，(x>?1)，

所以f′(x)單調(diào)遞增，又f′(0)=0，

所以當x∈(?1,0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當x∈(0,+∞)