常見水下聲場模擬方法分析概述用數(shù)學(xué)來講的時(shí)候，人們通常用波動方程來描述聲波在海洋中的傳播，其中的海洋環(huán)境通過波動方程的參數(shù)和邊界條件來描述。如果流體介質(zhì)的密度不隨空間變化，便可用下述標(biāo)準(zhǔn)形式的方程來表示聲壓的波動方程[24]：?其中c是理想流體中的聲波傳播的速度，p是壓強(qiáng)，?2?其中k=ωc為波數(shù)，ω為角頻率，該方程又稱亥姆霍茲方程（Helmholtzequation）當(dāng)前主要用來描述水下聲場中的聲傳播的模型有：射線理論、簡正波理論、快速場理論和拋物方程方法等[30]。如圖2.1，展示了常見水聲建模理論。??波動方程圖2.2幾種水聲建模理論之間的關(guān)系2.2.1射線理論在經(jīng)典射線聲學(xué)理論中，人們認(rèn)為聲和光一樣，都是通過射線來傳播能量的。從聲源發(fā)出聲線，經(jīng)過反射、折射、散射等到達(dá)具體的接收器并相互疊加，射線聲學(xué)把聲波的傳播視為一束射線，這束射線是由無數(shù)條垂直于等相位面的射線組成的，聲線就是垂直于等相位面的射線。聲波傳播的距離用聲線經(jīng)過的距離表示，聲波傳播的時(shí)間為聲線經(jīng)歷的時(shí)間，聲波傳播的聲能量即為聲線束所攜帶的能量，射線聲學(xué)為波動方程的近似解。用射線理論研究傳統(tǒng)的聲傳播問題時(shí)，多是將海底模擬為硬質(zhì)海底或液體，而低頻聲信號在淺海環(huán)境中傳播的過程中，必須將橫波聲速的影響加以考慮[24,31]。波動方程：?k=c0為參考聲速，n?其形式解為p=AA為聲壓振幅，φ(x,y,z)為相位，將形式解帶入波動方程：?假設(shè)?解得：?2程函方程：?強(qiáng)度方程：?表2-1程函方程包括的內(nèi)容程函方程聲線方向聲線軌跡聲線傳播時(shí)間根據(jù)折射定律或者Snell定律：cosα給定聲線起始值，便可根據(jù)聲速c(z)得到其對應(yīng)的掠射角α。程函方程包括的內(nèi)容如表2-1。強(qiáng)度方程體現(xiàn)了聲線振幅或攜帶的能量，由方程可知聲強(qiáng)矢量散度等于零，聲強(qiáng)場為管量場。強(qiáng)度方程的意義是：聲能沿聲線管束傳播，管束的橫截面積與聲強(qiáng)成反比，也與聲強(qiáng)I成反比，面積越大，聲能越分散，聲強(qiáng)越??；界面越小，聲能越集中，聲強(qiáng)值越大，比如焦散區(qū)就是聲強(qiáng)無窮大；聲能會集中在管束內(nèi)，并不會通過側(cè)面向外擴(kuò)散。2.2.2簡正波理論簡正波理論在水聲學(xué)中應(yīng)用的時(shí)間和范圍都十分廣，首先是Pierce[24]提出了兩層物理模型，這兩層分別包括海水和沉積物。對于有損邊界的這種情況，Kornhauser和Raneym將Pierce先前的理論加以推廣，并且使得其仿真環(huán)境愈加趨向于真實(shí)的海洋環(huán)境[32-33]。Milder[34]提出耦合簡正波理論，這個(gè)理論雖然沒有求解耦合簡正波方程，但是證明了水平變化波導(dǎo)聲傳播過程中各號簡正波之間存在能量交換[35]。簡正波理論通過相長干涉的作用來表現(xiàn)聲場能量的變化及其空間分布[36]，簡正波是對波動方程積分的精確解，每一個(gè)描述聲傳播的特征函數(shù)都是波動方程的一個(gè)解，對所有的解相疊加就可得到簡正波的解[31]。如圖2-2為點(diǎn)聲源發(fā)出的簡正波聲場。ZZsC(z)P(z)rz圖2-3點(diǎn)聲源聲場示意圖設(shè)簡諧點(diǎn)源為：p則聲速和密度只與深度z有關(guān)的兩維的Helmholtzequation即為[24]：1其中，p=p(r,z)為復(fù)聲壓，c(z)為聲速，ρ(z)為密度。用krmρ且有Ψ以上模式方程是經(jīng)典的Sturm-Liouville本征值問題。我們根據(jù)文獻(xiàn)24第四章給出的那種解的譜積分表達(dá)式，將圍線閉合并按照留數(shù)和來計(jì)算這一積分。譜積分的表達(dá)式如下[24]：p=式中格林函數(shù)G(ff頂部（T）和底部（B）的邊界條件含有函數(shù)fT、B和gG(z,z式中在z<=min(z,zs)，z>=max(z,zs)。W(z;k)是朗斯基行列式。將式(2.23)給出的格林函數(shù)表達(dá)式代入式(2.20)可得用留數(shù)之和加分支割線積分表示的聲場表達(dá)式：p在上式中：朗斯基行列式的第m個(gè)零點(diǎn)是km，對這些零點(diǎn)進(jìn)行排序得到：Re{kr1}>Re{kr1}>…確定的這些根也就是本征值的方程[W(km用漢克爾函數(shù)的漸進(jìn)式H01(x)≈2πxp這樣，用數(shù)值計(jì)算便可得到聲場的近似解[29]。對于模態(tài)方程的求解，通常使用有限差分法，另外還有分層法、界面處理、簡正波歸一化等方法[24]。Z=0Z=0Z=DZNZN-1Z2Z1Z0圖2.4有限差分網(wǎng)絡(luò)下面介紹下有限差分法，如圖2.4所示，我們將深度為H的水層等分為N個(gè)間隔，假定水體密度為常數(shù)，則模式方程為：Ψ式中撇號是對z的導(dǎo)數(shù)，按照推導(dǎo)有限差分的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，運(yùn)用泰勒級數(shù)展開可以得到：Ψ因此一階導(dǎo)數(shù)O(h)近似Ψ按照文獻(xiàn)24中的第五章第七節(jié)中的推到二階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似式：Ψ將這些差分方程集中到一起就得到以下形式的代數(shù)本征值問題：C這里Ψ為向量，Ψ02.2.3拋物方程方法上世紀(jì)70年代，Hardin和Tappert首次將拋物方程（PE）法引入聲波在水中的傳播問題[30]。隨著科技的發(fā)展，拋物法被經(jīng)常用來研究海洋水聲學(xué)中對距離等有關(guān)問題的求解[24]。假設(shè)水體環(huán)境中的介質(zhì)密度是一不變的量，由(2.15)得到簡化的二維Helmholtzequation[24]：?式中，p(r,z)是聲壓，k02=ω/根據(jù)文獻(xiàn)24第六章第二節(jié)的推導(dǎo)，可以得到由Hardin和Tappert引入水聲學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)拋物方程[30]：2i我們只要給定初始距離上沿深度分布的源場，就可利用按距離步進(jìn)的數(shù)值技術(shù)進(jìn)行求解。近年來，已有多種不同的求解技術(shù)在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)[31]，但在水聲領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的只有分裂—步進(jìn)傅里葉技術(shù)和各種有限差分/有限元技術(shù)[20]。分裂—步進(jìn)算法廣泛地用于求解標(biāo)準(zhǔn)PE，適用于可忽略海底影響的遠(yuǎn)程窄角傳播問題，但對于以較寬角傳播的近程深海和淺海問題，必須使用有限差分法或有限元法才能求解，而且在海水—海底界面出現(xiàn)的強(qiáng)烈聲速反差和密度反差會對分裂—步進(jìn)方法的計(jì)算效率產(chǎn)生不利影響[20]。根據(jù)分裂—步進(jìn)傅里葉算法可以得到其聲場解：Ψ2.2.4快速場理論（FFP）快速場理論又稱為“波束積分”，與簡正波算法使用的求解聲場積分表達(dá)式的方法一樣，F(xiàn)FP也用運(yùn)這一方法，區(qū)別只是在于計(jì)算方法的不同。本文的2.2.2已經(jīng)指出簡正波算法所運(yùn)用