高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省漢中市普通高中十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線(xiàn)，則直線(xiàn)在軸上的截距為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】令直線(xiàn)中，則.故選：C.2.若向量是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，則直線(xiàn)的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則斜率，故選：B.3.直線(xiàn)被圓：截得的弦長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以，所截弦長(zhǎng)為.故選：D.4.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心為，半徑為，因?yàn)?，，所以?xún)蓤A相交.故選：C.5.已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)過(guò)交橢圓于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】由題知，，由橢圓定義可知，的周長(zhǎng).故選：B.6.雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）A. B. C.， D.，【答案】A【解析】由已知雙曲線(xiàn)，可知，，設(shè)雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)分別為，，不妨設(shè)，則,解得或，又雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以，故選：A.7.若點(diǎn)是橢圓某條弦的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，解得或.故選：D.8.在平面內(nèi)作直線(xiàn)，使得點(diǎn)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離分別為1和2，則這樣的直線(xiàn)有（）條A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】易知，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)不滿(mǎn)足題意；過(guò)點(diǎn)作垂直于直線(xiàn)，垂直分別，則，所以，所以，又，所以直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，由題知，，解得或或，所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有4條.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分（3個(gè)正確選項(xiàng)的每選對(duì)1個(gè)得2分；2個(gè)正確選項(xiàng)的選對(duì)1個(gè)得3分）．9.已知橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則（）A.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 B.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2C.橢圓的離心率是 D.橢圓的離心率是【答案】AD【解析】雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)為，所以橢圓的長(zhǎng)半軸，又因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以橢圓的焦點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，則，，對(duì)于A，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，，故A正確；對(duì)于B，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，橢圓的離心率是，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD.10.拋物線(xiàn)C：的準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線(xiàn)，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線(xiàn)，垂足為B，則（）A.l與相切B.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.滿(mǎn)足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，的圓心到直線(xiàn)的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線(xiàn)和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時(shí)切線(xiàn)長(zhǎng)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，，，不滿(mǎn)足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線(xiàn)定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，，這里，于是時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問(wèn)題，，中點(diǎn)，中垂線(xiàn)的斜率為，于是的中垂線(xiàn)方程為：，與拋物線(xiàn)聯(lián)立可得，，即的中垂線(xiàn)和拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在探究“雙”函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的圖象是雙曲線(xiàn)，且存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立．據(jù)此，下面的結(jié)論成立的是（）A.實(shí)數(shù)的最大值為 B.該雙曲線(xiàn)的離心率為C.該雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)是 D.該雙曲線(xiàn)的焦距為【答案】ABD【解析】由，恒成立，即，則，又當(dāng)時(shí)，，所以，A選項(xiàng)正確；雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，傾斜角為，另一條漸近線(xiàn)為，則兩條漸近線(xiàn)的夾角為，設(shè)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則，則雙曲線(xiàn)離心率，B選項(xiàng)正確；雙曲線(xiàn)實(shí)軸所在直線(xiàn)為兩條漸近線(xiàn)夾角的角分線(xiàn)，即傾斜角，即，聯(lián)立，解得，或，所以雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，即，則，即焦距為，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.13.設(shè)，是橢圓的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，如果線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，那么______．【答案】【解析】如圖，因?yàn)榫€(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，所以，由橢圓可知，，所以令，可得，所以，由橢圓定義可知：，所以，所以.14.設(shè)，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是的右支上的一點(diǎn)，且，則______．【答案】【解析】由雙曲線(xiàn)的方程為：，由雙曲線(xiàn)的定義可得：，所以，①又因?yàn)?，所以，即，②將①代入②可得：，則，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知直線(xiàn)．（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)的方程；（2）求與直線(xiàn)平行，且到直線(xiàn)的距離為的直線(xiàn)的方程．解：（1）由題知，直線(xiàn)的斜率為，所以，所求直線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程得所求直線(xiàn)方程為，整理得．（2）設(shè)所求直線(xiàn)方程為：，則，，或，或?yàn)樗螅?6.已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與的交點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)的方程．解：（1）由得，記，圓的半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）易知，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與圓相切，方程為；當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，圓心到直線(xiàn)的距離，解得，為所求．綜上所述，所求切線(xiàn)方程：或．17.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且其離心率為．（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由題意知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，且其實(shí)半軸長(zhǎng)為2，設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為則，由得，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由得（※），當(dāng)，即：時(shí)，方程（※）有且只有一解，合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，方程（※）有且只有一解，也合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的值為：，．18.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與交于A，B兩點(diǎn)．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)直線(xiàn)，分別過(guò)點(diǎn)A，B，且均與相切，記直線(xiàn)，的斜率分別為，．①過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)AM，點(diǎn)為直線(xiàn)AM與軸的交點(diǎn)，證明：；②求的值．解：（1）由得，顯然，，設(shè)，，則，，，，，．（2）設(shè)，由得，由得，又，，；①設(shè)直線(xiàn)AM的方程為：，取，得，則，而，．②同理可得，，而，．19.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓滿(mǎn)足：短軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)l，l交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為．①證明：直線(xiàn)恒過(guò)軸上的一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求面積的最大值．解：（1）焦點(diǎn)在軸上的橢