八年級數(shù)學(xué)二次方程單元測試題大全一、引言二次方程是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，既是一元一次方程的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)、一元二次不等式的基礎(chǔ)。本單元測試題圍繞二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）及實際應(yīng)用五大核心知識點設(shè)計，覆蓋基礎(chǔ)、能力、拓展三個層級，旨在幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)、提升能力、突破難點。二、基礎(chǔ)達標(biāo)測試題（注：本部分側(cè)重考查基本概念與基本技能，難度較低，適合鞏固基礎(chǔ)。）（一）選擇題（每題3分，共15分）1.下列方程中，屬于二次方程的是（）A.\(x+2=0\)B.\(x^2+2x=x^2-1\)C.\(x^2-2x-3=0\)D.\(\frac{1}{x^2}+x=1\)解析：二次方程的定義是“含一個未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)為2，且二次項系數(shù)不為0的整式方程”。A是一次方程；B整理后為\(2x+1=0\)，是一次方程；D是分式方程；故選C。2.關(guān)于\(x\)的方程\((a-2)x^2+3x-1=0\)是二次方程，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a\neq2\)B.\(a>2\)C.\(a<2\)D.\(a\neq0\)解析：二次項系數(shù)\(a-2\neq0\)，故\(a\neq2\)，選A。3.方程\(x^2-4x=0\)的解是（）A.\(x=4\)B.\(x=0\)C.\(x_1=0\)，\(x_2=4\)D.\(x_1=0\)，\(x_2=-4\)解析：因式分解得\(x(x-4)=0\)，故\(x=0\)或\(x=4\)，選C。4.方程\(x^2+2x+3=0\)的根的情況是（）A.有兩個不相等的實根B.有兩個相等的實根C.無實根D.無法確定解析：判別式\(\Delta=2^2-4\times1\times3=4-12=-8<0\)，故無實根，選C。5.若方程\(x^2-3x+k=0\)的一根為1，則\(k\)的值為（）A.2B.-2C.1D.-1解析：將\(x=1\)代入方程得\(1-3+k=0\)，解得\(k=2\)，選A。（二）填空題（每題3分，共15分）6.方程\(x^2-6x+5=0\)配方后可化為\((x-a)^2=b\)，則\(a=\_\_\_\_\)，\(b=\_\_\_\_\)。解析：配方步驟：\(x^2-6x=-5\)，兩邊加\((-6/2)^2=9\)，得\((x-3)^2=4\)，故\(a=3\)，\(b=4\)。7.若方程\(x^2+mx+4=0\)有兩個相等的實根，則\(m=\_\_\_\_\)。解析：判別式\(\Delta=m^2-16=0\)，解得\(m=\pm4\)。8.已知方程\(2x^2-5x+1=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，則\(x_1+x_2=\_\_\_\_\)，\(x_1x_2=\_\_\_\_\)。解析：由韋達定理，\(x_1+x_2=-\frac{a}=\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)。9.用公式法解\(x^2-3x+1=0\)，根為\(x=\_\_\_\_\)。解析：\(\Delta=9-4=5\)，故\(x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)。10.某商品原價為100元，連續(xù)兩次降價后售價為81元，設(shè)平均每次降價率為\(x\)，則方程為\(\_\_\_\_\)。解析：第一次降價后價格為\(100(1-x)\)，第二次為\(100(1-x)^2\)，故方程為\(100(1-x)^2=81\)。（三）解答題（每題10分，共30分）11.用因式分解法解\(x^2-5x+6=0\)。解：分解為\((x-2)(x-3)=0\)，故\(x_1=2\)，\(x_2=3\)。12.用配方法解\(2x^2+4x-6=0\)。解：兩邊除以2得\(x^2+2x-3=0\)，配方得\((x+1)^2=4\)，開方得\(x+1=\pm2\)，故\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)。13.某車間生產(chǎn)一批零件，原計劃每天生產(chǎn)20個，15天完成，實際每天多生產(chǎn)5個，實際多少天完成？（列二次方程解答）解：設(shè)實際\(x\)天完成，實際每天生產(chǎn)\(20+5=25\)個，零件總數(shù)為\(20\times15=300\)個，故方程為\(25x=300\)？（注：此處應(yīng)為一次方程，修正題目為“實際每天生產(chǎn)個數(shù)是原計劃的1.5倍，實際多少天完成？”）修正題：某車間生產(chǎn)一批零件，原計劃每天生產(chǎn)20個，15天完成，實際每天生產(chǎn)個數(shù)是原計劃的1.5倍，實際多少天完成？（列方程解答）解：設(shè)實際\(x\)天完成，實際每天生產(chǎn)\(20\times1.5=30\)個，零件總數(shù)為\(20\times15=300\)個，故方程為\(30x=300\)，解得\(x=10\)。（注：二次方程應(yīng)用需調(diào)整題目，如“實際每天生產(chǎn)個數(shù)比原計劃多\(x\)個，實際用了\(15-2=13\)天完成，求\(x\)？”）調(diào)整題：某車間生產(chǎn)一批零件，原計劃每天生產(chǎn)20個，15天完成，實際每天多生產(chǎn)\(x\)個，結(jié)果提前2天完成，求\(x\)？解：實際每天生產(chǎn)\(20+x\)個，實際用了\(15-2=13\)天，零件總數(shù)不變，故方程為\((20+x)\times13=20\times15\)，展開得\(260+13x=300\)，解得\(x=\frac{40}{13}\approx3.08\)（注：此為一次方程，二次方程應(yīng)用需改為“增長率問題”或“面積問題”）。二次方程應(yīng)用示例：某矩形花壇的長比寬多2米，面積為15平方米，求花壇的長和寬。解：設(shè)寬為\(x\)米，則長為\(x+2\)米，方程為\(x(x+2)=15\)，整理得\(x^2+2x-15=0\)，因式分解為\((x+5)(x-3)=0\)，故\(x=3\)（舍去負根），長為5米，寬為3米。三、能力提升測試題（注：本部分側(cè)重考查綜合應(yīng)用能力，難度中等，適合提升解題技巧。）（一）選擇題（每題3分，共15分）14.已知方程\(x^2-4x+3=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，則\(x_1^2+x_2^2=\_\_\_\_\)（）A.10B.11C.12D.13解析：由韋達定理，\(x_1+x_2=4\)，\(x_1x_2=3\)，故\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-6=10\)，選A。15.若關(guān)于\(x\)的方程\(kx^2-2x-1=0\)有兩個不相等的實根，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k>-1\)B.\(k>-1\)且\(k\neq0\)C.\(k<-1\)D.\(k<-1\)且\(k\neq0\)解析：二次方程有兩個不相等實根的條件是“二次項系數(shù)不為0且判別式>0”。\(k\neq0\)，且\(\Delta=4+4k>0\)，解得\(k>-1\)且\(k\neq0\)，選B。16.若等腰三角形的兩邊長為方程\(x^2-7x+10=0\)的兩根，則三角形的周長為（）A.12B.9C.12或9D.無法確定解析：解方程得\(x_1=2\)，\(x_2=5\)。等腰三角形的兩邊長為2和5，需滿足三角形三邊關(guān)系：若腰為2，底為5，則\(2+2<5\)，不成立；若腰為5，底為2，則\(5+5>2\)，成立，周長為\(5+5+2=12\)，選A。17.已知方程\(2x^2+mx-3=0\)的一根為1，則另一根為（）A.\(-\frac{3}{2}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.-3D.3解析：設(shè)另一根為\(x_2\)，由韋達定理，\(1\timesx_2=-\frac{3}{2}\)，故\(x_2=-\frac{3}{2}\)，選A。18.若關(guān)于\(x\)的方程\(x^2+2x+k=0\)有實根，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k\leq1\)B.\(k\geq1\)C.\(k<1\)D.\(k>1\)解析：判別式\(\Delta=4-4k\geq0\)，解得\(k\leq1\)，選A。（二）填空題（每題3分，共15分）19.若方程\(x^2+bx+c=0\)的兩根為-1和3，則\(b=\_\_\_\_\)，\(c=\_\_\_\_\)。解析：由韋達定理，\(-1+3=-b\)，故\(b=-2\)；\(-1\times3=c\)，故\(c=-3\)。20.已知矩形的對角線長為5，長比寬多1，則矩形的面積為\(\_\_\_\_\)。解析：設(shè)寬為\(x\)，則長為\(x+1\)，由勾股定理，\(x^2+(x+1)^2=5^2\)，整理得\(2x^2+2x-24=0\)，即\(x^2+x-12=0\)，因式分解為\((x+4)(x-3)=0\)，故\(x=3\)（舍去負根），長為4，面積為\(3\times4=12\)。（三）解答題（每題10分，共30分）21.用公式法解\(3x^2-2x-1=0\)。解：\(a=3\)，\(b=-2\)，\(c=-1\)，\(\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-1)=4+12=16\)，故\(x=\frac{2\pm4}{6}\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=-\frac{1}{3}\)。22.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件，若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？解：設(shè)每件降價\(x\)元，則每件盈利\((40-x)\)元，每天售出\((20+2x)\)件，方程為\((40-x)(20+2x)=1200\)，展開得\(800+80x-20x-2x^2=1200\)，整理得\(-2x^2+60x-400=0\)，兩邊除以-2得\(x^2-30x+200=0\)，因式分解為\((x-10)(x-20)=0\)，故\(x=10\)或\(x=20\)。檢驗：\(x=10\)時，盈利\(30\)元，售出\(40\)件，總盈利\(30\times40=1200\)元；\(x=20\)時，盈利\(20\)元，售出\(60\)件，總盈利\(20\times60=1200\)元，均符合題意。答：每件襯衫應(yīng)降價10元或20元。23.已知關(guān)于\(x\)的方程\(x^2+(m+2)x+2m=0\)有兩個實根，求\(m\)的取值范圍，并判斷兩根是否互為相反數(shù)。解：（1）判別式\(\Delta=(m+2)^2-8m=m^2+4m+4-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2\geq0\)，故\(m\)為任意實數(shù)。（2）若兩根互為相反數(shù)，則\(x_1+x_2=0\)，由韋達定理，\(-(m+2)=0\)，解得\(m=-2\)。此時方程為\(x^2-4=0\)，兩根為\(2\)和\(-2\)，互為相反數(shù)，故當(dāng)\(m=-2\)時，兩根互為相反數(shù)。四、拓展創(chuàng)新測試題（注：本部分側(cè)重考查思維能力與創(chuàng)新意識，難度較高，適合突破難點。）（一）綜合題（每題10分，共20分）24.已知二次函數(shù)\(y=x^2+bx+c\)的圖像與\(x\)軸交于\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)兩點，求該二次函數(shù)的解析式。解：由題意，方程\(x^2+bx+c=0\)的兩根為1和3，由韋達定理，\(1+3=-b\)，故\(b=-4\)；\(1\times3=c\)，故\(c=3\)，解析式為\(y=x^2-4x+3\)。25.已知方程\(x^2-3x+2=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，求\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)的值。解：\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)，由韋達定理，\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=2\)，故值為\(\frac{3}{2}\)。（二）開放性題目（每題10分，共10分）26.請你自編一道二次方程，滿足以下條件：（1）二次項系數(shù)為1；（2）兩根為整數(shù)；（3）兩根之和為5，兩根之積為6。示例：由韋達定理，方程為\(x^2-5x+6=0\)，兩根為2和3。五、答案與解析總結(jié)（注：本部分匯總所有題目的答案與解析，便于學(xué)生自查自糾。）基礎(chǔ)達標(biāo)測試題答案：1.C2.A3.C4.C5.A6.3，47.±48.5/2，1/29.(3±√5)/210.100(1-x)^2=8111.\(x_1=2\)，\(x_2=3\)12.\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)13.長5米，寬3米能力提升測試題答案：