高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知直線，則不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】作出直線的圖形如下圖所示：由圖可知，直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.2.已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可為，則，解得或，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相離，則，整理可得，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.3.記橢圓的離心率為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，，則，可得，，則，因?yàn)?，即，可得，解得，因此，?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.4.已知四邊形為空間四邊形，點(diǎn)滿足，為的中點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于為的中點(diǎn)，所以，由于，整理得，故，故，.故選：A．5.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為在第一象限上的一點(diǎn).若為直角三角形，，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】由題意可得，由雙曲線定義可得，故，若,則,即，化簡(jiǎn)可得，則，若,則,即，化簡(jiǎn)可得，不符合題意舍去，故選：C.6.已知圓的半徑為，圓的半徑為，且，，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、.若的最小值為，最大值為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，?dāng)線段的長(zhǎng)度取最大值時(shí)，取最小值，即最小，當(dāng)線段的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，取最大值，即最大，如圖，連接，直線與圓分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值，且，，由，得，由，得，所以，，整理可得，故選：C.7.某飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心（記為、、），在的正東方向，相距；在的北偏西方向，相距；為航天員的著陸點(diǎn).某一時(shí)刻，接收到的求救信號(hào)，由于、兩地比距遠(yuǎn)，后、兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為，則在處測(cè)得的方向角為（）A.北偏東 B.北偏東 C.北偏西 D.北偏西【答案】A【解析】因?yàn)?、同時(shí)接到信號(hào)，所以，，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上，因?yàn)?、比處同時(shí)晚收到信號(hào)，所以有，從而在以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，所以，，，則，如圖，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的垂直平分線為軸，正東方向?yàn)檩S的正方向，建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、，，所以，雙曲線的方程為，線段的垂直平分線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，從而，所以，直線的傾斜角為，則在處測(cè)得的方向角為北偏東，故選：A.8.如圖，在正方體中，，，分別是棱和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的中點(diǎn)到的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,2,，,,，,2,，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，，所以,,，而,0,，所以，即，所以點(diǎn)到的距離就是，因?yàn)椋?，即，所以，即，所以的中點(diǎn)到的距離為．故選：B．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.方程表示的曲線可以為（）A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線【答案】BCD【解析】因?yàn)槎畏匠滩荒苻D(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次因式之積，故A不正確；當(dāng)時(shí)，該方程表示以原點(diǎn)為圓心的圓，故B正確；當(dāng)，，且時(shí)，該方程表示以原點(diǎn)為中心的橢圓，故C正確；當(dāng)時(shí)，該方程表示以原點(diǎn)為中心的雙曲線，故D正確.故選：BCD.10.如圖，在正四棱臺(tái)中，，則（）A.B.平面C.側(cè)棱與底面所成的角為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，將正四棱臺(tái)的四條側(cè)棱分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，，即，連接交于點(diǎn)，由，則，所以，，即，所以，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，連接，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，即平面，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，連接、，因?yàn)橹本€在平面內(nèi)的射影為，所以，為側(cè)棱與底面所成的角，且，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，即，同理，所以，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)槠矫妫矫?，，所以，平面，即線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到平面的距離，且，D對(duì).故選：ABD.11.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，線段與交于點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)為，，則（）A.的方程為B.的面積為3C.D.上的點(diǎn)到距離的最大值為【答案】BD【解析】由于，互相平分，故四邊形為平行四邊形，且周長(zhǎng)為，故，又,故,將代入橢圓方程可得，解得，故橢圓方程為，故A錯(cuò)誤，由于平分，是的中點(diǎn)，故,繼而可得,且為等腰直角三角形，由于，故,則,故B正確，對(duì)于C,，則方程為，直線，聯(lián)立可得由于，,故C錯(cuò)誤，設(shè)上任意一點(diǎn)，則其到直線的距離為，其中，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)距離最大，為，D正確，故選：BD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知直線：，：，若，則的值為______.【答案】或【解析】直線：，：，由，得，所以或.13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線，的周長(zhǎng)為，則的值為______.【答案】【解析】由題意可知，點(diǎn)為的重心，又因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，為線段的中點(diǎn)，所以，，即，且，由雙曲線的定義可得，所以，，所以①，將代入雙曲線的方程可得，可得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，②結(jié)合①②可得，，，在中，.14.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），，則的最小值為______【答案】【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，作出關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)，連接交平面于，設(shè)，則，則，，故，由于在面內(nèi)，故，則，此時(shí)，，滿足，故的最小值為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知圓與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，圓.（1）求的方程；（2）若與外切，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）根據(jù)題意，設(shè)圓心，則圓的半徑為，圓心到直線的距離為，由題意可得，解得，則圓的半徑為，因此，圓的方程為或.（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，則圓心，半徑為，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意，，解得；當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)題意，，此時(shí)，不存在.綜上所述，.16.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：由已知，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，連接，因?yàn)?，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面．（2）解：由已知平面，，平面，所以，，又，所以直線，，兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，,2,，，,2,，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，即，取，可得，，所以，又為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，所以，由于，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為17.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的上頂點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，，為直角三角形.（1）求的方程；（2）若直線：交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）由題意可知：，且，結(jié)合，解得，故橢圓的方程為，（2）聯(lián)立方程，設(shè),則，又直線恒過點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故，令則，故，由于在單調(diào)遞增，故，故，因此，故最大值為，此時(shí)，18.如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖．（1）求證：．（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）證明：，分別為中點(diǎn)，，即，為中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解：取中點(diǎn)，連接，，中點(diǎn)，，即，，；則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為，設(shè)，則，，，整理可得：，解得：，存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí).19.已知圓：，圓：，動(dòng)圓與圓，圓均外切，線段與圓交于點(diǎn)，線段與圓交于點(diǎn).（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；（2）證明：；（3）過的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，為坐