第三講傾斜角斜率直線的方程【知識(shí)儲(chǔ)備】一、直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.二、直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三、兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示四、兩條直線垂直的判定圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2五．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0，(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用題型一：直線的傾斜角和斜率A． B． C． D．【答案】D【分析】先應(yīng)用兩點(diǎn)求斜率，再根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系計(jì)算求解.故選:D.【答案】B【分析】應(yīng)用斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷．直線與都為銳角，且的傾斜角大于的傾斜角，故選：BA． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)直線的方程，利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.故選：C.A． B．6 C． D．4【答案】C故選：C.A． B． C． D．【答案】A故選：A.題型二：直線的傾斜角和斜率的應(yīng)用【答案】/【分析】根據(jù)兩點(diǎn)求得直線的斜率，根據(jù)二倍角的正切公式求得直線的斜率.故直線的斜率為.故答案為：.【分析】根據(jù)直線斜率公式以及傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.8．已知A?2,3、B2,1，若斜率存在的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,?1，且與線段AB有交點(diǎn)，則lA．?2,1 B．?1,2 C．?∞,?2∪【答案】C【分析】先利用直線的斜率公式計(jì)算kPA，k【詳解】由直線的斜率公式可得：kPA=3?結(jié)合圖形，要使直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,?1，且與線段AB有交點(diǎn)，l的斜率需滿足k≤?2或k≥1故選：C.9．已知直線l過(guò)點(diǎn)P1,0，且與以A2,1，B0,3為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l傾斜角的取值范圍為【答案】π4,【分析】解法一：根據(jù)題意，求出kAP，k解法二：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為kx?y?k=0，點(diǎn)A，B在直線l的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，所以2k?1?k?【詳解】解法一：由題意，kAP=1?0設(shè)直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，則α=π4，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與線段AB交點(diǎn)于C，當(dāng)直線l由PA變化到PC的位置時(shí)，直線l的傾斜角由π4增到π2，其斜率的范圍為1,+∞；當(dāng)直線l由PC變化到PB的位置時(shí)，直線l的傾斜角由π2增到故直線l傾斜角的取值范圍為π4,2故答案為：π4,2解法二：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx?1，即kx?y?k=0由題意，點(diǎn)A，B在直線l的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，所以2k?1?k?3?k≤0，即k?1k+故直線l的斜率的取值范圍為(?∞所以其傾斜角的取值范圍為π4故答案為：π4,2題型三：直線的方程10．過(guò)點(diǎn)(2,1)，平行于x軸的直線方程為．【答案】y=1【分析】平行于x軸直線，斜率為0，方程形式為y=1.【詳解】過(guò)點(diǎn)(2,1)，平行于x軸的直線方程為y=1.故答案為：y=111．經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,2且斜率為1的直線方程為.【答案】x?y+1=0【分析】根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可直接求解【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,2且斜率為1，所以y?2=x?1，即x?y+1=0，故答案為：x?y+1=0.12．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)?3,0，傾斜角是直線x=?1的傾斜角的13，則直線lA．x?3y+3C．3x?y+3=0 D．【答案】A【分析】先求出傾斜角，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求出其方程.【詳解】因?yàn)橹本€x=?1的傾斜角為90°，所以直線l的方程為y?0=tan30故選：A．13．直線y=3x?3在y軸上的截距是【答案】?3【分析】令x=0求出所對(duì)應(yīng)的y的值，即可得解.【詳解】對(duì)于直線y=3x?3，令x=0，可得所以直線y=3x?3在y軸上的截距是故答案為：?314．直線x+3y?2=0的斜率為（A．π3 B．5π6 C．?3【答案】D【分析】化直線方程為斜截式，再求出斜率.【詳解】直線x+3y?2=0，即y=?3故選：D15．過(guò)A2,0、B0,3兩點(diǎn)的直線方程是（A．x2+yC．y=23x【答案】A【分析】由截距式得到直線方程.【詳解】由截距式可得直線方程為x2故選：A16．直線l過(guò)點(diǎn)(3,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為．【答案】y=x或x+y?6=0【分析】利用直線的截距式方程分別討論截距是否為0即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)截距均為0時(shí)，即過(guò)0,0，此時(shí)直線l的方程為y=x；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為xa滿足3a+3b=1a=b，解得綜上可得直線l的方程為y=x或x+y?6=0.故答案為：y=x或x+y?6=0題型四：直線的定點(diǎn)問(wèn)題17．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，直線m+1x+y+3m=0恒過(guò)定點(diǎn)（

A．3,3 B．?3,3 C．?3,?3 D．3,?3【答案】B【分析】分離參數(shù)，聯(lián)立方程組可得解.【詳解】直線m+1x+y+3m=0即mx+3令x+3=0x+y=0，解得x=?3即直線m+1x+y+3m=0恒過(guò)定點(diǎn)?3,3故選：B.18．若直線mx+y?4m?1=0的斜率小于0，那么該直線不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)、且斜率小于0可得答案.【詳解】直線mx?4+y?1=0過(guò)定點(diǎn)且斜率k=?m<0，故該直線不經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C.19．無(wú)論k為何值，直線k+2x+1?ky?2k?4=0A．?2,0 B．0,2 C．2,0 D．0,?2【答案】C【分析】將直線方程整理成kx?y?2【詳解】將直線方程整理成kx?y?2令x?y?2=02x+y?4=0，解得x=2y=0，即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)故選：C.題型五：兩直線的位置關(guān)系及其應(yīng)用20．直線l1:2x+(m+1)y+2=0與直線l2:mx+3y?4=0【答案】?3或2【分析】利用兩條直線平行列式計(jì)算得解.【詳解】由直線l1:2x+(m+1)y+2=0與直線得2m=m+13≠故答案為：?3或221．已知直線l1:ax+2y+8=0與l2:x+(a?1)y+a【答案】?1或2【分析】由直線平行的條件可求a.【詳解】因?yàn)橹本€l1:ax+2y+8=0與所以aa?1=2，解得a=2或當(dāng)a=2和a=?1時(shí)，兩直線都不重合，符合題意.故答案為：?1或2.22．若直線l1:ax+3y?6=0與直線l2:x+【答案】3【分析】討論直線斜率存在與否，再根據(jù)直線垂直的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題知，l1斜率為?若a=0，則l1:y=2，若a=2，則l1:2x+3y?6=0，若a≠2，則l2斜率為?所以?a3×故答案為：323．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A?1,2，B3,0，(1)求邊AB上的中線所在直線的一般式方程；(2)求邊AB上的高所在直線的斜截式方程.【答案】(1)3x?y?2=0(2)y=2x?2【分析】（1）先求出邊AB的中點(diǎn)D1,1（2）利用兩直線的垂直求得邊AB上的高線的斜率寫(xiě)出直線方程，化成斜截式方程即得.【詳解】（1）設(shè)Dx,y是邊AB的中點(diǎn)，則x=?1+32邊AB上的中線CD的斜率為kCD=1+21=3,故邊AB上的中線所在直線的一般式方程為3x?y?2=0；（2）∵A?1,2，B3,0，∴kAB=?12∴邊AB上的高所在直線的方程為y+2=2x,其斜截式方程y=2x?2.24．將直線l1:x?y+1=0繞點(diǎn)0,1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90