第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省丹東市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.cos600°=(

)A.12 B.?12 C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足z=1?i2+i(i為虛數(shù)單位)，則z?A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知圓錐的母線長為2，底面圓的半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為(

)A.2π B.33π C.4.將函數(shù)f(x)=sin(2x?π3)的圖像向右平移π12A.g(x)=?cos2x B.g(x)=cos2x

C.g(x)=sin(2x?5π5.正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值是(

)A.13 B.33 C.6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，點D滿足CD=12AB，則A.6 B.8 C.83 7.已知正四棱臺的上下底面的邊長分別為2和22，體積為14A.28π3 B.32π3 C.16π38.已知α∈(0,π)，3sinα+cosα=1，則1?tanα2A.?2 B.2 C.?12 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是(

)A.若z1=2i，z2=3i，則z1<z2 B.若n∈N，則i4n=1

C.若z=2?i10.已知向量a，b，c均為單位向量，a+b+A.|a?b|=2 B.|11.已知函數(shù)f(x)=|sinx|,sinx≥cosx|cosx|,sinx<cosx，則下列說法正確的是(

)A.f(x)的值域是[0,1] B.f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)

C.f(x)在區(qū)間(π,3π2)上單調(diào)遞增 D.f(x)在[0,2π]三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a與b的夾角為120°,|a|=2,|a?2b|=213.已知等邊△ABC的邊長為43，AD是BC邊上的高，以AD為折痕將△ACD折起，使∠BDC=60°，則三棱錐A?BCD外接球的表面積為______．14.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2，(2+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC，則△ABC周長的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=cos(2x?π3)+cos2x．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)16.(本小題15分)

如圖，四面體ABCD中，點G是△ABC的重心，點E在AD上，AE=2ED．

(1)求證：GE//平面BCD；

(2)設(shè)過點G，E，C的平面為α，α與四面體的面相交，交線圍成一個多邊形．

(i)請在圖中畫出這個多邊形(不必說出畫法和理由)；

(ii)求出α將四面體分成兩部分幾何體體積之比．17.(本小題15分)

在△ABC中，已知∠BAC的平分線AD與邊BC相交于點D．

(1)求證：BDDC=ABAC；

(2)若BD=2DC，∠BAC=60°，AD=2，求18.(本小題17分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長均為2，△A1BC為等邊三角形．

(1)求證：A1B⊥平面AB1C；19.(本小題17分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且面積為S．

(1)若a2+b2+c2=43S，a=b，求C；

參考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.C

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.ACD

11.AD

12.1

13.52π

14.(4,6]

15.(1)因為f(x)=cos(2x?π3)+cos2x=32cos2x+32sin2x=3sin(2x+π3)，

所以f(x)的最小正周期為T=2π2=π；

(2)當(dāng)2x+π3=π2+2kπ，k∈Z時，sin(2x+π3)=1，則x=π12+kπ，k∈Z，f(x)有最大值為16.(1)證明：連接AG并延長交BC于點F，連接DF，

因為AGGF=AEED=2，因此GE//DF，

GE?平面BCD，DF?平面BCD，

因此GE//平面BCD．

(2)(i)連接CG并延長交AB于點H，連接HE，EC，則平面HEC即為α．

(ii)由(i)知，α將四面體ABCD分成兩部分，

即三棱錐C?AHE與四棱錐C?BDEH，記高為?，

△AHE△ABD=12×|AH|×|AE|×sin∠HAE12×|AB|×|AD|×17.(1)證明：在△ABD和△ADC中，如圖所示：

由正弦定理得：

BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC，

因為∠BDA+∠ADC=180°，所以∠ADC=180°?∠ADB，

所以DCsin∠DAC=ACsin∠ADC=ACsin(180°?∠BDA)=ACsin∠BDA，

即DCsin∠DAC=ACsin∠BDA，

又因為AD為∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠DAC，

所以BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，DCsin∠DAC=ACsin∠BDA，兩式相除得BDDC=ABAC，

所以BDDC=ABAC得證．

(2)解法一：由BD=2DC，由(1)得AB=2AC，所以S△ABC=S△ABD+S△ADC，

18.(1)證明：設(shè)AB1∩A1B=O，連接CO，

因為四邊形AA1B1B為菱形，所以A1B⊥AB1，A1O=OB，

又因為△A1BC為等邊三角形，所以A1B⊥CO，

因為AB1∩CO=O，AB1，CO?平面AB1C，

所以A1B⊥平面AB1C.

(2)設(shè)點C到平面AA1B1B的距離為d，

在△AOC中，AO=OC=3，AC=2，

可得點O到AC的距離為AO2?(AC2)2=2，

由(1)知，A1B⊥平面AB1C，

所以VC?AA1B=VA1?AOC+VB?AOC=2VA1?AOC=2×13×1×12×2×2=223，

又因為S△AA1B=12×3×2=3，

所以d=223=26319.(1)解：因為a2+b2+c2=43S，

所以a2+b2+c2=43×12