高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉槌?shù)，故直線的傾斜角為.故選：A.2.直線與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€和平行，由兩條平行直線間的距離公式可得．故選：D．3.圓與圓的公切線條數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，則，由于，即，故圓與圓相交，其公切線條數(shù)為．故選：C．4.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的斜率為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，易知過(guò)點(diǎn)的切線的斜率存在，設(shè)的方程為，即，則圓心到直線的距離，解得或．故選：A．5.若連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，則兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，基本事件總數(shù)為個(gè)．其中事件“兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)”包含的樣本點(diǎn)有：，共9個(gè)，故．故選：B．6.在正方體中，為的中點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】?jī)蓛纱怪保室詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，則，A1,0,0，，則，又因，，，平面，故平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．故選：D．7.如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)部（含表面）一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則.故，當(dāng)時(shí)取到最大值．故選：C．8.如圖，在直三棱柱中，為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，且，側(cè)面為正方形，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，所以與到平面的距離，即①，又，所以②，所以由①②得，又由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在空間直角坐標(biāo)系中，下列敘述正確的是（）A.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)D.坐標(biāo)軸兩兩確定的平面把空間分為個(gè)部分【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，A正確；B選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，C正確；D選項(xiàng)，坐標(biāo)軸兩兩確定的平面把空間分為個(gè)部分，D錯(cuò)誤．故選：AC．10.已知直線在軸上的截距大于0，直線與軸交于點(diǎn)，則（）A. B.恒過(guò)定點(diǎn)2,1C.點(diǎn)到直線的距離可能為3 D.不存在使得【答案】BD【解析】對(duì)于A，把代入，得，所以或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將直線改寫(xiě)為，所以，所以，所以恒過(guò)定點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，對(duì)于，令可得，易得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)橹本€恒過(guò)的定點(diǎn)也在直線上，即至少有一個(gè)交點(diǎn)，D正確．故選：BD．11.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，以為圓心、1為半徑的動(dòng)圓與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.存在唯一的圓，使得兩點(diǎn)重合 B.C.若存在，則其不可能為等邊三角形 D.的最大值為【答案】BCD【解析】依題意，坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)之一重合，不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，當(dāng)動(dòng)圓與圓內(nèi)切或外切時(shí)，均有兩點(diǎn)重合，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)在以為圓心、1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，B正確；對(duì)于C，，要使為等邊三角形，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，則不可能為等邊三角形，C正確；對(duì)于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，此時(shí)，，D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量滿(mǎn)足，則______．【答案】4【解析】因?yàn)?，故，解得．故答案為?13.已知圓過(guò)三點(diǎn)，則圓的面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，代入三點(diǎn)坐標(biāo)可得，解得，所以圓的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑，故其面積．故答案為：14.在正三棱錐中，平面，點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為點(diǎn)是平面內(nèi)以為圓心、1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值最大為_(kāi)_____.【答案】【解析】正三棱錐中，因?yàn)槠矫妫制矫?，因此，故，故，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，易知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，設(shè)直線與所成的角為，則，當(dāng)或時(shí)，取最大值．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知三點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)．（1）若直線與圓有唯一公共點(diǎn)，求；（2）求的最小值．解：（1）由題意知，圓的圓心為，半徑，故，由題意可得直線與圓相切，且唯一公共點(diǎn)為點(diǎn)，在中，由勾股定理可得．（2）設(shè)，且，故，而，當(dāng)時(shí)，取得最小值．16.已知在中，，分別在線段上，且．（1）求邊上的高所在直線的斜截式方程；（2）若的面積為面積的，求直線的一般式方程.解：（1）由題直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的方程為，化為斜截式為.（2）因?yàn)榈拿娣e為面積的分別在線段上，且，所以為的中點(diǎn)，即，又直線的斜率為，所以直線的斜率也為，所以直線的方程為，即，所以直線的一般式方程為.17.如圖，在四面體中，，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）．（1）以為基底表示；（2）求的最小值．解：（1）由題意可得，所以；（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．18.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．（1）證明：不共面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）設(shè)為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的夾角取得最小值時(shí)，的值．（1）證明：由題意假設(shè)存在，使得成立，則，即，可得此方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故不共面．解：（2）由題意可得，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，所以令，則，故平面的一個(gè)法向量為，故點(diǎn)到平面的距離．（3）設(shè)的夾角為，則．所以，所以．19.現(xiàn)定義：若圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓外一定點(diǎn)，滿(mǎn)足的最大值為其最小值的兩倍，則稱(chēng)為圓的“上進(jìn)點(diǎn)”．若點(diǎn)同時(shí)是圓和圓的“上進(jìn)點(diǎn)”，則稱(chēng)為圓“”的“牽連點(diǎn)”．已知圓．（1）若點(diǎn)為圓的“上進(jìn)點(diǎn)”，求點(diǎn)的軌跡方程并說(shuō)明軌跡的形狀；（2）已知圓，且均為圓“”的“牽連點(diǎn)”．（ⅰ）求直線的方程；（ⅱ）若圓是以線段為直徑的圓，直線與交于兩點(diǎn)，探究當(dāng)不斷變化時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得（和分別為直線和的斜率）恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)為圓的“上進(jìn)點(diǎn)”，所以，即，所以的軌跡方程為，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心、為半徑的圓．（2）（?。邽閳A“”的“牽連點(diǎn)”，∴同時(shí)為圓與圓的“上進(jìn)點(diǎn)”，由為圓的“上進(jìn)點(diǎn)”，得，所以，即點(diǎn)圓上，由為圓的“上進(jìn)點(diǎn)”，得點(diǎn)在圓上；∴點(diǎn)是圓和的交點(diǎn)．因?yàn)榫鶠閳A“”的“牽連點(diǎn)”，所以直線即為圓和的公共弦