高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，，，所以，故選：A．2.若復(fù)數(shù)，且，則A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故選A.3.已知直線與平行，且過點(diǎn)，則（）A. B.3 C. D.2【答案】D【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，又直線過，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證與不重合，所以.故選：D.4.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得.故選：B.5.直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長為．故選：C．6.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，則，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，所以在上的投影的長度為，故點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.7.已知圓與圓有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可知，圓外離，，又．故選：D.8.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，且的長為定值，則下面四個(gè)值中不是定值的是（）A.點(diǎn)到平面的距離B.直線與平面所成的角C.的面積D.三棱錐的體積【答案】B【解析】對A，因?yàn)槠矫婕雌矫鏋榇_定的面，且點(diǎn)為確定的點(diǎn)，故點(diǎn)到平面的距離為定值；對B，易得平面為平面，且，平面，平面，故平面.因?yàn)椋实狡矫娴木嚯x為定值，又長度不為定值，故與平面所成的角的正弦不為定值，即與平面所成的角不確定；對CD，因?yàn)榈降木嚯x為定值，故為定值，由A可得點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，故的面積與三棱錐的體積均為定值；故選：B.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與交于點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】由題意，得：，解得，，故A、B正確，∴到直線的距離，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10.已知空間向量，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)橄蛄?，可得，對于A中，由，設(shè)，即，可得，此時(shí)方程組無解，所以與不平行，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由，所以，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，所以D正確.故選：BCD.11.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（）A. B. C.4 D.5【答案】BC【解析】曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，所以由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：BC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點(diǎn)且在軸?軸上截距相等的直線方程為__________.【答案】或【解析】設(shè)直線在軸?軸上的截距均為，①若，即直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入，可得，故直線方程為，即；②若，則直線方程為，代入可得，解得，故直線方程為.綜上所述：所求直線方程為或.故答案為：或.13.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是________.【答案】【解析】因?yàn)椋苫静坏仁降?，即，解得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.14.已知圓，從點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)過軸反射后的反射光線要想不被圓擋住從而到達(dá)點(diǎn)（當(dāng)光線與圓相切時(shí)也認(rèn)為光線沒被圓擋?。瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】令從點(diǎn)出發(fā)的光線射到軸上的入射點(diǎn)為，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為y=k(x+4)-2,k>0，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，反射光線被圓擋住不能到達(dá)點(diǎn)，則不被擋住時(shí)，，解得或（舍去），直線與直線的交點(diǎn)，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是邊上中點(diǎn)，則，所以，所以直線的方程為，即；（2）因?yàn)?，所以邊上高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，即.16.已知圓C過點(diǎn)，，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程．解：（1）直線AB的斜率為，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為直線AB的垂直平分線的方程為，整理為聯(lián)立方程，解得由圓C的性質(zhì)可知，圓心C的坐標(biāo)為，可得圓C的半徑為故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線正好與圓C相切，故此時(shí)直線l的方程為②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，整理為由直線l與圓C相切，有，解得可得直線l的方程為，整理為故直線l的方程為或．17.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與直線的夾角的余弦值.（1）證明：因是直三棱柱，則，又因點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，又因平面平面，故平面；（2）解：如圖，因直三棱柱中，故可以為原點(diǎn)，以，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，于，設(shè)直線與直線的夾角為，則，故直線與直線的夾角的余弦值為.18.已知，是實(shí)數(shù)，且．（1）求的最值；（2）求的取值范圍；（3）求的最值．解：（1）設(shè)，化為，可知直線與圓有交點(diǎn)，圓心，半徑為2，有，解得，可得的最小值為1，最大值為21；（2）設(shè)，化為，可知直線與圓有交點(diǎn)，有，解得或，故的取值范圍為；（3）的幾何意義為坐標(biāo)原點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離，圓的圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，故的最小值為，最大值為．19.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，，平面平面，且，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角的正弦值為.①求的長；②求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：在矩形中，，且是的中點(diǎn)，，故，又，則，即，如圖，記，連接，因是矩形，故是的中點(diǎn)，又，所以，又平面平面，平面平面平面，故平面，又平面，所以，又平面，所以平面；（2）解：①如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，過點(diǎn)且與平行