2025～2026學年上學期高一數(shù)學講義教材：人教A版高中數(shù)學必修第一冊章節(jié)：3.2.2奇偶性part1知識清單知識點01：函數(shù)的奇偶性1、定義：2、函數(shù)奇偶性的判斷2.1定義法：2.2圖象法：2.3性質(zhì)法：①在公共對稱定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)之和為奇函數(shù)，其積為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)之和與積都為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)之積為奇函數(shù)。奇函數(shù)的偶數(shù)個積、商是偶函數(shù)；奇函數(shù)的奇數(shù)個積、商是奇函數(shù)。奇函數(shù)的絕對值為偶函數(shù)；偶函數(shù)的絕對值為偶函數(shù)。即奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇|奇|=偶，|偶|=偶②y=f（x）=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)③奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性。即函數(shù)f（x）為［a,a］上的奇(偶)函數(shù)，且f（x）在［0,a］上單增（減），則f（x）在［a,0］上單增(減)。知識點02：奇函數(shù)，偶函數(shù)的性質(zhì)1、奇函數(shù)，偶函數(shù)的圖象特征2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系3、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值及最值的關(guān)系知識點03：對稱性1、軸對稱：2、點對稱3、拓展：Part2教材重點例題與習題1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)?f(x)=(2)f(x)=(3)f(x)=x+(4)f(x)=1x【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=x4的定義域為R.因為?x∈R，都有?x∈R，且所以，函數(shù)f(x)=x(2)函數(shù)f(x)=x5的定義域為R.因為?x∈R，都有?x∈R，且所以，函數(shù)f(x)=x(3)函數(shù)f(x)=x+1x的定義域為{x|x≠0}.因為?x∈{x|x≠0}，都有?x∈{x|x≠0}，且所以，函數(shù)f(x)=x+1(4)函數(shù)f(x)=1x2的定義域為{x|x≠0}.因為?x∈{x|x≠0}，都有?x∈{x|x≠0}所以，函數(shù)f(x)=1x2.已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，試將下圖補充完整．

【答案】解：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱?！遟(x)是奇函數(shù)，∴g(x)的圖象關(guān)于原點對稱。補全圖象如圖(1)(2)所示。

(1)

(2)

3.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=2(2)f(x)=x3【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=2x4+3x2的定義域是R都有f(?x)=2(?x)所以函數(shù)f(x)=2x(2)函數(shù)f(x)=x3?2x的定義域是R因為對定義域內(nèi)的每一個x，都有f(?x)=(?x)所以函數(shù)f(x)=x34.(1)從偶函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱;(2)從奇函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱．【答案】證明：(1)充分性，如果y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則y=f(x)是偶函數(shù)，在y=f(x)的圖象上任取一點P(x,f(x))，因為y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以P關(guān)于y軸的對稱點P′(?x,f(x))在y=f(x)的圖象，即(?x,f(?x))與(?x,f(x))為同一點，則f(x)=f(?x)，所以y=f(x)是偶函數(shù)，必要性，如果y=f(x)是偶函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，在y=f(x)的圖象上任取一點M(x,f(x))，則M關(guān)于y軸的對稱點為M′(?x,f(x))，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(?x)，即M′(?x,f(x))也在函數(shù)y=f(x)的圖象上，即y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，(2)(1)充分性，如果y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，則y=f(x)是奇函數(shù)，在y=f(x)的圖象上任取一點P(x,f(x))，因為y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，所以P關(guān)于原點的對稱點P′(?x,?f(x))在y=f(x)的圖象，即(?x,f(?x))與(?x,?f(x))為同一點，則?f(x)=f(?x)，所以y=f(x)是奇函數(shù)，必要性，如果y=f(x)是奇函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，在y=f(x)的圖象上任取一點M(x,f(x))，則M關(guān)于原點的對稱點為M′(?x,?f(x))，因為f(x)為奇函數(shù)，所以?f(x)=f(?x)，即M′(?x,f(?x))也在函數(shù)y=f(x)的圖象上，即y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，

Part3綜合練習一、單選題：在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.我國著名數(shù)學家華歲庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f(x)=3x1?x2A. B.C. D.2.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是減函數(shù)，且在區(qū)間[a,b](a<b<0)上的值域為[?3,4]，則在區(qū)間[?b,?a]上(

)A.有最大值4 B.有最小值?4 C.有最大值?3 D.有最小值?33.已知f(x)=3ax2+bx?5a+b是偶函數(shù)，且其定義域為[6a?1,a]，則a+b=A.17 B.?1 C.1 D.4.若函數(shù)fx=x2?2x,x≥0?A.2 B.?2 C.1 D.?15.定義域是R的函數(shù)f(x)滿足f(x)=?f(?x)，當x∈(0,2]時，f(x)=x2?x,x∈(0,1],?x+1,x∈(1,2]．若x∈[?2,0)時，f(x)≥A.(?∞,?2?6]∪[?2+6C.(?∞,?2?6]∪(0，?2+6二、多選題：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。6.若函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x2)是偶函數(shù) B.C.函數(shù)f(x)·x2是偶函數(shù) D.函數(shù)7.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=x2?2 B.y=2x 8.已知fx、gx都是定義在R上的函數(shù)，且fx為奇函數(shù)，gx的圖像關(guān)于直線x=1A.gf(x)+1為偶函數(shù) B.y=gC.y=fgx的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。9.函數(shù)fx=ax3+bx?2，f10.已知定義域為R的偶函數(shù)fx在[0,+∞)上單調(diào)遞增，且f12=0，則不等式fx?211.奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+1)為偶函數(shù)，且f(?1)=?1，則f(2020)+f(2021)=

．12.已知奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)=x，則當x∈[k,k+1](k∈Z)時，函數(shù)f(x)的解析式是

．四、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.已知函數(shù)fx=(1)求函數(shù)fx(2)判斷fx的奇偶性并證明．14.函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x(1)計算f0，f(2)當x<0時，求fx的解析式．15.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足：①f(0)=1；②任意的x，y∈R，f(x?y)=f(x)f(y)?g(x)g(y)．(1)求f2(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性．16.已知函數(shù)f(x)=x(1)當a=2時，判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)探究函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明．17.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，f(x)<0，且f(1)=?2．(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)單調(diào)性，求f(x)在區(qū)間[?3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m2?2am+2對所有的x∈[?1,1]，a∈[?1,1]恒成立，求實數(shù)18.已知定義在R上的函數(shù)fx是奇函數(shù)，且當x∈0,+∞時，f(1)求函數(shù)fx在R(2)解不等式ft2?t+1Part4綜合練習答案及解析1.【答案】C

【解答】解：∵函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠±1}，且f(x)滿足f(?x)=?f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，當x∈(0,1)時，f(x)>0，故排除A，當x>1時，f(x)<0，故排除BD，故選C．2.【答案】B

【解答】解：∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0,+∞)上是減函數(shù)，∴f(x)在(?∞,0)上也是減函數(shù)，∵在區(qū)間[a,b](a<b<0)上的值域為[?3,4]，∴最大值為f(a)=4，最小值為f(b)=?3，∴f(x)在區(qū)間[?b,?a]上也是減函數(shù)，且最大值為f(?b)=?f(b)=3，最小值為f(?a)=?f(a)=?4，故選：B．3.【答案】A

【解答】解：∵函數(shù)f(x)=3ax2+bx?5a+b∴定義域關(guān)于原點對稱，∴6a?1+a=0，解得a=1∴f(x)=3再由f(?x)=f(x)得37x2故a+b=1故選A．4.【答案】B

【解答】解：∵函數(shù)f(x)=x設x<0，則?x>0，∵x≥0時，f(x)=x∴f(?x)=(?x)∴f(x)=?x∴a=?2，故選：B．5.【答案】B

【解答】解：∵定義域是R的函數(shù)f(x)滿足f(x)=?f(?x)，∴函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，又∵當x∈(0,2]時，f(x)=∴利用函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)f(x)在[?2,2]上的大致圖象，如圖所示：，當x∈[?2,0)時，0?f(x)≤1，∵若x∈[?2,0)時，f(x)≥t∴t4?解得t≤2?6或故選B．6.【答案】AD

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，則f(?x)=?f(x)，對于A，函數(shù)f(x2)，其定義域為R即函數(shù)f(x2)對于B，函數(shù)[f(x)]2，其定義域為R，有即函數(shù)[f(x)]2為偶函數(shù)，對于C，函數(shù)f(x)·x2，其定義域為R，有即函數(shù)f(x)·x2為奇函數(shù)，對于D，函數(shù)f(x)+x，其定義域為R，有f(?x)+(?x)=?f(x)?x=?[f(x)+x]，即函數(shù)f(x)+x是奇函數(shù)，D正確，故選AD．7.【答案】AD

【解答】解：A中y=x2?2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故在0,1上也單調(diào)遞增，A正確;B中反比例函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，B錯誤;C中函數(shù)是偶函數(shù)，且在x∈0,+∞時，y=x+它在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)單調(diào)遞增，故C錯誤;D中函數(shù)是偶函數(shù)，在x∈0,1時化簡后即為y=x，在(0,1)上單調(diào)遞增，故D故選AD．8.【答案】ACD

【解答】解：因為fx所以f?x因為gx的圖像關(guān)于直線x=1所以g1?xA項：gf則函數(shù)y=gfx+1B項：g[f(?x)]=g[?f(x)]，由題目條件，無法得到g[?f(x)]恒等于?g[f(x)]，故y=gfx不一定是奇函數(shù)，C項：因為g1?x所以fg則y=fgx的圖像關(guān)于直線x=1對稱，D項：因為g1?x所以fg則函數(shù)y=fgx+1為偶函數(shù)，故選：ACD．9.【答案】?7

【解答】解：∵fx∴令gx=fx且g?x∴gx∴g?1∴f?1∴f?1故答案為?7．10.【答案】{x|x>52或【解答】解：∵偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)，f(1∴不等式f(x?2)>0等價為f(|x?2|)>f(1即|x?2|>12，即x?2>1即x>52或∴不等式f(x?2)>0的解集為{x|x>52故答案為：{x|x>5211.【答案】1

【解答】解：根據(jù)題意，奇函數(shù)f(x)定義域為R，則f(?x)=?f(x)，且f(0)=0又由f(x+1)為偶函數(shù)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則有f(?x)=f(2+x)，綜合可得f(2+x)=f(?x)=?f(x)，則有f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，故函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故f(2020)=f(0+505×4)=f(0)=0，f(2021)=f(1+505×4)=f(1)=?f(?1)=1，故f(2020)+f(2021)=0+1=1，故答案為：1．12.【答案】當k是偶數(shù)時，fx=x?k；當k是奇數(shù)時，f【解答】解：由f(x+2)=f(x)，可知奇函數(shù)f(x)的周期為2．x∈[?1,0]時，?x∈[0,1]，f(?x)=?x，則f(x)=?f(?x)=x，k=2n(n∈Z)時，x∈[k,k+1]，x?k∈[0,1]，f(x)=f(x?k)=x?k；k=2n?1(n∈Z)時，x∈[k,k+1]，x?k?1∈[?1,0]，f(x)=f(x?k?1)=x?k?1．故答案為：當k是偶數(shù)時，fx=x?k；當k是奇數(shù)時，13.【答案】解：(1)由1?x2≠0即f(x)的定義域{x|x≠±1}；(2)f(x)為偶函數(shù)．證明如下：由(1)知函數(shù)f(x)定義域關(guān)于原點對稱，且f(?x)=1+∴f(x)為偶函數(shù)．14.【答案】解：(1)∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)=0，∵x>0時，f(x)=x∴f(1)=1，∴f(?1)=?f(1)=?1;(2)當x<0時，?x>0，f(?x)=(?x∴?f(x)=∴f(x)=?x215.【答案】解：(1)依題意，f2(2)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；證明：由(1)知f2所以g2(0)=f所以f(?x)=f(0?x)=f(0)f(x)?g(0)g(x)=f(x)，

又因為f(x)的定義域為R，

所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．16.【答案】解：(1)當a=2時，f(x)=x?x1,則f(=(=(x因為1≤x所以x1?x2<0所以(x1+故f(x1)?f(所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)證明如下：fx的定義域是{x當a=0時，fx因為f?x所以fx是偶函數(shù)當a≠0時，因為f?1所