高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省太原市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，即，所以.故選：D2.圓的圓心坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】將圓化為標準式可得，所以圓心為.故選：A3.過點和的橢圓的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，點和0,2分別是橢圓長軸和短軸的一個端點，且橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓的標準方程為，且，，則橢圓的標準方程為.故選：B4.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】顯然，則，解得，則.故選：C.5.已知直線經(jīng)過點，且平行于直線，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為直線，即，設(shè)與平行的直線為，將1,0代入可得，解得，所以直線方程為.故選：A6.已知直線與圓相交于，兩點，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】由直線可得，令，解得，所以直線恒過定點，且圓的圓心，半徑為，易知當直線與直線垂直時，弦最短，且，所以.故選：D7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別是，，若橢圓上存在點使得，則橢圓A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，可得，則，設(shè)點，則，則，所以，則，因為，則，則，所以，所以，故.故選：B.8.在如圖所示的試驗裝置中，正方形框的邊長是，矩形框中，它們所在的平面互相垂直.活動彈子，分別在線段和上移動，則的長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，因平面平面，且平面平面，又矩形，則，又平面，則平面，因正方形，故可以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.則，連結(jié)，設(shè)，設(shè)，則，則，故當時，取得最小值為，此時取得最小值.故選：C.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知橢圓，則下列說法正確的是（）A.是橢圓的一個頂點 B.是橢圓的一個焦點C.橢圓的離心率 D.橢圓的短軸長為【答案】BCD【解析】由，可知橢圓的焦點在軸上，且，橢圓有四個頂點，分別為，焦點有兩個，分別為，橢圓的短軸長為，離心率為.故A錯誤；B,C,D均正確.故選：BCD.10.已知正四棱錐中，，是的中點，是底面的中心，則下列說法正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.直線與平面所成角的余弦值為D.點到直線距離為【答案】ACD【解析】連接，則為的交點，，正四棱錐中，，平面，則，，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間坐標系，由題意得，則，∵，∴，即，故A正確；∵，∴直線與所成角的余弦值為，故B錯誤；平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為，故C正確；，則點到直線的距離為，故D正確.故選：ACD.11.已知點是圓上的動點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最大值為【答案】ABD【解析】由圓可知，圓心為，半徑為，A選項，設(shè)，則，當直線與圓相切時，有最值，則，解得，則的最小值為，故A選項正確；B選項，因為，表示圓上的點到距離的平方和，故，則，故B選項正確；C選項，當時，此時，故C選項錯誤；D選項，令，則當直線與圓相切時有最值，即，解得，所以的最大值為，故D選項正確；故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題3分，共9分）12.直線在軸上的截距為______.【答案】1【解析】因為直線，令，所以直線在軸上的截距為1.故答案為：1.13.已知圓經(jīng)過直線與圓的公共點和點，則圓的一般方程為______.【答案】【解析】聯(lián)立或，所以直線與圓的公共點為和1,0，所以圓經(jīng)過點、1,0和點，設(shè)圓的一般方程為，則，所以圓的一般方程為.故答案為：.14.已知點是橢圓的左焦點，為上一點，，則的最小值是______.【答案】【解析】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為,連接,因，則，由圖知，當，三點共線，且點在之間時，取得最小值,因，，故此時取得最小值為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共49分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知的三個頂點，，.（1）求邊AB上的中線所在直線的一般式方程；（2）求邊AB上的高所在直線的斜截式方程.解：（1）設(shè)是邊AB的中點，則即得，邊AB上的中線CD的斜率為故其方程為,即得，故邊AB上的中線所在直線的一般式方程為；（2），，，邊AB上的高所在直線的斜率，邊AB上的高所在直線的方程為,其斜截式方程.16.如圖，四面體OABC各棱的棱長都是，是的中點，在上，且，記，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE的長.解：（1）連接OD，則.（2）由（1）得，.17.已知圓與圓.（1）若圓與圓相內(nèi)切，求的值；（2）在（1）的條件下，直線被圓截得的弦長為，求實數(shù)的值.解：（1），，，，，，，，圓與圓相內(nèi)切，，，（2）由（1）得，圓的方程為，，，故圓心到直線的距離，.18.如圖、四棱錐的底面ABCD是菱形，，.（1）求證：平面平面ABCD；（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.（1）證明：設(shè)是AD的中點，連結(jié)OP，OB，，，，由勾股定理得，，，∵四邊形ABCD是菱形，∴，故為等腰直角三角形，∴，∵，，，∵平面，，平面ABCD，∵平面，平面平面ABCD；（2）解：由（1）得，，，以為原點，OA，OB，OP所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，，設(shè)是平面PAB的一個法向量，則令，則，設(shè)是平面PCD的一個法向量，則令，則，設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為，，平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為.19.橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，如圖所示，在十字形滑槽上各有一個活動滑標，，有一根旋桿將兩個滑標連成一體，為旋桿上的一點且在，兩點之間.當滑標在滑槽內(nèi)作往復(fù)運動時，滑標在滑槽內(nèi)隨之運動，放置于處的筆尖便可畫出橢圓，即動點的軌跡為橢圓.如圖所示.設(shè)與交于點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，記，.（1）若，，求橢圓的方程；（2）證明：動點的軌跡為橢圓；（3）若，過作兩條互相垂直的射線分別交橢圓于點、，求證：點到直線距離為定值.（1）解：由題意可設(shè)橢圓的方程，則，，橢圓的方程為；證明：（2）解法一：設(shè)，，，由題意得，，，，，整理得，當時，動點的軌跡是以為半長軸長、為半短軸長的橢圓；當時，動點的軌跡是以為半長軸長、為半短軸長的橢圓.…解法二：設(shè)，，由題