與斜面、曲面相結(jié)合的平拋運動[學習目標]1.了解平拋運動與斜面、曲面相結(jié)合問題的特點.2.熟練運用平拋運動規(guī)律解決相關(guān)問題．一、與斜面有關(guān)的平拋運動運動情形題干信息分析方法從空中水平拋出垂直落到斜面上速度方向分解速度，構(gòu)建速度三角形vx＝v0vy＝gtθ與v0、t的關(guān)系：tanθ＝eq\f(vx,vy)＝eq\f(v0,gt)從斜面水平拋出又落到斜面上位移方向分解位移，構(gòu)建位移三角形x＝v0ty＝eq\f(1,2)gt2θ與v0、t的關(guān)系：tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)如圖1所示，小球以v0＝15m/s的水平初速度向一傾角為37°的斜面拋出，飛行一段時間后，恰好垂直撞在斜面上．求這一過程中：(不計空氣阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)圖1(1)小球在空中的飛行時間t；(2)拋出點距撞擊點的高度h.答案(1)2s(2)20m解析(1)將小球垂直撞在斜面上的速度分解，如圖所示：由圖可知θ＝37°，β＝53°則tanβ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)代入數(shù)據(jù)解得：t＝2s(2)根據(jù)平拋運動的規(guī)律有：h＝eq\f(1,2)gt2，可求得拋出點距撞擊點的高度h＝eq\f(1,2)×10×22m＝20m.跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，它需要利用山勢特點建造一個特殊跳臺．一運動員穿著專用滑雪板，不帶雪杖，在滑雪道上獲得較高速度后從A點沿水平方向飛出，在空中飛行一段距離后在山坡上B點著陸，如圖2所示．已知可視為質(zhì)點的運動員從A點水平飛出的速度v0＝20m/s，山坡可看成傾角為37°的斜面，不考慮空氣阻力(g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：圖2(1)運動員在空中的飛行時間t1；(2)運動員從飛出至落在斜面上的位移大小s；(3)運動員落到斜面上時的速度大小v；(4)運動員何時離斜面最遠．答案(1)3s(2)75m(3)10eq\r(13)m/s(4)1.5s解析(1)運動員從A點到B點做平拋運動，水平方向的位移：x＝v0t1，豎直方向的位移：y＝eq\f(1,2)gt12，又有tan37°＝eq\f(y,x)，代入數(shù)據(jù)解得：t1＝3s，x＝60m，y＝45m.(2)運動員從飛出至落在斜面上的位移大小s＝eq\r(x2＋y2)＝75m.(3)運動員落在斜面上時速度的豎直分量vy＝gt1＝10×3m/s＝30m/s，運動員落到斜面上時的速度大小v＝eq\r(v\o\al(02)＋v\o\al(y2))＝10eq\r(13)m/s.(4)如圖，運動員距離斜面最遠時，合速度方向與斜面平行，tan37°＝eq\f(vy′,vx)，即tan37°＝eq\f(gt2,v0)，解得t2＝eq\f(v0·tan37°,g)＝1.5s.如圖3所示，若質(zhì)點以初速度v0正對傾角為θ＝37°的斜面水平拋出，要求質(zhì)點到達斜面時位移最小，則質(zhì)點的飛行時間為(重力加速度為g，tan37°＝eq\f(3,4))()圖3A.eq\f(3v0,4g)B.eq\f(3v0,8g)C.eq\f(8v0,3g)D.eq\f(4v0,3g)答案C解析要使質(zhì)點到達斜面時位移最小，則質(zhì)點的位移應垂直斜面，如圖所示，有x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，且tanθ＝eq\f(x,y)＝eq\f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq\f(2v0,gt)，所以t＝eq\f(2v0,gtanθ)＝eq\f(8v0,3g)，選項C正確．1．在分析與斜面有關(guān)的平拋運動問題時，注意分析題干信息，強調(diào)的是速度方向還是位移方向，然后進行分解并利用兩分量與已知角關(guān)系求解．2．與斜面有關(guān)的平拋運動拓展運動情形題干信息分析方法斜面外開始，要求以最短位移打到斜面位移方向分解位移x＝v0ty＝eq\f(1,2)gt2tanα＝eq\f(x,y)＝eq\f(2v0,gt)斜面外開始，沿斜面方向落入斜面速度方向分解速度vx＝v0vy＝gttanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)二、平拋運動與曲面相結(jié)合(2020·煙臺一中高一月考)如圖4所示，在豎直放置的半球形容器的中心O點分別以水平初速度v1、v2沿相反方向拋出兩個小球1和2(可視為質(zhì)點)，最終它們分別落在圓弧上的A點和B點，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向成α角，則兩小球的初速度之比eq\f(v1,v2)為()圖4A．tanα B．cosαC．tanαeq\r(tanα) D．cosαeq\r(cosα)答案C解析兩小球被拋出后都做平拋運動，設(shè)容器的半徑為R，兩小球運動的時間分別為t1、t2.對球1：Rsinα＝v1t1，Rcosα＝eq\f(1,2)gt12，對球2：Rcosα＝v2t2，Rsinα＝eq\f(1,2)gt22，聯(lián)立以上四式解得eq\f(v1,v2)＝tanαeq\r(tanα)，故選C.(2020·南通中學高一檢測)如圖5所示，一小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動(小球可視為質(zhì)點)，運動過程中恰好與半圓軌道相切于B點．O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為60°，重力加速度為g，則小球拋出時的初速度為()圖5A.eq\r(\f(3gR,2)) B.eq\r(\f(3\r(3)gR,2))C.eq\r(\f(\r(3)gR,2)) D.eq\r(\f(\r(3)gR,3))答案B解析小球運動過程中恰好與半圓軌道相切于B點，則小球在B點的速度方向與水平方向的夾角為30°，故vy＝v0tan30°，又vy＝gt，則v0tan30°＝gt，可解得t＝eq\f(v0tan30°,g).小球在水平方向上做勻速直線運動，則有R＋Rcos60°＝v0t，聯(lián)立解得v0＝eq\r(\f(3\r(3)gR,2))，故選B.1．(2021·浙江紹興市柯橋中學高一月考)滑雪運動員在訓練過程中，從斜坡頂端以5.0m/s的速度水平飛出，落在斜坡上，然后繼續(xù)沿斜坡下滑．已知斜坡傾角為45°，空氣阻力忽略不計，g取10m/s2，則他在該斜坡上方平拋運動的時間為()A．0.5sB．1.0sC．1.5sD．5.0s答案B解析滑雪運動員做平拋運動，在水平方向有x＝v0t，在豎直方向有y＝eq\f(1,2)gt2，根據(jù)題意則有tan45°＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝1s，故選B.2．如圖1所示，某物體(可視為質(zhì)點)以水平初速度拋出，飛行一段時間t＝eq\r(3)s后，垂直地撞在傾角θ＝30°的斜面上(g取10m/s2)，由此計算出物體的水平位移大小x和水平初速度大小v0分別為()圖1A．x＝25m B．x＝5eq\r(21)mC．v0＝10m/s D．v0＝20m/s答案C解析物體撞在斜面上時豎直分速度vy＝gt＝10eq\r(3)m/s，將速度進行分解，根據(jù)平行四邊形定則知，tan30°＝eq\f(v0,vy)，解得v0＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)m/s＝10m/s，則水平位移大小x＝v0t＝10×eq\r(3)m＝10eq\r(3)m，故C正確，A、B、D錯誤．3.某軍區(qū)某旅展開的實兵實彈演練中，某火箭炮在山坡上發(fā)射炮彈，所有炮彈均落在山坡上，炮彈的運動可簡化為平拋運動，如圖2所示，則下列說法正確的是()圖2A．若將炮彈初速度減為eq\f(v0,2)，炮彈落在斜面上的速度方向與斜面的夾角不變B．若將炮彈初速度減為eq\f(v0,2)，炮彈落在斜面上的速度方向與斜面的夾角變小C．若將炮彈初速度減為eq\f(v0,2)，炮彈落在斜面上的速度方向與斜面的夾角變大D．若將炮彈初速度減為eq\f(v0,2)，炮彈位移變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)答案A解析因為炮彈落在斜面上的位移方向不變，所以落在斜面上的速度方向不變，B、C項錯誤，A項正確；由tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)得：t＝eq\f(2v0tanθ,g)，而h＝eq\f(1,2)gt2，故h∝v02，若將炮彈初速度減為eq\f(v0,2)，則炮彈下落高度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,4)，由于炮彈位移x＝eq\f(h,sinθ)，所以炮彈位移也變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,4)，D項錯誤．4.(2021·淮南二中高一第二學期期末)如圖3所示，兩個相對的斜面的傾角分別為37°和53°，在斜面頂點把兩個可視為質(zhì)點的小球以同樣大小的初速度分別向左、向右水平拋出，小球都落在斜面上．若不計空氣阻力，則A、B兩個小球的運動時間之比為(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()圖3A．1∶1B．1∶3C．16∶9D．9∶16答案D解析根據(jù)平拋運動的規(guī)律可知，x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，tanθ＝eq\f(y,x)，則運動時間t＝eq\f(2v0tanθ,g)，分別將37°、53°代入可得A、B兩個小球運動時間之比為tA∶tB＝tan37°∶tan53°＝9∶16，選項D正確，A、B、C錯誤．5．如圖4所示，B為豎直圓軌道的左端點，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α.一小球在圓軌道左側(cè)的A點以速度v0平拋，恰好沿B點的切線方向進入圓軌道．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，則A、B之間的水平距離為()圖4A.eq\f(v\o\al(02)tanα,g) B.eq\f(2v\o\al(02)tanα,g)C.eq\f(v\o\al(02),gtanα) D.eq\f(2v\o\al(02),gtanα)答案A解析如圖所示，對在B點時的速度進行分解，小球運動的時間t＝eq\f(vy,g)＝eq\f(v0tanα,g)，則A、B間的水平距離x＝v0t＝eq\f(v\o\al(02)tanα,g)，故A正確，B、C、D錯誤．6.(2021·蘭州第一中學高一下月考)如圖5所示，小球以速度v0正對傾角為θ的斜面水平拋出，若小球到達斜面的位移最小，則以下說法正確的是(重力加速度為g)()圖5A．小球在空中的運動時間為eq\f(v0,gtanθ)B．小球的水平位移大小為eq\f(2v\o\al(02),gtanθ)C．小球的豎直位移大小為eq\f(v\o\al(02),gtanθ)D．由于不知道拋出點位置，位移大小無法求解答案B解析如圖所示，過拋出點作斜面的垂線與斜面交于B點，當小球落在斜面上的B點時，位移最小．設(shè)運動的時間為t，則水平方向有x＝v0t，豎直方向有y＝eq\f(1,2)gt2.根據(jù)幾何關(guān)系有eq\f(x,y)＝tanθ，聯(lián)立解得t＝eq\f(2v0,gtanθ)，小球的水平位移大小為x＝v0t＝eq\f(2v\o\al(02),gtanθ)，豎直位移的大小為y＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(2v\o\al(02),gtan2θ)，由水平位移和豎直位移可求解總位移的大小，故A、C、D錯誤，B正確．7.如圖6，斜面上有a、b、c、d四個點，ab＝bc＝cd.從a點正上方的O點以速度v0水平拋出一個小球，它落到斜面上b點．若小球從O點以速度2v0水平拋出，則它落在斜面上的(不計空氣阻力)()圖6A．b與c之間某一點 B．c點C．c與d之間某一點 D．d點答案A解析當水平初速度變?yōu)?v0時，如果去掉斜面，作過b點垂直于Oa的直線be，小球?qū)⒙湓赾點正下方的直線上的e點，連接O點和e點的拋物線與斜面相交于b、c間的一點(如圖)，該點即為小球以速度2v0水平拋出時在斜面上的落點，故選A.8.(2021·江蘇連云港市月考)如圖7所示，某次空中投彈的軍事演習中，戰(zhàn)斗機以恒定速度沿水平方向飛行，先后釋放兩顆炸彈，分別擊中山坡上的M點和N點．釋放兩顆炸彈的時間間隔為Δt1，此過程中飛機飛行的距離為s1；擊中M、N的時間間隔為Δt2，M、N兩點間水平距離為s2.不計空氣阻力．下列判斷正確的是()圖7A．Δt1>Δt2，s1>s2 B．Δt1>Δt2，s1<s2C．Δt1<Δt2，s1>s2 D．Δt1<Δt2，s1<s2答案A解析釋放的炸彈做平拋運動，若落地點在同一水平面上，落地的時間間隔與釋放的時間間隔相等，由于N在M點的上方，則擊中M、N的時間間隔Δt2<Δt1；因炸彈飛行時間小于飛機的飛行時間，所以飛機飛行的距離s1大于M、N間的水平距離s2，故A正確，B、C、D錯誤．9.如圖8所示，固定斜面的傾角為α，高為h，一小球從斜面頂端水平拋出，落至斜面底端，重力加速度為g，不計空氣阻力，則小球從拋出到離斜面距離最大所用的時間為()圖8A.eq\r(\f(hsinα,2g))B.eq\r(\f(2h,g))C.eq\r(\f(h,g))D.eq\r(\f(h,2g))答案D解析對于整個平拋運動過程，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(2h,g))，則平拋運動的初速度為v0＝eq\f(h,ttanα)＝eq\f(\r(2gh),2tanα)；當速度方向與斜面平行時，小球距離斜面最遠，此時豎直分速度為vy＝v0tanα＝eq\r(\f(gh,2))，則經(jīng)歷的時間為t′＝eq\f(vy,g)＝eq\r(\f(h,2g))，故選D.10.(2021·河北武強中學高一月考)跳臺滑雪是冬奧會的傳統(tǒng)項目，其運動過程可以簡化成如圖9所示模型．運動員從雪坡斜面頂端A點以不同的初速度水平飛出，分別落在斜面上B、C點，AB＝BC，落到B、C點對應的起跳初速度分別為v1、v2，下落的時間分別為t1、t2，不計空氣阻力．下列判斷正確的是()圖9A．兩次下落的時間之比t1∶t2＝1∶2B．兩次落在斜面上時速度與斜面的夾角之比為1∶2C．兩次落在斜面上時速度大小之比為1∶eq\r(2)D．兩次初速度大小之比為v1∶v2＝1∶2答案C解析運動員落到斜面中點與斜面底端，下降的高度eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,2)，通過的水平位移為eq\f(x1,x2)＝eq\f(1,2)，運動員做平拋運動，下落的時間與高度有關(guān)，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2可知t＝eq\r(\f(2h,g))，故兩次下落的時間之比eq\f(t1,t2)＝eq\f(\r(2),2)，故A錯誤；運動員落到C點，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，位移偏向角α的正切值為tanα＝eq\f(h,x)，聯(lián)立解得t＝eq\f(2v0tanα,g)，落地時速度與水平方向的夾角為tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)＝2tanα，落在斜面上時速度與斜面的夾角大小β＝θ－α，同一斜面α不變，故落在斜面上時速度與斜面的夾角與運動員飛出時的初速度無關(guān)，故兩次落在斜面上時速度與斜面的夾角之比為1∶1，故B錯誤；水平方向勻速運動，則eq\f(v1,v2)＝eq\f(\f(x1,t1),\f(x2,t2))＝eq\f(1,\r(2))，故D錯誤；落地時的速度v＝eq\f(v0,cosθ)，故落地時的速度大小之比與初速度之比相等，故兩次落在斜面上時速度大小之比為1∶eq\r(2)，故C正確．11.(2021·江蘇南京市南京師大附中高一期末)如圖10所示，水平桌面上放置一小球(可視為質(zhì)點)．打擊小球后，小球以4m/s的速度水平拋出，下落H＝0.8m后垂直撞擊傾角為θ的斜面．小球反向彈回后，繼續(xù)向上運動的最大高度為eq\f(1,2)H.不計空氣阻力，重力加速度大小g＝10m/s2，求：圖10(1)斜面的傾角θ；(2)小球撞擊斜面彈回后，上升到最大高度時，小球與斜面撞擊點間的水平距離x.答案(1)45°(2)0.8m解析(1)設(shè)小球撞擊斜面前瞬間的豎直分速度大小為vy，則根據(jù)運動學公式可得vy＝eq\r(2gH)＝4m/s由幾何關(guān)系有tanθ＝eq\f(v0,vy)＝1解得θ＝45°.(2)設(shè)小球反向彈回瞬間的豎直分速度大小為vy′，水平分速度大小為v0′，則根據(jù)運動學公式有vy′＝eq\r(2g\f(H,2))＝2eq\