高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市2025屆高三適應(yīng)性全真模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)z=11+iA．1 B．12 C．-12【答案】C【解析】因?yàn)閦=1所以其虛部為-12，故C故選：C.2．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a4-a1=12A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】在等差數(shù)列an中，由a4-又a5+a4+所以a5故選：A3．已知向量a=2,-1，b=4,3，則向量a在向量A．45,35 B．35,【答案】A【解析】向量a在向量b方向上的投影向量為a?故選：A.4．計(jì)算：tan20°+tan40°+A．33 B．1 C．233【答案】D【解析】因?yàn)閠an60°=所以tan20°+所以tan=3故選：D．5．在高為22的正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1A．4π B．6π C．8π【答案】D【解析】如圖，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，MB1=由對(duì)稱性外接球球心O在直線MN上，設(shè)球半徑為r，連接OC,OC1，C1若O在線段MN上（如圖），由OM+ON=MN得r2因?yàn)閞2≥2，因此O在MN的延長(zhǎng)線上（如圖），即在平面ABCD下方，因此有r2-1所以球表面積為S=4π故選：D．6．記曲線C：x2+y2-2x-2y=0A．±4 B．±2 C．±14 D【答案】C【解析】當(dāng)x≥0,y≥0，C:x2+當(dāng)x≥0,y<0，C:x2+當(dāng)x<0,y≥0，C:x2+當(dāng)x<0,y<0，C:x2+顯然a≠0，直線ax+ay+1=0的斜率為-1，如下圖示，則原點(diǎn)到直線的距離d=1a2故選：C7．已知函數(shù)fx=sin2x-2xcosx，則函數(shù)A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解析】由題意得x∈-因?yàn)閒-x+fx=0，所以因?yàn)閒x=sin化簡(jiǎn)得fx令g(x)=sin當(dāng)x∈0,3π2時(shí)，得到則g(x)則令fx=0，可得2cos解得x=π2，或x=3π2由奇函數(shù)的性質(zhì)可得fx在-綜上，fx共有5個(gè)零點(diǎn)，故C正確故選：C8．已知函數(shù)fx=x2-ax-x2-aA．-∞,0 B．-∞,8 C．【答案】C【解析】函數(shù)fx=x2-ax當(dāng)a=0時(shí)，fx當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)fx當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx=x因?yàn)?ax<0<a，所以x2所以-x2-a≤當(dāng)x∈0,1時(shí)，a當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，令x-1=t>0，a≤2因?yàn)閠+2+1t≥2t×1所以a≤2t+2+則a的取值范圍是0,8.故選：C.二、多選題9．已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（A．焦點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為8B．1C．若AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則AFD．若2BF=【答案】BCD【解析】拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F2,0，準(zhǔn)線所以焦點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為4，A錯(cuò)誤；設(shè)A當(dāng)直線AB垂直于y軸，可得x1所以AF=BF=4當(dāng)直線AB不垂直于y軸，設(shè)方程為x=my+2，由y2=8xx=my+2則y1+y1|AF|+1對(duì)于C，由AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，可得：x1AF+又1AF所以AFBF=20，對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)A,B作AA1⊥l,BB1⊥l，直線AB與設(shè)AF=2FB=2m因BB1//AA則cos∠EBB1故直線AB的斜率為22，直線AB的方程為x=與y2=8x聯(lián)立得解得y1所以x1可得：A4,4所以S△AOF=1故選：BCD10．已知函數(shù)fx=xA．?a∈R，使得fB．?a∈R，fC．當(dāng)a=2時(shí)，fD．若x1，x2，x3是方程【答案】ABD【解析】A：由題設(shè)f'x=3要使fx為單調(diào)函數(shù)，只需x2-2ax+3≥0恒成立，即Δ=4所以?a∈R，使得fB：對(duì)于fx所以f(x)+f(2a-x)=2(m+9a-2a3)，即fC：由題設(shè)fx=x3-6D：由題設(shè)fx又fx=x3故選：ABD11．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A=60°，∠BAC的平分線AD交BC于D，AD=2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．4b+c的最小值為6B．BDC．1BD+D．△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是4【答案】ACD【解析】A：由等面積法有S△ABC=S由AD=2，A=∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD交BC于D，所以32bc=b+c，即所以4b+c=2當(dāng)且僅當(dāng)b=3,c=23時(shí)取等號(hào)，故4b+c的最小值為6B：在△ABD中BDsin∠BAD=ADsin由∠BAC的平分線AD交BC于D，即∠BAD=∠CAD，故BDCD=sinC：由A=∠BAC=60°，則BD=ADsin∠BAD所以1BD+1又0°<B<120°，即B=60°時(shí)，1BD+1CD的最大值是D：由A分析有32bc=b+c≥2bc，則bc≤所以b+c≥83，當(dāng)且僅當(dāng)由a2所以a=(b+c)2-2令t=b+c≥83，則周長(zhǎng)L=t+t所以L≥83+(83故選：ACD三、填空題12．已知數(shù)列an滿足an+2=3an，【答案】81【解析】由an+2=3a故答案為：8113．已知4a=3，log925=b【答案】5【解析】由已知得a=log43∴ab=log∴2故答案為：5．14．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，且這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的這三個(gè)數(shù)之和為X；從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，記滿足條件的兩個(gè)數(shù)之和為Y.則PX=Y=【答案】5【解析】從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，要滿足三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則這三個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)偶數(shù)，總共有C9從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，且這兩個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)偶數(shù)，總共有C52又Xmin=6,X接下來(lái)，找出X和Y相等的情況：當(dāng)X=Y=6時(shí)，滿足條件的取法情況有1,2,3～2,4，共當(dāng)X=Y=7時(shí)，滿足條件的取法情況有1,2,4～2,5,當(dāng)X=Y=8時(shí)，無(wú)滿足條件的情況；當(dāng)X=Y=9時(shí)，滿足條件的取法情況有1,2,6,2,3,4～所以PX=Y故答案為：5518四、解答題15．某校有高一學(xué)生1800人，高二學(xué)生1200人，學(xué)校采取按比例分配的分層抽樣的方式從中抽取100人進(jìn)行體育測(cè)試.測(cè)試后，統(tǒng)計(jì)得到高一樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為165，方差為61，高二樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值為145，方差為31．（1）計(jì)算總樣本的一分鐘跳繩次數(shù)的均值和方差；（2）將一分鐘跳繩次數(shù)≥125視為及格，整理出以下列聯(lián)表：試根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析一分鐘跳繩次數(shù)及格情況是否與年級(jí)有關(guān)；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后三位）（3）如果將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷一分鐘跳繩次數(shù)及格情況與年級(jí)之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)果還一樣嗎？請(qǐng)你試著解釋其中的原因．附：χ2=nχ2解：（1）高一人數(shù)占比18003000=0.6，故樣本量為0.6×100=60，同理高二樣本量為所以總樣本均值為60×165+40×145100總樣本方差為60×61+（2）零假設(shè)為H0根據(jù)列聯(lián)表，χ2所以根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0（3）將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，則χ2所以根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0所以將（2）表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，結(jié)果不一樣，因?yàn)闃颖玖吭龃笫沟孟鄬?duì)差異的絕對(duì)值增大，導(dǎo)致卡方統(tǒng)計(jì)量顯著上升．16．已知函數(shù)fx（1）若曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線過(guò)點(diǎn)0,9，求（2）求fx的極值點(diǎn)解：（1）求導(dǎo)得f'x=2ax-4+所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為：又由切線過(guò)點(diǎn)0,9，則9-9a=--6a+6（2）由（1）可知，f'令φ(x)=2ax2-8ax+6①當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)x∈(0,+∞)，有②當(dāng)a<0時(shí)，φ(x)的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸為直線x=2，又φ(0)=6，則φ(x)=0在x>0時(shí)有一根x1x∈0,x1x∈x1,+所以f(x)在x1處取得極大值，極大值點(diǎn)為x③當(dāng)a>0時(shí)，φ(x)的圖象開(kāi)口向上，Δ=64ai．當(dāng)Δ≤0，即0<a≤34時(shí)，有φ(x)≥0，所以當(dāng)有f'ii．當(dāng)Δ>0，即a>34時(shí)，在x>0時(shí)，有兩個(gè)根x2x∈0,x2x∈x2,x∈x3,+∴f(x)有極大值點(diǎn)x2=2-4綜上所述，當(dāng)0≤a≤34時(shí)，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的極大值點(diǎn)為2-4當(dāng)a>34時(shí)，f(x)的極大值點(diǎn)為2-417．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，點(diǎn)A23,0在橢圓C（1）求橢圓C的方程；（2）若一條斜率存在且不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為-1，過(guò)R作直線l'⊥l.定點(diǎn)E2,1到直線l'的距離記為d，求d解：（1）設(shè)P(x0,y0所以kAP又P在橢圓上，即x02a所以b2由A在橢圓上，即12a2=1，即a2=12綜上，橢圓方程為x2（2）由題意，直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，M(x由x1212+y整理有k?y因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)R，則R(x1+所以k?-2x1+x所以直線l':y+1=-1k(x-3k)當(dāng)直線l'與直線EF垂直時(shí)，點(diǎn)E(2,1)到直線l'的距離最大由kEF=2-10-2=-所以d的最大值為5，直線l'18．如圖，底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，AD=2PA=2，PD=5，記∠PAB=θ，θ∈（1）證明：△PBC為直角三角形；（2）當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值；（3）記直線AC與平面PBC所成角為α，求sinα（1）證明：在△PAD中，因?yàn)镻A所以△PAD為直角三角形，即PA⊥AD，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AD//BC,AB⊥BC，則因?yàn)镻A∩AB=A,PA,AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形．（2）解：當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，PA⊥平面ABCD，因?yàn)锳B?平面ABCD，所以PA⊥AB，又AP∩AD=A,AP,AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，以A為原點(diǎn)，以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A0,0,0則BP=-2,0,1,CP=設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=則BP?n=-2x+z=0CP?則cos<所以平面PAD與平面PBC所成角的余弦值為55（3）解：以A為原點(diǎn)，以AB,AD所在直線為x,y軸，以過(guò)點(diǎn)A垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椤螾AB=θ，所以Pcos則BP=設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m=則BP?m=x0因?yàn)锳C=則sinα=設(shè)f(x)=cosx-2sin令f'(x)=0得當(dāng)x∈0,π3時(shí)，f'(x)>0當(dāng)x∈π3,π時(shí)，f'所以f(x)≤f(π3)=-3，且當(dāng)x→π時(shí)，f(x)→-所以cosθ-2所以sinα≤所以sinα的最大值為219．對(duì)于非空數(shù)集S，T=x-yx,y∈S，若T=S，則稱數(shù)集S具有性質(zhì)（1）若數(shù)集S具有性質(zhì)M，證明：0∈S；判斷S1=0,1,2,3，S（2）若S=a1,a2,a3,???,an（ⅰ）判斷“數(shù)集S具有性質(zhì)M”是否是“數(shù)列an為等差數(shù)列”（ⅱ）已知數(shù)集S具有性質(zhì)M，數(shù)集Q=b1,b2,b3,解：（1）令x=y，則0∈T，又?jǐn)?shù)集S具有性質(zhì)M，即T=S，所以0∈S．S1=0,1,2,3，T1=S2=0,1,2,5，4=5-1∈T2=x-y（2）（2）（?。皵?shù)集S具有性質(zhì)M”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”先證必要性：由題知，數(shù)列an單調(diào)遞增，當(dāng)數(shù)列an為等差數(shù)列時(shí)，設(shè)公差為d，則則S=0,d,2d,???,n-1d，顯然T=S，所以數(shù)集S再證充分性：顯然ai-a2∈T，其中i=3,4,???,n，有n-2又0<a3-a2<a則0,a2,所以ai-ai-1=a2i=3,4,???,n，又綜上，“數(shù)集S具有性