第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析§8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用§8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系我們知道，如果變量y是變量x的函數(shù)，那么由就可以唯一確定y。然而，現(xiàn)實(shí)世界中還存在這樣的情況：兩個變量之間有關(guān)系，但密切程度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度。例如，人的體重與身高存在關(guān)系，一個人的體重與他的身高有關(guān)系。一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小。但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素。像這樣，兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在。（1）子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系。一般來說，父親的個子高，其子女的個子也會比較高；父親個子矮，其子女的個子也會比較矮。但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高。（2）商品銷售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系。一般來說，廣告支出越多，商品銷售收人越高。但廣告支出并不是決定商品銷售收人的唯一因素，商品銷售收人還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)。（3）空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系。一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會上升。但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)廢氣排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素。（4）糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系。在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)量就越高。但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響。

因?yàn)樵谙嚓P(guān)關(guān)系中，變量y的值不能隨變量的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關(guān)系。對上述各例中兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們往往會根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗(yàn)作出推斷?！敖?jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律”，經(jīng)驗(yàn)的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗(yàn)推斷又有不足。例如，不同經(jīng)驗(yàn)的人對同一情形可能會得出不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗(yàn)可循等。

因此，在研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)男?，再利用模型進(jìn)行估計或推斷?！咎骄俊吭趯θ梭w的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表所示。表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6通過表格我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著年齡的增長，人體脂肪含量相對也會增長。

為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征。用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量。

表中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了如圖所示的統(tǒng)計圖。我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點(diǎn)圖。

觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增加的趨勢。這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系。

從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個變量負(fù)相關(guān)。

由散點(diǎn)圖，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關(guān)。

散點(diǎn)圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法。觀察上面的散點(diǎn)圖，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)，而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線附近。

一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)。

一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)。觀察上面三幅散點(diǎn)圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？它們是線性相關(guān)嗎？圖（1）中的散點(diǎn)落在某條曲線附近，而不是落在條直線附近，說明這兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；圖（2）中的散點(diǎn)落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖（3）中的散點(diǎn)雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出這兩個變量有什么相關(guān)性。8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)

通過觀察散點(diǎn)圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等。

散點(diǎn)圖雖然直觀，但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小。能否像引入均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣，引入一個適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？

為了刻畫每個變量的觀測數(shù)據(jù)相對其均值的增減情況，將每個變量的觀測數(shù)據(jù)減去其均值，并繪制散點(diǎn)圖。得到成對數(shù)據(jù)為

利用上述方法處理前面研究人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的表中的數(shù)據(jù)，得到上圖。我們發(fā)現(xiàn)，這時的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號。顯然，這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的。

一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第象限、第三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號的居多，如圖（1）所示；

如果變量x和y負(fù)相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二象限、第四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號的居多，如圖（2）所示。

從上述討論得到啟發(fā)，利用散點(diǎn)

的橫、縱坐標(biāo)是否同號，可以構(gòu)造一個量。

一般情形下，Lxy>0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；Lxy<0表明成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)。

因?yàn)長xy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小。例如，在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時，如果體重的單位不變，把身高的單位由米改為厘米，則相應(yīng)的Lxy將變?yōu)樵瓉淼?00倍，但單位的改變并不會導(dǎo)致體重與身高之間相關(guān)程度的改變。為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理。我們用分別除

和為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為仿照Lxy的構(gòu)造，可以得到我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)。（1）當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)。這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變?。划?dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變大。（2）當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)。這時，當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；當(dāng)其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小。樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到二維（平面）向量、三維（空間）向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，我們將向量的維數(shù)推廣到n維，n維向量a，b的數(shù)量積仍然定義為其中θ為向量a，b的夾角。類似于平面或空間向量的坐標(biāo)表示，對于向量a=（a1，a2，…，an）和b=（b1，b2，…，bn），我們有設(shè)“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)因?yàn)?/p>

，所以樣本相關(guān)系數(shù)為由此可見，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1，1]樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：（1）當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；（2）當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱。

綜上可知，兩個隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度；r的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性；|r|的大小反映了兩個變量線性相關(guān)的程度，即散點(diǎn)集中于一條直線的程度?！纠?】下列圖中，能反映出相應(yīng)兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是(

)BA.

B.