高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中測評考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置.2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4．考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由共軛復(fù)數(shù)的定義可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．故選：A2.在中，、分別是內(nèi)角、的對邊，若，則（）A.15° B.135° C.45° D.45°或135°【答案】D【解析】由正弦定理得，因?yàn)榍?，所以或．故選：D3.若圓柱的母線長是圓柱底面圓半徑的2倍，則該圓柱的表面積與體積比是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓柱母線長為，,則表面積，體積，所以．故選：A4.在中，分別是內(nèi)角的對邊，若，且，則的形狀是（）A.不等邊三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰鈍角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得，所以，又，所以．由，得，可化為，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形．故選：C.5.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，故．故選：C6.若正四棱錐的高為，且其各側(cè)面的面積之和是底面積的2倍，則該四棱錐的表面積為（）A.12 B.24 C.32 D.48【答案】D【解析】如圖，是正四棱錐的高，所以，是斜高，由可得，所以，在中，，，所以，所以，所以，所以．故選：D7.在菱形中，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.13【答案】A【解析】由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故選：A8.如圖，在棱長為的正方體內(nèi)有兩個球相外切，兩球又分別與正方體內(nèi)切，則兩球體積之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)兩球半徑分別為，球心和在正方體體對角線上，過分別作的垂線，垂足分別為，由圖可得即，所以，故兩球體積之和為由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值．故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A.B.的虛部為C.D.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是圓環(huán)【答案】ACD【解析】由題意得的虛部為，故AC正確，B錯誤；由復(fù)數(shù)滿足，所以點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，分別以1和5為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，故D正確．故選：ACD.10.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個沙時(shí)．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，兩個圓錐的底面直徑和高均為，當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．下列說法正確的是（）A.沙漏中的細(xì)沙體積為B.沙漏的體積是C.細(xì)沙全部漏入下部后，此錐形沙堆的高度為D.該沙漏的一個沙時(shí)大約是900秒【答案】AD【解析】對于A，由圓錐的截面圖可知，細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比，所以細(xì)沙的底面半徑，體積，故A正確；對于B，沙漏的體積，故B錯誤；對于C，設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為，根據(jù)細(xì)沙體積不變可得，即，故C錯誤；對于D，因?yàn)榧?xì)沙的體積為，沙漏每秒鐘漏下的沙，所以一個沙時(shí)為秒，故D正確．故選：AD11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則下列說法正確的是（）A.若且，則B.若單位向量，則C.若點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為D.若，則四邊形為平行四邊形【答案】AD【解析】由題得，對于A，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對于B，設(shè)，則，解得或，所以或，故B錯誤；對于C，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)在線段上時(shí)，，所以，所以，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)在線段延長線上時(shí)，，所以，所以解得所以點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上點(diǎn)坐標(biāo)為或，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，故D正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，與方向相同的單位向量為，向量與的夾角為，向量在向量上的投影向量，則______．【答案】5【解析】由，得，因?yàn)?，故．故答案為?13.若用斜二測畫法畫的直觀圖是邊長為2的正三角形，如圖所示，則原的面積為______．【答案】【解析】如圖，過點(diǎn)作軸，且交軸于點(diǎn)．過點(diǎn)作軸，且交軸于點(diǎn)，則，又，所以，所以原三角形的高，底邊長為2，所以，則原的面積為．故答案為：.14.在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，則的最大值是______．【答案】4【解析】由正弦定理，所以，即，可得．因?yàn)?，所以．由余弦定理，得，可化為，由基本不等式可得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最大值是4．故答案為：4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)．（1）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以解得．（2）由于，所以所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.在不等邊三角形中，內(nèi)角所對的邊分別為，點(diǎn)是外接圓上位于劣弧上的一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理和余弦定理可得，所以，所以因?yàn)槭遣坏冗吶切危?，所以．?）解：由（1）知，得，解得．所以．可得，所以是直角三角形．因?yàn)椋裕谥?，由余弦定理得，即，解得．．所?7.在共建文明城市活動中，某市計(jì)劃在公園內(nèi)建造如圖所示的正四棱臺建筑，已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別為和，高．（1）求正四棱臺的表面積和體積；（2）在計(jì)劃中需要用某種彩帶從到沿著兩邊的側(cè)面連起來，求所需彩帶長度的最小值．解：（1）由題可知正四棱臺的體積，記分別為棱臺上、下底面的中心，分別取中點(diǎn)，連接，，在梯形中，過作于，由于正四棱臺側(cè)面是全等的等腰梯形，且，所以，所以，所以正四棱臺的表面積．（2）把該四棱臺沿側(cè)棱展開，得到如圖所示的圖形，要使這種彩帶長度最小，則彩帶的路徑必須沿如圖所示的路徑．在等腰梯形中，設(shè)，易知．在中，，又，由余弦定理得，所以彩帶最少需要．18.如圖，在中，，設(shè)，（1）試用表示向量；（2）設(shè)線段靠近的三等分點(diǎn)為，試證明三點(diǎn)共線；（3）設(shè)，求的余弦值．解：（1）因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，同理，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以解得所以．（2）由題意得，所以，所以，所以，所以三點(diǎn)共線．（3）由題意得，，，，由圖可知為向量與的夾角，所以．所以的余弦值為．19.在中，內(nèi)角所對的邊分別為是邊上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），記．某同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，．他推測，如果改變的位置，仍然與存在一定關(guān)系．于是他進(jìn)行了更多探索并發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由此，他猜想，若記，則必存在函數(shù)，使得．（1）猜想函數(shù)的解析式（直接寫