專題4平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)第22講平面向量的概念及線性運算【夯基固本】[知識梳理]1．(1)大小方向大小(叫做向量的模)方向(2)長度為0長度等于1個單位長度(3)①相同或相反非零共線③相等相同2．(1)②三角形平行四邊形④b＋aa＋(b＋c)(2)①相反向量(3)①|(zhì)λ||a|相同相反0②(λμ)aλa＋μaλa＋λb3．b＝λa[熱身練習]1．D2.eq\f(1,2)3.B4.A5.梯形【考點探究】[例1](1)C①正確，|a|與|b|是模長，與方向無關(guān)；②錯誤，共終點不代表共線，向量的方向是由起點和終點共同決定的；③正確；④錯誤，單位向量的定義只是模長為1，方向有無數(shù)種情況；⑤錯誤，零向量也有方向，只是方向任意．故選C.(2)AD對于A，若a，b均為非零向量，則a∥b?存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa，A正確；對于B，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則點A，B，C，D在同一直線上，或A，B，C，D為平面四邊形的四個頂點，B錯誤；對于C，若a·c＝b·c且c≠0，則c·(a－b)＝0，不一定有a＝b，可能存在c⊥(a－b)，C錯誤；對于D，點G為△ABC的重心，延長AG交BC于M，可得M為BC的中點，即有eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))＝2×eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))，即為eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，D正確．故選AD.[變式探究]1．D對于A，取b＝0，滿足a∥b，b∥c，但a，c不一定共線，A錯誤；對于B，若a與b共線且模長相等，則a＝b或a＝－b，B錯誤；對于C，任何兩個向量不能比大小，C錯誤；對于D，(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立，D正確．故選D.2．BC零向量是有方向的，其方向是任意的，A錯誤；因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形，B正確；因為eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)都是單位向量，所以只有當eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)是相反向量，即a與b反向共線時才成立，C正確；當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線，D錯誤．故選BC.[例2](1)D因為D是BC的中點，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選D.(2)AB由題意知，E，F(xiàn)分別是CD邊上的兩個三等分點，且eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，A正確；由圖可知，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，B正確；eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，C錯誤；eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，D錯誤．故選AB.(3)C如圖所示，延長AO交BC于E，已知O為△ABC的重心，則點E為BC的中點，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，又由eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，可得D是BC的四等分點，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))，因為eq\o(OD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，所以m＝－eq\f(1,12)，n＝eq\f(5,12)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,5).故選C.[變式探究]3．Aeq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,6)b，故選A.4．B已知P為CD上一點，設(shè)eq\o(DP,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，則由向量的加法與減法運算可得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＝\f(3,4)(1－λ)，,m＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,λ＝\f(1,3)，))故選B.5．B因為eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，所以F為AC的中點．又B，P，F(xiàn)三點共線，故可設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝keq\o(BF,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，整理得eq\o(AP,\s\up6(→))＝keq\o(AF,\s\up6(→))＋(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)keq\o(AC,\s\up6(→)).因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，即eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，又A，P，E三點共線，可得eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AE,\s\up6(→))＝m(eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)meq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)meq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)＝1－k，,\f(m,3)＝\f(1,2)k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,m＝\f(3,4)，))所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,4)，故λ－μ＝eq\f(1,4).故選B.[例3](1)A依題意eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))共線，所以A，B，D三點共線，A正確．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a＋8b，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線、eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))不共線，B、D錯誤．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b，則eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不共線，C錯誤．故選A.(2)A因為c與d同向共線，所以存在μ(μ>0)使得c＝μd，即λa＋b＝μ[a＋(2λ－1)b]＝μa＋μ(2λ－1)b，又向量a，b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝μ(2λ－1)，))解得λ＝－eq\f(1,2)(舍去)或λ＝1.故選A.(3)A如圖，取線段BC的中點E，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→)).動點P滿足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈R，則eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2λeq\o(AE,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2λeq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AE,\s\up6(→))，又AP∩AE＝A，所以A，E，P三點共線，即點P的軌跡是直線AE，一定通過△ABC的重心．故選A.[變式探究]6．C因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，因為eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋3yeq\o(CD,\s\up6(→))，因為A，D，E三點共線，所以x＋3y＝1，x>0，y>0，所以eq\f(2,x)＋eq\f(6,y)＝(eq\f(2,x)＋eq\f(6,y))(x＋3y)＝20＋eq\f(6y,x)＋eq\f(6x,y)≥20＋2eq\r(\f(6y,x)×\f(6x,y))＝20＋12＝32，當且僅當eq\f(6y,x)＝eq\f(6x,y)，即x＝y(tǒng)＝eq\f(1,4)時取等號，所以eq\f(2,x)＋eq\f(6,y)的最小值是32.故選C.7．A由eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0可得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，又因為D，E分別是AC，BC邊的中點，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，所以2eq\o(OD,\s\up6(→))＝－4eq\o(OE,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))＝－2eq\o(OE,\s\up6(→))，所以O(shè)，D，E三點共線，且eq\f(|DE|,|OD|)＝eq\f(3,2)，所以E到AC的距離與O到AC的距離之比也為eq\f(3,2)，又△AEC的面積與△AOC的面積都以AC為底，所以△AEC的面積與△AOC的面積的比為eq\f(3,2).故選A.8．ACeq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝3eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))，因為點G為△ABC的重心，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝3eq\o(OG,\s\up6(→))，所以O(shè)，P，G三點共線，A正確，B錯誤；eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)))＋3eq\o(OP,\s\up6(→))，因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)))＋3eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\o(OP,\s\up6(→))＋3eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，即2eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))，C正確；因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝3eq\o(OG,\s\up6(→))，所以點P的位置隨著點O位置的變化而變化，故點P不一定在△ABC的內(nèi)部，D錯誤．故選AC.第23講平面向量基本定理及坐標表示【夯基固本】[知識梳理]1．λ1e1＋λ2e2基底2．(1)互相垂直(2)方向相同單位(x，y)3．(1)(x1＋x2，y1＋y2)(2)(x1－x2，y1－y2)(3)(λx，λy)(4)(x2－x1，y2－y1)4．x1y2－x2y1＝0[熱身練習]1．D2.eq\r(13)3.C4.D5.eq\f(2,3)【考點探究】[例1](1)B因為E為AD邊上靠近點A的三等分點，F(xiàn)為AB邊上靠近點B的四等分點，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λ(eq\f(4,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＋3eq\o(AE,\s\up6(→))).因為E，F(xiàn)，P三點共線，所以eq\f(4,3)λ＋3λ＝1，解得λ＝eq\f(3,13)，于是eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(3,13)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(3,13)a＋eq\f(3,13)b.故選B.(2)B如圖，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝－2eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，可得eq\f(3,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(7,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(7,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＋y＝eq\f(7,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,9).故選B.[變式探究]1．C因為點D，E分別是AC，BC的中點，F(xiàn)是DE的中點，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b.故選C.2．eq\f(4,5)如圖，由M是AB的中點，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AN,\s\up6(→))，因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝2λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)μeq\o(AN,\s\up6(→))，由CM與BN相交于點P可知，點P在線段CM上，也在線段BN上，由三點共線可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋μ＝1，,λ＋\f(4,3)μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,5)，,μ＝\f(3,5)，))所以λ＋μ＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(4,5).[例2](1)A因為a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，所以c＝ma＋nb＝(2m＋n，－3m＋2n)＝(9，4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,－3m＋2n＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＝eq\f(7,10).故選A.(2)eq\f(13,9)－eq\f(16,13)因為向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，且a＝mb＋nc，所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝－m＋4n，,2＝2m＋n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9)，))所以m＋n＝eq\f(5,9)＋eq\f(8,9)＝eq\f(13,9).由題意得a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，因為(a＋kc)∥2b－a，所以2(3＋4k)＝－5(2＋k)，解得k＝－eq\f(16,13).[變式探究]3．A由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－9)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\f(7,2)，5)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，1)，從而與向量eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→))＋2\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))＋2\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(9＋1))(3，1)＝(eq\f(3\r(10),10)，eq\f(\r(10),10)).故選A.4．(1，eq\f(5,3))如圖所示，以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(3，0)，C(1，1)，D(0，1)，直線BD的方程為eq\f(x,3)＋eq\f(y,1)＝1，化簡得x＋3y－3＝0，所以點C到BD的距離d＝eq\f(|1＋3－3|,\r(1＋9))＝eq\f(\r(10),10)，可得以點C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(1,10).設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，0)，因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝αeq\o(AD,\s\up6(→))＋βeq\o(AB,\s\up6(→))(α，β∈R)，所以(x，y)＝α(0，1)＋β(3，0)＝(3β，α)，可得x＝3β且y＝α，P的坐標為(3β，α)，因為P在圓內(nèi)，(3β－1)2＋(α－1)2<eq\f(1,10)，設(shè)α＋β＝t，則α＝t－β，代入上式化簡整理得10β2－(2t＋4)β＋t2－2t＋eq\f(19,10)<0，若要上述不等式有實數(shù)解，則Δ＝(2t＋4)2－4×10×(t2－2t＋eq\f(19,10))>0，化簡得3t2－8t＋5<0，解得1<t<eq\f(5,3)，即1<α＋β<eq\f(5,3)，所以α＋β的取值范圍是(1，eq\f(5,3)).[例3](1)A在△OAB中，已知|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，∠AOB＝45°，由正弦定理可得eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,sin∠AOB)＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))|,sin∠OAB)，即eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),sin∠OAB)，解得sin∠OAB＝1，因為0°<∠OAB<180°，則∠OAB＝90°，所以△OAB為等腰直角三角形．以O(shè)為原點，OB所在直線為x軸，以O(shè)B的垂線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，過A作AM⊥OB于B，則OM＝AM＝eq\f(\r(2),2)，則點A的坐標為(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)，因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝λ(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))＋μ(eq\r(2)，0)＝(eq\f(\r(2),2)λ＋eq\r(2)μ，eq\f(\r(2),2)λ)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r((\f(\r(2),2)λ＋\r(2)μ)2＋(\f(\r(2),2)λ)2)＝eq\r(λ2＋2λμ＋2μ2).因為2λ＋μ＝3，則μ＝3－2λ，代入上式可得|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(λ2＋2λ(3－2λ)＋2(3－2λ)2)＝eq\r(5λ2－18λ＋18)＝eq\r(5(λ－\f(9,5))2＋\f(9,5))，所以當λ＝eq\f(9,5)時，|eq\o(OP,\s\up6(→))|min＝eq\r(\f(9,5))＝eq\f(3\r(5),5)，故選A.(2)[0，eq\r(10)]以M為原點，MC，MA所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．因為AB＝AC＝2，所以BC＝2eq\r(2)，BM＝CM＝eq\r(2)，A(0，eq\r(2))，由于點Q在eq\o(AC,\s\up8(︵))上，不妨設(shè)Q(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)，θ∈[0，eq\f(π,2)]，P(a，0)，其中－eq\r(2)≤a≤eq\r(2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(a，－eq\r(2))＋(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)＝(a＋eq\r(2)cosθ，－eq\r(2)＋eq\r(2)sinθ)，所以|eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(MQ,\s\up6(→))|＝eq\r((a＋\r(2)cosθ)2＋(－\r(2)＋\r(2)sinθ)2)，eq\r((a＋\r(2)cosθ)2＋(－\r(2)＋\r(2)sinθ)2)可看作eq\o(AC,\s\up8(︵))上的點Q(eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)到點R(－a，eq\r(2))的距離，由于點R(－a，eq\r(2))在線段y＝eq\r(2)(－eq\r(2)≤x≤eq\r(2))上運動，故當點R(－a，eq\r(2))運動到點E(－eq\r(2)，eq\r(2))時，距離最大，為CE，連接CE，CF，則CE＝eq\r(CF2＋EF2)＝eq\r((\r(2))2＋(2\r(2))2)＝eq\r(10)，當點R(－a，eq\r(2))運動到點A(0，eq\r(2))時，距離最小，為0.綜上可知，|eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(MQ,\s\up6(→))|∈[0，eq\r(10)].[變式探究]5．AB如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，不妨設(shè)AB＝6，AD＝3m，m>0，則A(0，0)，B(6，0)，D(0，3m)，E(3，0)，M(2，m)，N(1，2m)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2，m)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(1，2m)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－6，3m)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，0).設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝xeq\o(BD,\s\up6(→))，0≤x≤1，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋xeq\o(BD,\s\up6(→))＝(6－6x，3mx).因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→))，所以(6－6x，3mx)＝λ(2，m)＋μ(1，2m)＝(2λ＋μ，mλ＋2mμ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－6x＝2λ＋μ，,3mx＝mλ＋2mμ，))整理得λ＋μ＝2－x.因為x∈[0，1]，所以λ＋μ＝2－x∈[1，2].故選AB.6．共線2＋eq\r(2)向量eq\o(AE,\s\up6(→))與eq\o(BF,\s\up6(→))共線，理由如下：角α的終邊與單位圓O的交點為E，則E(cosα，sinα)，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝(cosα，sinα)，又將向量eq\o(OE,\s\up6(→))逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到向量eq\o(OF,\s\up6(→))，所以eq\o(OF,\s\up6(→))＝(cos(α＋eq\f(π,2))，sin(α＋eq\f(π,2)))＝(－sinα，cosα)，又A(1，0)，B(0，－1)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝(cosα－1，sinα)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－sinα，cosα＋1)，因為(cosα－1)(cosα＋1)－sinα(－sinα)＝0，所以eq\o(AE,\s\up6(→))∥eq\o(BF,\s\up6(→))，即向量eq\o(AE,\s\up6(→))與eq\o(BF,\s\up6(→))共線．因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝(cosα－1，sinα)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－sinα－1，cosα)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－sinα＋cosα－2，sinα＋cosα)，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r((－sinα＋cosα－2)2＋(sinα＋cosα)2)＝eq\r(4(sinα－cosα)＋6)＝eq\r(4\r(2)sin(α－\f(π,4))＋6)，所以當α－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即α＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z時，sin(α－eq\f(π,4))有最大值1，所以|eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))|的最大值為eq\r(4\r(2)＋6)＝eq\r((2＋\r(2))2)＝2＋eq\r(2).[典例剖析]AC對于A，若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2≤3，,－4<4，))所以ab，A正確；對于B，取a＝(1，1)，b＝(－1，－1)，λ＝－1，μ＝2，滿足ab，則λa＝(－1，－1)，μb＝(－2，－2)，滿足λaμb，但λ<μ，B錯誤；對于C，若ab，則x1≥x2，且y1>y2，設(shè)c＝(x0，y0)，則a－c＝(x1－x0，y1－y0)，b－c＝(x2－x0，y2－y0)，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x0≥x2－x0，,y1－y0>y2－y0，))所以a－cb－c，C正確；對于D，取a＝(－2，－2)，b＝c＝(－1，－1)，可知ab，但a·c＝4，b·c＝2，即a·c>b·c，D錯誤．故選AC.第24講平面向量的數(shù)量積【夯基固本】[知識梳理]1．∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)a⊥b2．|a||b|cosθ|a||b|cosθ03．投影投影向量4．(1)|a||b|－|a||b|a2＝|a|2eq\r(a·a)(2)a⊥b(3)eq\f(a·b,|a||b|)(4)≤5．(1)b·a(2)λ(a·b)a·(λb)(3)a·c＋b·c6．(1)x1x2＋y1y2(2)x2＋y2eq\r(x2＋y2)(3)eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)(4)x1x2＋y1y2＝0(5)eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))[熱身練習]1．D2.(2，0)3.A4.B5.eq\f(19,2)【考點探究】[例1](1)B因為e是單位向量，且|2e－a|＝eq\r(10)，兩邊平方得4e2－4a·e＋a2＝10，即a2－4a·e＝6，(*)由a＋2e在e上的投影向量為5e，可得eq\f((a＋2e)·e,|e|2)·e＝5e，所以(a＋2e)·e＝5，即a·e＝3，代入(*)可得，a2＝18，即|a|＝3eq\r(2)，所以cos〈a，e〉＝eq\f(a·e,|a||e|)＝eq\f(3,3\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，因為〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝eq\f(π,4).故選B.(2)A如圖，eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DM,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝－eq\f(1,3)×6＋16－eq\f(2,9)×9＝－2＋16－2＝12.故選A.(3)Aeq\o(BC,\s\up6(→))＝(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(2n－m－1)eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(2n－m－1)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(2n－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，因為eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝[(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(2n－m)eq\o(OB,\s\up6(→))]·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(2m－3n)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－(m－n)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋(2n－m)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝(2m－3n)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos60°－(m－n)|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋(2n－m)·|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝(2m－3n)×3×2×eq\f(1,2)－9(m－n)＋4(2n－m)＝6m－9n－9m＋9n＋8n－4m＝－7m＋8n＝0，解得eq\f(n,m)＝eq\f(7,8).故選A.[變式探究]1．D由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))2－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝6＋eq\r(2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝9，則eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))上的投影向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(9,6)·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→)).故選D.2．A因為向量a，b的夾角為eq\f(2π,3)，|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝|a||b|coseq\f(2π,3)＝1×2×(－eq\f(1,2))＝－1，又因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2a－b)＋eq\f(1,2)(2a＋3b)＝2a＋b，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r((2a＋b)2)＝eq\r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq\r(4×12＋4×(－1)＋22)＝2.故選A.3．eq\f(17,5)設(shè)eq\o(DF,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝μeq\o(EB,\s\up6(→))，λ，μ∈(0，1).因為eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1－λ,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋μ(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋μ(－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1－μ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－λ,3)＝μ，,\f(1－μ,2)＝λ))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,5)，,μ＝\f(1,5)．))因為A＝eq\f(π,3)，AB＝3，AC＝4，因此eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→)))·(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，＝－eq\f(1,5)×9＋eq\f(2,5)×16－eq\f(1,5)×3×4×eq\f(1,2)＝eq\f(17,5).[例2](1)A設(shè)v1與v2所成的角為θ(0<θ<π)，由題意得，(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋veq\o\al(2,2)＝10×4×cosθ＋16＝0，則cosθ＝－eq\f(2,5)，(v1＋v2)2＝veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2)＋2v1·v2＝100＋16－2×10×4×eq\f(2,5)＝84，則|v1＋v2|＝2eq\r(21)(km/h).故選A.(2)A因為eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，即(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即AC⊥BC，則∠ACB＝eq\f(π,2)，又eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)表示與eq\o(AC,\s\up6(→))同向的單位向量，eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)表示與eq\o(AB,\s\up6(→))同向的單位向量，所以eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝1×1×cos∠CAB＝eq\f(\r(2),2)，又∠CAB∈(0，eq\f(π,2))，所以∠CAB＝eq\f(π,4)，所以∠CBA＝eq\f(π,4)，所以△ABC是等腰直角三角形．故選A.(3)eq\f(\r(3),2)設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，由2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|得2bccosA＝eq\r(3)bc，所以cosA＝eq\f(\r(3),2).又A∈(0，π)，因此A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(5π,6)－C.由eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3eq\o(BC,\s\up6(→))2，得bc＝eq\r(3)a2，于是sinCsinB＝eq\r(3)sin2A＝eq\f(\r(3),4)，所以sinCsin(eq\f(5π,6)－C)＝eq\f(\r(3),4)，所以2sinCcosC＋2eq\r(3)sin2C＝eq\r(3)，所以sin2C＋eq\r(3)(1－cos2C)＝eq\r(3)，即sin(2C－eq\f(π,3))＝0.因為A＝eq\f(π,6)，所以0<C<eq\f(5π,6)，所以－eq\f(π,3)<2C－eq\f(π,3)<eq\f(4π,3)，所以2C－eq\f(π,3)＝0或2C－eq\f(π,3)＝π，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(2π,3).又因為B<C，所以A＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,6)，則sinC＝eq\f(\r(3),2).[變式探究]4．D以三個力的作用點為原點，正東方向為x軸正半軸，正北方向為y軸正半軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．由已知可得F1＝(1，eq\r(3))，F(xiàn)2＝(2eq\r(3)，2)，F(xiàn)3＝(－3，3eq\r(3))，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2，4eq\r(3)＋2)，所以F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(4eq\r(3)＋2)×4eq\r(2)＝24eq\r(6)(J)，故這三個力的合力F所做的功是24eq\r(6)J．故選D.5．外在△ABC中，由H為△ABC的垂心，得CH⊥AB，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(CH,\s\up6(→))，得(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(CH,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(CH,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，則eq\o(OA,\s\up6(→))2＝eq\o(OB,\s\up6(→))2，即|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，又eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，顯然eq\o(AH,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，同理得|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，因此點O為△ABC的外心．6．eq\f(π,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)×(eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|＝1，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(5,6)a＋eq\f(1,3)b，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b)·(－eq\f(5,6)a＋eq\f(1,3)b)＝－eq\f(5,18)a2－eq\f(4,9)a·b＋eq\f(2,9)b2＝－eq\f(5,18)－eq\f(4,9)cos∠BAC＋eq\f(2,9)＝－eq\f(5,18)，得cos∠BAC＝eq\f(1,2)，又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝eq\f(π,3).[例3](1)－2如圖，因為O為AB的中點，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，從而(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2|eq\o(PO,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|.又|eq\o(PO,\s\up6(→))|＋|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2為定值，再根據(jù)|eq\o(PO,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|≤(eq\f(|\o(PO,\s\up6(→))|＋|\o(PC,\s\up6(→))|,2))2＝1，可得－2|eq\o(PO,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|≥－2，所以當且僅當|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝1時，即P為OC的中點時等號成立，所以(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是－2.(2)D如圖，設(shè)|AM|＝x，|AN|＝y(tǒng)，x，y∈(0，1)，則S1＝eq\f(1,2)xy，S2＝1－eq\f(1,2)xy－eq\f(1,2)(1－x)－eq\f(1,2)(1－y)＝eq\f(x＋y－xy,2)，由平面向量數(shù)量積的運算可得|eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1－x，|eq\o(CN,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1－y，又S1＝|eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(CN,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝(1－x)(1－y)，所以eq\f(1,2)xy＝(1－x)(1－y)，即x＋y＝1＋eq\f(1,2)xy，即1＋eq\f(1,2)xy≥2eq\r(xy)，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，又xy>0，即0<eq\r(xy)≤2－eq\r(2)，即0<xy≤6－4eq\r(2)，則S2＝eq\f(x＋y－xy,2)＝eq\f(1＋\f(1,2)xy－xy,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)xy∈[eq\r(2)－1，eq\f(1,2)).故選D.[變式探究]7．2eq\r(7)設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，因為|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，a·b＝－eq\f(3,2)，所以cos∠AOB＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(3),2)?∠AOB＝150°，又〈a－c，b－c〉＝30°，所以cos∠ACB＝30°，所以點A，O，B，C共圓，如圖所示．要使|c|最大，即|OC|為直徑，在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB＝7?AB＝eq\r(7)，又由正弦定理得2R＝eq\f(AB,sin∠AOB)＝2eq\r(7)，即|c|的最大值等于2eq\r(7).8．D因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，又因為O為△ABC的外心，所以△ABC為直角三角形且AB⊥AC，O為斜邊BC的中點，過A作BC的垂線AQ，垂足為Q，如圖所示．因為eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影向量為μeq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))上的投影向量eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(BQ,\s\up6(→))－eq\o(BO,\s\up6(→))＝μeq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(μ－eq\f(1,2))eq\o(BC,\s\up6(→))，又因為|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以cos∠AOC＝eq\f(|\o(OQ,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\f((μ－\f(1,2))|\o(BC,\s\up6(→))|,\f(1,2)|\o(BC,\s\up6(→))|)＝2μ－1，因為μ∈[eq\f(3,5)，eq\f(4,5)]，所以2μ－1∈[eq\f(1,5)，eq\f(3,5)]，即cos∠AOC的取值范圍為[eq\f(1,5)，eq\f(3,5)].故選D.第25講正弦定理與余弦定理【夯基固本】[知識梳理]1．(1)正弦的比外接圓的直徑eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)余弦b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCeq\f(b2＋c2－a2,2bc)eq\f(c2＋a2－b2,2ca)eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．(2)eq\f(1,2)bcsinAeq\f(1,2)acsinB[熱身練習]1．C2.B3.A4.D5.1【考點探究】[例1](1)B由已知a＝bcosC＋csinB及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC