高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1.已知向量，化簡（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故選：C2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故選：C.3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函數(shù)，則只需，所以，所以時(shí)，.故選：D.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?則函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：A.5.，點(diǎn)在邊上，，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，.故選：B6.某興趣小組以某閏年春分為起始時(shí)間（已知春分時(shí)太陽直射點(diǎn)在赤道上），測量了一整年內(nèi)太陽直射點(diǎn)緯度，并通過正弦函數(shù)來模擬該閏年太陽直射點(diǎn)的變化．已知太陽直射點(diǎn)移至最北端時(shí)緯度約為北緯，用代表天數(shù)，代表太陽直射點(diǎn)緯度，太陽直射北半球時(shí)取正值，直射南半球時(shí)取負(fù)值，則該年太陽直射點(diǎn)的變化近似滿足下列哪個(gè)函數(shù)（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，又，則，因?yàn)樘栔鄙潼c(diǎn)移至最北端時(shí)緯度約為北緯，且太陽直射北半球時(shí)取正值，直射南半球時(shí)取負(fù)值，所以，則近似滿足函數(shù)．故選：B.7.已知，，，則（）A.、、三點(diǎn)共線 B.、、三點(diǎn)共線C.、、三點(diǎn)共線 D.、、三點(diǎn)共線【答案】A【解析】對于A選項(xiàng)，，故、、三點(diǎn)共線，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，故、不一定共線，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以、不一定共線，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則、不一定共線，D錯(cuò).故選：A.8.函數(shù)的最大值是（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】所以函數(shù)的最大值為.故選：C.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法中正確的是（）A.若與都是單位向量，則B.零向量的長度為零，方向是任意的C.若與是平行向量，則D.若或，則【答案】BD【解析】單位向量與的方向不一定相同，故A錯(cuò)；零向量的長度為零，方向任意，故B正確；若，的模長不一定相等，故C錯(cuò)；若或，則的方向相同或相反，所以，故D正確.故選：BD.10.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】，，；，；當(dāng)，所以，當(dāng)，所以，故選：CD.11.已知函數(shù)的圖象在上有且僅有兩條對稱軸，則下列結(jié)論正確的有（）A.的取值范圍是B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則在上單調(diào)遞增C.在上的最小值可能為D.若的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)，有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】對于A：因?yàn)榈膱D象在上有且僅有兩條對稱軸，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故A正確；對于B：因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以在上的最小值小于，故C錯(cuò)誤．對于D：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，則，即，又，所以，所以，令函數(shù)的根即為函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出圖象如圖所示，因?yàn)椋?，要使有奇?shù)個(gè)零點(diǎn)，則，即有，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）12.函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則的初相為______．【答案】【解析】由圖可知，周期，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以初相為，故答案為?3.已知，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，則________．【答案】【解析】由題意知，，得，又函數(shù)圖象在上的對稱軸為，所以.所以.故答案為：14.在邊長為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點(diǎn)，如圖所示．點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)，向量最大值為______．【答案】【解析】過作交于點(diǎn)，根據(jù)投影向量的概念可得，設(shè)，所以，當(dāng)與半圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，過作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)取得最大值時(shí)，且，因?yàn)?，正方形邊長為4，則，，所以，所以，則，所以，得，所以的最大值為.所以最大值為.故答案為：24.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知，，與的夾角是.（1）計(jì)算；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，？解：（1），，與的夾角是，則，即有；（2）由可得，即，即，解得.則當(dāng)k為時(shí)，；、綜上，（1），（2）.16.求下列各式的值：（1）（2）（3）解：（1）；（2）；（3）.17.如圖，單位圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，在圓上，且點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，為正三角形.（1）求的值；（2）化簡，并求其值.解：（1），由圖知：角對應(yīng)的終邊為，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，且圓為單位圓，由三角函數(shù)定義得．（2）．其中，由（1）知：，所以．18.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后可得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的解析式及最小正周期；（2）若，求的最大值及取得最大值時(shí)的值.解：（1），故將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的圖象對應(yīng)的解析式為，函數(shù)的最小正周期.（2）由得，，此時(shí)，解得.19.已知．（1）求的單調(diào)